3.1.1方程的根与函数的零点

1、3.1.1 方程的根与函数的零点,全州高中 陆奕香,思考： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的根与二次函数 y=ax2+bx+c (a0) 的图象有什么关系？,观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，如,(1)方程 x22x30与函数 yx22x3； (2)方程 x22x10与函数 yx22x1； (3)方程 x22x30与函数 yx22x3 .,画画二次函数的图象,方程,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x 轴交点

2、的横坐标,问题1:从该表你可以得出什么结论？,问题2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,判别式 =b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x1 、x2,上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x 轴交点的横坐标,函数的零点的定义：对于函数 yf(x)，我们把使 的实数 x 叫做函数 yf(x) 的零点.,方程、函数、图象之间的关系：,f(x)0,方程 f(x)=0

3、有实数根,函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点,函数 y=f(x) 有零点,注意：零点指的是一个实数，并不是一个坐标.,等价关系,数,形,函数零点的定义,例1 函数 f(x)=x(x4) 的零点为（ ） A(4，0)，(0，0) Bx=0 Cx=4 D4，0,函数零点的定义的应用,例1 函数 f(x)=x(x4) 的零点为（ ） A(4，0)，(0，0) Bx=0 Cx=4 D4，0,解析：由x(x4)=0得x=0或x=4. 注意：函数的零点是实数，而不是点.,解方程是求函数零点的一种方法.,函数零点的定义的应用,D,画函数图象是求函数零点的第二种方法.,下面是桂林市1月份的某两天从0点

4、到12点的温度变化图.请你把它补充成完整的函数图象.,图 1,图 2,请问：这段时间内，是否一定有某时刻的气温为 0 度？,思考：函数 y=f(x) 存在零点的条件是什么？,零点存在性的探究,函数零点的存在性定理：,如果函数 y=f(x) 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a) f(b)0，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点 即存在 c(a,b)，使得 f(c)=0，这个c 也就是方程 f(x)=0 的根,思考1：若满足条件f(a)f(b)0,能否保证在区间(a,b)内有零点？,思考2：在区间a,b上连续且f(a)f(b)0,函数的零点唯一吗？,思

5、考3：若在区间（a,b）有零点时，一定有f(a)f(b) 0吗？,思考4：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)f(b)0时，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定没有零点吗？,例2 已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：,那么函数在区间1,6上的零点至少有（ ）个 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个,零点存在性定理的应用,B,例3 函数 f(x)= -x3-3x+5 在哪个区间一定有零点（ ） A (0 , 1) B (1，2) C (2，3) D (3 , 4),零点存在性定理的应用,例3 函数 f(x)=-x3-3x+5

6、在哪个区间一定有零点（ ） A (0 , 1) B (1，2) C (2，3) D (3 , 4),分析：计算f(0)=5 f(1)=-1-3+5=1 f(2)=-8-6+5=-9 f(3)=-27-9+5=-31 f(4)=-64-12+5=-71,满足条件 f(a)f(b)0,f(1)f(2)0,B,零点存在性定理的应用,解法1：零点的定义,解法2：函数的图象,课堂小结：,两个定义： 两种思想： 两种求零点的方法：,布置作业：,P88 2 P92 2,谢谢大家 参与我的课堂！,例4当x0时,求函数 的零点的个数.,解法一：用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表和图象.,由数值表和函数图象可知，f(2)0,则f(2)f(3)0,这说明函数f(x)在区间（2,3）内有零点.由于函数f(x)在（0，+)内是减函数，所以它仅有一个零点.,例4 当x0时,求函数 的零点的个数.,解法二： 将函数 的零点个数转化为函数 y=1/x 与函数 y=x2-2x 图象交点的个数.,判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（ ） （2）已知函数y=f (x)在