门爱东老师DSP讲义第3章1.ppt

1、门艾东教授，数字信号处理，第3章离散傅里叶变换及其快速计算方法，第2章，主题概述， 1-引言2-离散时间系统和离散时间信号的变换3-离散傅立叶变换及其快速计算方法3.1问题3.2离散傅立叶级数3.3有限离散傅立叶变换3.4快速离散傅立叶变换3.5 CZT及其快速算法3.6其他变换3.7本章小结4 IIR数字滤波波形设计与实现5 FIR数字滤波器设计与实现6有限字长效应在数字信号处理中的应用， 让巴普蒂斯约瑟夫傅里叶于1768年3月21日出生于法国勃艮第，欧塞尔于1830年5月16日逝世于法国巴黎，3连续信号xa(t)，其傅里叶变换是xa(t)作为时域连续信号。 Xa()是频域中的连续信号。3.

2、1:连续信号的傅立叶变换；4.离散信号在两个变换域的表示方法：1)离散时间傅里叶变换DTFT -提供了一种绝对加性离散时间序列在频域的表示方法。2)Z变换提供任意序列的Z域表示。这两种变换有两个共同的特点：1)变换适用于无限序列；2)它们是连续变量或Z的函数，3.1提出问题：离散信号的变换，5。问题：X(z)和X(ejw)是连续的，难以用计算机处理，例如用Matlab，因此提出了频域采样离散化频谱的问题。该序列必须被截断以获得有限点的序列。目的：我们需要一种可以数值计算的变换方法：1)原始信号频谱在频域的DTFT周期展开；2)频域的DTFT采样。3)将离散傅立叶变换推广到有限时间序列离散傅立叶

3、变换。(离散傅立叶变换避免了上述两个问题，是一种可以用计算机实现的变换方式。离散傅立叶变换已经成为数字信号处理器算法的核心变换，原因如下：1 .它已成为有限长序列傅里叶变换的一种重要方法。2.有一个快速算法。3.1:可计算性，6.3.1:四种形式的傅立叶变换，非周期连续时间傅立叶变换，连续频率周期连续时间傅立叶级数，离散频率非周期离散时间离散时间傅立叶变换(DTFT)，连续频率周期离散时间离散时间傅立叶级数，离散频率，7.1。非周期性连续时间信号：傅立叶变换傅立叶变换，时域的非周期性使频域成为一个连续的谱密度函数。3.1:傅立叶变换的四种形式，8.2。周期连续时间信号：傅里叶级数，时域连续函数

4、使频域成为非周期谱。对应于频域色散的时域是一个周期函数。3.1 .傅立叶变换的四种形式，时域周期和频域离散，9.3。非周期离散信号：离散时间傅里叶变换DTFT，时域离散化导致频域的周期性扩展，非周期时域对应于频域的连续性，3.1。傅立叶变换的四种形式，时域离散频域周期，采样定理，10。4.周期性离散时间信号：离散傅立叶级数离散傅立叶变换，一个域的色散引起另一个域的周期性扩展。离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的和周期性的。3.1提出问题：傅立叶变换的四种形式，时域周期，离散频域周期，离散，11。傅立叶变换的四种形式概述：离散时间函数的采样间隔：T1，采样频率：离散频率函数的采样间隔：F0，时间

5、周期：3.1提出的问题：傅立叶变换的四种形式，结论：时域中的函数采样(离散)(映射)在频域中重复；频域中的函数采样(映射)和时域中的函数循环重复；采样间隔(映射)周期(2/区间)，12，0，时域中的函数采样和频域中的函数采样，3.1提出问题：傅立叶变换的四种形式，13，主题概述， 1-引言2-离散时间系统和离散时间信号的变换3-离散傅立叶变换及其快速计算方法3.1题3.2离散傅立叶级数3.3有限离散傅立叶变换3.4快速离散傅立叶变换3.5 CZT及其快速算法3.6其他变换3.7本章小结4 IIR数字滤波波形设计与实现5 FIR数字滤波器设计与实现6数字信号处理中的有限字长效应14。 从上面的讨

6、论可以清楚地看出，时域采样会引起频域的周期性扩展，而频域采样也会引起时域的周期性扩展。因此，可以假设，如果同时对频域和时域进行采样，那么时域和频域中的波形将变成离散的周期性波形，因此我们可以用傅立叶级数作为工具来得到它们之间的离散傅立叶级数的DFS关系。3.2 DFS及其性质，15，基本关系表达式如果r和m是整数，那么：其中：3.2.1 DFS定义：初步知识，证明：对于r=m:无论k取什么值，显然方程成立。对于RM:16，为了推导关系，替换以下变量：时域：频域：然后得到：3.2.1 DFS定义：正向变换，17。周期离散序列的z变换因周期离散序列而存在(收敛)，但对于周期信号，其z变换在严格的数

7、学意义上不收敛，因为如果找不到衰减因子，它是绝对可和(收敛)的。因此，定义了一个新的函数，它的z变换是3.2.1 DFS，它的频谱是一个需要离散化的连续变量，它的频谱是3.2.1 DFS，它为z变换取一个主周期，它的频域采样X(ejw)是一个连续变量的周期函数。离散化，即在02区间内等间隔取n个点，采样间隔为2/n。另一方面，X(ejw)是z平面单位圆上的z变换。连续变量的离散化也可以看作是将单位圆分成n个相等的部分，每个部分分成2/n。在这种情况下，称为频域采样间隔和频率分辨率。3.2.1 DFS定义：正变换，20，3.2.1 DFS定义：正变换，那么，其中，21，DFS:3.2.1 DFS

