数学物理方法 第二章

1、基本内容：函数级数、幂级数、泰勒级数和基本运算的基本概念和性质：将给定的函数展开成幂级数是本章的重点和难点。级数理论是分析复变函数的有力工具，不仅具有理论意义，而且具有重要的实用价值，因此本章也是复变函数理论的重要内容之一。第二章复变函数级数，2020/7/24，2 2020/7/24，3，(1)复常项级数，2020/7/24，4，2020/7/24，5，(2)复变函数项级数，前n项之和，此极限称为z点级数之和，否则称为z点散度，其中(2)。如果某个区域中的每个点都收敛，就说它在这个区域中收敛。2020/7/24，6，复变函数级数可以化为两个实变函数项级数，(2.3)，其中，(2.1)，复变函

2、数级数，收敛的必要条件，2020/7/24，7柯西准则：收敛的必要和充分条件，绝对收敛：如果它在z点收敛，那么它绝对收敛并一致收敛于这一点：设，(k=1，2)，在域d(或曲线l)上定义，如果它是相反的， 它意味着给定0有一个与z无关的正整数n，所以当nn，什么是自然数p 2020/7/24，8，定理1:绝对收敛级数必须是收敛级数(定义和柯西准则)，定理2:绝对收敛级数的积也是绝对收敛的，积的和等于和的积(与排列顺序无关)，定理3:在d区域是连续的， 并且一致收敛级数的和在d中也是连续的。那么级数和s(z)在l中也是连续的，并且可以在l中逐项积分，也就是说，它们在l中是一致的定理5:如果它们满足

3、实常数并且在d中收敛，那么它们在d中是绝对一致收敛的定理6:在某个区域d或曲线l中一致收敛的级数乘以该区域中的有界函数，并且所得到的级数在该区域中，2020/7/24，第3章，第9节，维尔斯特拉斯定理，是闭域上的单值解析，在l上一致收敛，然后，()，在，上一致收敛；()级数和s(z)在d中是解析的，()具有、(n=1，2)，并且级数在d中的任何封闭区域中一致收敛，如果，2020/7/24，10，(1) dalembert判据：(3)高斯判别法：如果(至少当k足够大时)(这是一个常数)，当1，级数绝对收敛，当1，它发散。每个标准依次增强，其复杂性依次增加。解析的、绝对的和一致的收敛级数可以进行四

4、个运算，逐项积分和逐项求导，2020/7 abel定理：它在圆域的任何闭域上是绝对内部收敛的和一致收敛的，在z=z0上收敛，那么级数在圆域上是绝对一致收敛的(连续的、解析的)。如果，2020/7/24，12，证明3333。几何级数，然后由定理5，在，是收敛的，2020/7/24，第3章，13，推论1 :如果，在，发散，那么级数在圆外处处发散，(用反证的方法由阿贝尔定理证明)，推论2 :对于幂级数，必须有一个，它在任何地方绝对一致地收敛，在圆外处处发散。收敛圆内的幂级数可以任意次逐项积分或导出，且收敛半径不变。2020/7/24，第3章，第14节，证明每个项都是一个幂函数，它是解析的，必须是连续

5、的，而级数可以在收敛环中绝对一致地逐项积分或导出。用相反的收敛半径证明收敛半径：用达朗贝尔或柯西判别法，或，积分或求导并不改变收敛半径，但它改变了，2020/7/24，15，幂级数是收敛圆内的解析函数，本节讨论了圆内的解析函数展开成泰勒级数的问题，泰勒级数的2.2鞍点，2020/7/24，16，定理：(1)泰勒展开是解析的，那么f(z)可以在这个圆域内展开成绝对一致收敛的幂级数，并且这种展开是唯一的，2020/7/24/17。证明：一致收敛是指在圆的任意闭域上的一致收敛，所以对于任意、证明了级数在、上是绝对一致收敛的。然后，证明了扩张具有绝对一致的收敛性和扩张唯一性。参见书p50，2020/7

6、/24，18，a)根据定理，b)根据幂级数在收敛圆中的唯一性展开和绝对一致收敛，(及解析)性质，通过级数的四次运算，逐项积分，计算，求导，等函数得到展开后，b)根据确定收敛半径的方法， a)根据定理r=展开中心b与离b最近的奇点之间的距离(这是最直观、最方便的方法，在实变函数的幂级数理论中找不到)；2020/7/24，19，a)根据定理确定b是f(z)的解析点和离b最近的奇点的收敛半径，或者使f(z)通过导数、积分、函数复合或变元替换等四种运算展开，等价展开公式，一般步骤，ez，sinz，2020/7/24，21，3。函数(1-z)-1，ez，sinz，cosz，思考和讨论问题：1。收敛半径为

7、r的幂级数绝对收敛于，一致收敛于，内，级数的每个项都是解析的。在公共收敛区域，幂级数有四种运算。你怎么想呢？2.为什么泰勒级数的收敛半径等于展开中心到展开函数最近奇点的距离？泰勒扩张的条件是什么？以b为中心的泰勒展开式和z=b附近的泰勒展开式有什么区别吗？作业：p54: 1，2(1)(4)(5)中的泰勒展开，2020/7/24，22，2.3环形解析区域中复变函数的幂级数展开，laurent级数，2020/7/24，第3，23章，正幂部分-解析laurent级数收敛于，laurent级数，在，负幂部分-主要部分，2020/7/24，24，如果f(z)在，中是单值的，那么f(z)可以在这个环域中展

8、开，它是证明方法类似于泰勒定理的证明。1)它包含(z-b)的负幂项，但b不一定是奇点：劳伦特定理，2)在l中必须有被积函数的奇点，所以柯西导数公式不再成立。当特例：r2=0时，b是没有导数的奇点；3)作为环域的一个特例，当，r20，b是解析点时，k为负时的导数是无意义的。4)展开方法：根据定理计算回路积分，得到展开系数；根据环域上laurent级数的绝对一致收敛性和扩张的唯一性。2020/7/24，25，根据定理，它被展开成泰勒级数，这类似于实函数幂级数的展开。劳伦特系列更复杂。根据幂级数在收敛域内的绝对一致收敛性和解析性质，可以使用、ez、sinz、cosz等。幂级数的四种运算，逐项求导，逐

9、项积分，自变量替换和函数的复合展开，泰勒级数和劳伦特级数展开的几种常用方法，p58 59例，2020年7月24日，第3章，26，(1)利用，例1解：的第一部分是分数，2020/7/24，第三章，28，(2)使用ez，sinz，cosz等的展开式。如、(3)级数是逐项导出或积分的，例3，原公式的解：是=p49采用级数乘法或待定系数法，根据cotz是奇数函数，可以知道最低次幂项是z-1，所以让、依次替换、顺序，2020/7/24，第3章，30，(5)其他展开方法，如：展开最右边的项，即，总之， 待展开的函数与已知展开的函数通过积分、导数和自变量替换函数的复合四种运算联系起来，然后通过上述阶数的运算展开。 20