概率论与数理统计课件

1、概率论与数理统计,1,PPT学习交流,序言,关于这门课的简单介绍,2,PPT学习交流,自然界和社会生活中，有两类现象：,一定条件下必然发生的现象； 而更多的是随机现象， 使我们无时无刻不面临着各种各样的不确定性， 使我们的世界丰富多彩，变化万千。,3,PPT学习交流,A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重。,我们的生活和随机现象结下了不解之缘,1、下面的现象哪些是随机现象？,4,PPT学习交流,随机现象的规律性,随机现象的发生和结果具有不确定性， 但是在相同条件下大量重复观测，又具有一定的规律性。,5,PPT学习交流,例如: 一门火炮在一

2、定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等。,6,PPT学习交流,又如: 在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向。但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定的，呈现“无序中的规律”。,7,PPT学习交流,概率论与数理统计,把随机现象的不确定性进行数量化，研究其中的数量规律性，即统计规律性。 概率论 数理统计,8,PPT学习交流,第一部分：概率论,9,PPT学习交流,目 录,第一章 随机事件及其概率 第二章 随

3、机变量及其分布 第三章 随机变量的数字特征 第四章 大数定律和中心极限定理,10,PPT学习交流,第一章,随机事件及其概率,11,PPT学习交流,第一章 随机事件及其概率,随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型,12,PPT学习交流,第一节 随机事件及样本空间,随机事件及其有关概念 随机事件的关系及其运算 样本空间,13,PPT学习交流,一. 随机事件及其有关概念,1. 随机试验 相同的条件下, 可以重复; 结果不止一个, 但明确所有可能的结果; 每次试验之前,不能确定哪种结果出现.,14,PPT学习交流,2. 随机事件,基本事件: 随机试验的每一个可能的结果. 复合事件: 随机

4、试验中, 由两个或更多基本事件 复合而成情况, 包括多种可能的结果. 随机事件: 基本事件与复合事件统称为随机事件.,15,PPT学习交流,随机事件的一些例子:,（1）基本事件：,相对于观察目的不可再分解的事件,16,PPT学习交流, 复合事件,事件 B=掷出奇数点, 两个特殊随机事件 必然事件 U 不可能事 ,17,PPT学习交流,（4）随机事件：掷硬币,H-正面，T-反面，A 、B、C都是随机事件: A “至少出现一个正面” HHH, HHT, HTH, THH HTT，THT，TTH B “三次出现同一面” HHH,TTT C “恰好出现一次正面” HTT，THT，TTH,18,PPT学

5、习交流,二. 随机事件的关系及其运算,我们通过下面的例子来讨论 例：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只 有它的长度及直径都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、“长度合格”等事件有着密切联系。,19,PPT学习交流,1、包含关系,“ A 发生 B 发生 ”,20,PPT学习交流,2、和事件,“ A 与 B 至少一个发生”，,21,PPT学习交流,3、积事件,A 与 B 同时发生，记作 AB,22,PPT学习交流,4、差事件,A 发生而 B 不发生。,23,PPT学习交流,5、互斥的事件,A 和 B 不同时发生,24,PPT学习交流,6、互逆事件 (互为对立事件）,25,PPT学习

6、交流,各种关系的主要性质,传递性： A B，B C，则A C 交换律： 结合律： 自反性： 摩根律：,26,PPT学习交流,三. 样本空间,样本点：随机试验E 的所有可能结果，即 所有的基本事件。记作e。 样本空间：全体样本点所组成的集合。记 作U。,样本点e,27,PPT学习交流,例： 随机试验 E 是将一枚硬币抛掷两次， 则样本空间 U 由如下四个样本点组成：,28,PPT学习交流,样本空间 U 建立了事件与集合的联系,所有可能的结果 集合 U； 基本事件 U 的元素； 随机事件 U 的子集； 事件的关系和运算 子集的关系和运算 用集合论和Venn图来描述随机事件。,29,PPT学习交流,

7、例 1：从一批产品中每次取出一个产品进行检验（不放回）事件A,B,C表示第i次取得合格品（i=1,2,3)，试用运算符号表示下列事件。,三次都取到了合格品： 三次至少有一次取到合格品： 三次恰有两次取到合格品： 三次最多有一次取到合格品： 三次中都不多于两次取到合格品：,30,PPT学习交流,例 2：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹， 以A，B，C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A 、B、C运算关系表示下列事件：,31,PPT学习交流,第二节 频率与概率,频率 概率的古典定义 几何概率 概率的公理化定义,32,PPT学习交流,一. 频率,频率的定义： 事件 A 在 n 次重复试验中出现 m

8、次， 事件 A 在 n 次重复试验中出现的频率,33,PPT学习交流,能否用频率做为概率?,频率稳定性: 频率随试验次数的变化而变化; 试验次数相同, 频率也具有随机波动性; 试验次数较小时, 频率随机波动幅度较大; 试验次数逐渐增大时, 频率逐渐稳定于某一个常数.,34,PPT学习交流,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.