8、定义：正变换，只有0，1，N-1个独立值，有一个N的周期。因为，随着k周期的变化，只有0，1，N-1个独立值。只有0，1，N-1个独立值。因此，22，逆变换IDFS将正向变换的两端乘以，m=0，1，N-1，然后将k=0，1，N-1相加得到：3.2.1离散傅立叶变换定义：逆变换，使用正交条件：23，3.2.1离散傅立叶变换定义：逆变换，得到X(n只取x(m)，变量m被N代替，得到，24离散傅立叶变换对：时域周期序列和频域周期序列之间的关系，3.2.1离散傅立叶变换定义：逆变换频率采样频率采样：如果时间信号是有限的，当满足以下条件时，X(ejw)的采样值X(k)可以恢复到原始信号而不失真。为了避免

9、时间混叠：(1)它必须是有时间限制的(有限的时间宽度)；(2)采样频率间隔小于3.2.1 DFS定义：几种解释，26。如果变量DFS可以表示为：因此，时域n和频域k都有物理意义。3.2.1离散傅立叶变换定义：几种解释，(指数项kn不变)，27，更具体地说，傅立叶系数的标号K与频率F之间的关系是：所以：对应关系：傅立叶系数标号K: 0N数字频率：02模拟频率F: 0FS，3.2.1离散傅立叶变换定义：几种解释，28，3.2.1频率分量的DC分量：当k=0时，此时得到的傅立叶级数的系数称为信号的DC分量，它是信号的平均值；交流分量：其他频率(k0)称为周期信号的谐波，此时的傅立叶级数系数称为信号的

10、交流分量。当k=1时，频率为信号的一次谐波或基频，频率为fs/N，时间为NTs，等于完成一个周期所需的时间。其他谐波是基频的整数倍。离散傅立叶级数包含从0到(N-1)fs/N的频率，因此N个傅立叶级数的系数位于从0到接近采样频率的频率。时域、29、3.2.1离散傅立叶变换定义：有几点表明，周期信号的频谱可以从傅立叶系数中获得。不难证明，如果它是一个实序列，那么振幅谱是一个周期偶函数，相位谱是一个周期奇函数。用离散傅里叶级数展开法得到的周期信号的频谱与用离散时间傅里叶变换DTFT法得到的非周期信号的频谱有很大的区别。DTFT产生连续频谱，这意味着频谱在所有频率上都有值，因此非周期信号的幅度和相位

11、频谱是平滑和不间断的曲线。相反，DFS只有n个频谱点，并且只包含有限数量的频率，因此周期信号的幅度和相位频谱是线谱，即等间距的垂直线。当频谱的横坐标变量用实际频率F代替K时，谱线间隔为fs/n.并非所有周期信号都包含所有谐波。例如，有些频谱只有奇次谐波，如三角波，偶次谐波为0，而有些频谱在某些谐波处只有0值。三十岁。从离散傅立叶变换的定义可以看出，它是一个数值表达式，可以通过多种方式实现。1)使用循环语句.结束计算每个样本，为.end语句可用于实现求和。要计算所有离散傅立叶变换系数，另一个.需要结束循环，这将导致两个嵌套的for。结束循环运行。显然，这种方法效率低下。2)使用矩阵向量乘法的离散

12、傅立叶变换正变换定义为将特定的N和K值代入上述定义，并扩展以下等式：3.2.1离散傅立叶变换定义：Matlab实现，31，3.2.1离散傅立叶变换定义：Matlab实现，以矩阵形式表示：32，3.2.1离散傅立叶变换定义：Matlab实现，如果给定了列向量，它可以以矩阵运算形式给出。使用下列Matlab函数dfs和IDF实现dfs正向和反向转换。，33，函数Xk=dfs(xn，N) %计算离散傅立叶级数系数% - % Xk=dfs(xn，N) % Xk=DFS系数。阵列超过0=k=N-1 % xn=一个周期的周期信号超过0=N=N-1% N=0基本周期的xn % N=0:1:N-1；n k=0

13、:1:N-1的%行向量；k WN=exp(-j*2*pi/N)的行向量百分比；% Wn系数NK=n * k；%创建了一个由自然资源价值组成的矩阵，自然资源价值=WN .nk .% DFS矩阵Xk=xn * WNnk3.2.1离散傅立叶变换系数的行向量百分比定义：Matlab实现，34，函数xn=idfs(Xk，N) %计算逆离散傅立叶级数% - % xn=idfs(Xk，N) % xn=周期信号的一个周期超过0=n=N-1 % Xk=DFS系数0 .上的数组=k=N-1% N=Xk的基本周期% N=0:1:N-1；n k=0:1:N-1的%行向量；k WN=exp(-j*2*pi/N)的行向量

14、百分比；% Wn系数NK=n * k；%创建了一个由自然资源价值组成的矩阵，自然资源价值=WN .(-朝鲜)；% IDFS矩阵xn=(Xk * Wnk)/N；IDFS值的行向量百分比，3.2.1 DFS定义：Matlab实现，35，3.2.1 DFS定义：计算举例，解：根据定义求解，例3.1已知序列x(n)是周期为6 的周期序列，如图所示，试求其深度优先搜索的系数，36，例3.2求出下面周期序列的深度优先搜索表示式解：上述序列的基本周期为N=4，因而W4=e-j2/4=-j，3.2.1 DFS定义：计算举例，因而，37，用Matlab计算，程序和结果如下：xn=0，1，2，3；n=4；xk=dfs(xn，N)xk=6.0000-2.0000 2.0000 I-2.0000-0.0000 I-2.0000-2.0000 I，3.2.1 DFS定义：计算举例，38，3.2.1 DFS定义：计算举例，39，3.2.1 DFS定义：计算举例，40，例3.4下面给出一周期方波序列：其中，m=0，1，2，N是基本周期，左/右是占空比a)确定一种用L与N描述的的表达式b)分别画出当L=5，N=20L=5，N=40L=5，N