9、5005,35,PPT学习交流,二. 概率的古典定义,1. 古典概型: 如果随机试验, 满足: 试验的样本空间中, 基本事件只有有限个; 试验中, 每个基本事件发生的可能性相同.,36,PPT学习交流,2. 概率的古典定义,假设试验 E 是古典概型，如果 样本空间 U 共有 n 个基本事件； 事件 A 包括 m 个基本事件。 则事件 A 的概率,37,PPT学习交流,例1 号码锁上有6个拨盘，每个拨盘上有09共10个数字， 当这6个拨盘上的数字组成打开号码锁的6位数时（第一位可以是0），锁才能打开。 问：如果不知道锁的号码，一次就把锁打开的概率是多少？,38,PPT学习交流,例2 设一口袋中有

10、 m 件产品，其中 k 件正品，m-k 件次品， 现从中一次任意取出 n (nm) 件产品， 问其中恰有j (jk) 件正品的概率。,K 件正品,次品,正品,m-k 件次品,39,PPT学习交流,例3 将一枚硬币抛掷三次 (1) 设事件 A 为“恰有一次出现正面”，求 P(A) (2) 设事件 B 为“至多有一次出现正面”，求 P(B) (3) 设事件 C 为“至少有一次出现正面”，求 P(C),解： ,40,PPT学习交流,例4 产品放在一箱内，其中正品 46 件，废品 4件，从箱中取产品 2 次，每次随机取一次。 考虑两种取产品方式：有放回抽样和不放回抽样， 试分别就上面两种情况，求 (1

11、)取到的两件产品都是正品的概率； (2)取到的两件产品为同质量的概率； (3)取到的两件产品中至少有一件是正品的概率。,41,PPT学习交流,解：设 A=取到的两件都是正品 B=取到的两件都是废品 C=取到的两件中至少有一件是正品,易知 AUB =取到的两件为同质 而,42,PPT学习交流,例 5 设有 n 个球，每个都能以同样的概率落 到 N 个盒子的每一个盒子中，试求： 每个盒子至多有一个球的概率 p; 某指定的 n 个盒子中各有一个球的概 率 q; 任何 n 个盒子中各有一个球的概率 r 。,43,PPT学习交流, 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有 n1 种方法,第二步有 n2

12、 种方法， 则完成这件事共有 n1n2 种方法。,复习：排列与组合的基本概念,44,PPT学习交流, 加法公式： 假设完成一件事可有两种途径， 第一种途径有 n1 种方法，第二种有 n2 种方法， 则完成这件事共有 n1 + n2 种方法。,45,PPT学习交流, 有重复排列： 从含有 n 个元素的集合中随机抽取 k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,共有 nk 种排列方式,46,PPT学习交流, 无重复排列： 从含有 n 个元素的集合中随机抽取 k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有 Pnk=n(n-1)(n-k+1) 种排列方式,47,PPT学习交

13、流,四、概率的公理化定义,对随机试验 E 的样本空间 U 中的每一事件 A，赋予一实数 P(A)，满足以下三个条件： (1) 对于每一个事件 A ，有 0P(A) 1； (2) P(U)1； (3) 可列可加性：设 A1，A2，, 是一列两 两互不相容的事件， P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称 P(A) 为事件 A 的概率。,48,PPT学习交流,2、概率的性质,性质 1,即不可能事件的概率为 0,49,PPT学习交流,性质 2 如果 A1，A2， An 两两互斥，则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,概率的有限可加性,50,PPT学习交

14、流,性质 3对任一事件A ，有,51,PPT学习交流,性质 4 设、B是两个事件，若 , 则 有,52,PPT学习交流,53,PPT学习交流,例 从 1 到 2000 这 2000 个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被 6 整除的概率 (2)求取到的数能被 8 整除的概率 (3)求取到的数既能被 6 整除也能被 8 整除的概率,54,PPT学习交流,第三节 条件概率与贝努利概型,条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 随机事件的独立性 贝努利概型,55,PPT学习交流,一. 条件概率,1. 定义: 两个事件 A, B, 且 B 发生条件下，A 的条件概率,56,PPT学习交流,2. 条件概率的

15、说明,条件概率 P(A|B) 也是概率-原来的事件 B变成了样本空间 （样本空间缩减了）, 其中事件 AB 的概率； 几何上看，AB 的面积在 B 面积中所占的比例； 古典概型中，设 B 有 个样本点，AB 有 个，,57,PPT学习交流,例1：设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，求： （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率； （3）求两次均取到红球的概率。,A=第一次取到红球, B=第二次取到红球,3、有关条件概率的例题,58,PPT学习交流,例2： 一盒中混有100只新，旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表

16、。 从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,A,B,59,PPT学习交流,例3： 当掷 5 枚相同分币时，已知至少出现两个正面的情况下，问正面数刚好是三个的条件概率？,A=至少出现两个正面的事件 B=刚好三个正面的事件,60,PPT学习交流,3. 乘积公式,.,设 A、BU，P（A） 0,则 (1) P(AB)P(A)P(B|A) 称为事件 A、B 的概率乘法公式。,(2) 上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) (3) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1),61,PPT学习

17、交流,例4：甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为 P(AB),甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,B =是乙厂生产,A =是标准件,62,PPT学习交流,所求为P(AB),设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B),B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件。,63,PPT学习交流,例5： 市场上供应灯泡，甲厂产品占 60，乙

18、厂占40，甲厂产品的合格率是90，乙厂的合格率是80。若用 A 表示甲厂的产品，B 表示产品为合格品。求： (1)已知买到的是甲厂的一个产品，合格率是多少？ (2)买到一个产品是甲厂生产的合格灯泡的概率？,64,PPT学习交流,例6： 对含有 5 废品的 100 件产品进行抽样检查， 整批产品被拒绝介绍的条件是在被抽查的 5 件产品(不放回抽样)中至少有一件是废品，试问该批产品被拒绝的概率是多少？,设 Ai 表示事件“第 i (i=1,2,3,4,5)次被抽查的产品为合格品”，,65,PPT学习交流,二. 全概率公式,.,设 B1,Bn 是 U 的一个划分，且 P(Bi)0，(i1，n)，则对

19、任何事件 AU 有,上式就称为全概率公式。,66,PPT学习交流,全概率公式的解释,.,67,PPT学习交流,例7： 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,B,68,PPT学习交流,三. 贝叶斯公式,.,设 B1，, Bn 为随机试验 E 的样本空间 U 的一个划分，A 为 E 的事件，且 P(A)0, P(Bi)0 (i=1,2,n),则,其中(j=1,2,n),69,PPT学习交流,例8： 设某工厂甲，乙，丙三个车间生产同一种仪表，产量依次占全厂的40，5

20、0，10。如果各车间的一级品率依次为90，80，98。现在从待出厂产品中抽查出一个结果为一级品，试判断它是丙车间生产的概率。,解：设A抽查一个产品为一级品， 分别表示事件“产品为甲，乙，丙车间生产的”。很明显， 构成一个划分。利用贝叶斯公式,70,PPT学习交流,例 9：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解: 设 A: 从一箱中任取4只检查,结果都是好的。 B0, B1, B2 分别表示事件每箱含 0，1，2 只 次品。,71,PP

21、T学习交流,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,72,PPT学习交流,四. 事件的独立性,1. 事件独立的定义,设 A、B 是两个事件，P(A) 0, 若 P(B)P(B|A) ，P(A)=P(A|B) 则称事件 A 与 B 相互独立。 上式等价于： P(AB)P(A)P(B),73,PPT学习交流,定理3.2 以下四件命题等价： (1)事件 A、B 相互独立；(2)事件 A、B 相互独立； (3)事件 A、B 相互独立；(4)事件 A、B 相互独立。,定理3.3 设 A，B 是两个事件，且 P(A)0，若 A，B 相互独立，则 P(A)=P(A|B) ，反之亦然。 也就是，A 事件的概率，和 B 事件发生与否无关。,74,PPT学习交流,2. 多个事件的独立性,.,定义 若三个事件 A、B、C 满足：