【教学课件】 《用公式法解一元二次方程》 （数学北师大九上）.pptx

1、畅言教育,本课时编写：合肥市第三十八中学 徐晶老师,（第一课时）,问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？,基本步骤如下： 将二次项系数化为1. 将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项. 两边都加上一次项系数一半的平方. 直接用开平方法求出它的解.,导入新课,做一做：你能用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a0) 吗?,解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 . 配方，得 x2 + x +（ ）2 -（ ）2 - = 0, 移项，得 （x + ）2 =,问题1：接下来能用直接开平方解吗？,讲授新课,问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能

2、直接开？,（x + ）2 0 , 4a2 0 . 当 b2- 4ac 0 时,不能开方(负数没有平方根). 当 b2 4ac 0 时,左右两边都是非负数.可以开方,得 x + = x =,这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.,对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a0) , 当 b2- 4ac 0时，,这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.,例1：解方程 （1）x2 - 7x 18 = 0. 解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18.

3、 b2 - 4ac = (-7 )2 - 41（-18 ）=121 0, 即 x1 = 9 x2 = -2.,典例精析,（2）4x2 + 1 = 4x 解：将原方程化为一般形式,得 4x2 -4x + 1 = 0 . 这里a = 4 , b = -4, c = 1. b2 - 4ac = ( -4 )2 - 441 = 0 , 即 x1 = x2 =,例2 解方程：4x2-3x+2=0,因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.,解：,要点归纳,公式法解方程的步骤,1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若

4、b2-4ac 0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac0，则方程没有实数根.,问题：对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a0),如何来判断根的情况？,对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac 0时,方程无实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a0), 的根的判别式，用符号“”来表示.,不解方程判别下列方程的根的情况. (1)x2 - 6x + 1 = 0;(2)2x2 x + 2 = 0; (3)

5、9x2 + 12x + 4 = 0.,解：(1) = (-6 )2 411= 32 0 , 有两个不相等的实数根. (2) = (-1 )2 422= -15 0 , 无的实数根. (3) = ( 12 )2 494= = 0, 有两个相等的实数根.,练一练,3、判别根的情况，得出结论.,1、化为一般式，确定a,b,c的值.,要点归纳,根的判别式使用方法,2、计算 的值，确定 的符号.,例3 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k5 B.k5且k1 C. k5且k1 D. k5,【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有

6、两个不相等的实数根，所以有, k5且k1,故选B.,B,1.解方程：x2 +7x 18 = 0.,解：这里 a=1, b= 7, c= -18. b 2 - 4ac =7 2 4 1 (-18 ) =1210, 即 x1 = -9, x2 = 2 .,当堂练习,2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.,解：去括号 ，得 x 2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. b2 - 4ac=(-7 )2 4 3 8 = 4996 = - 47 0, 原方程没有实数根.,3. 解方程：2x2 -

7、 x + 3 = 0 解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 . b2 - 4ac = 27 - 423 = 3 0 , 即 x1= x2=,4.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.,解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.,所以=b24ac=（5）2-4（-8）1=570.,所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.,这里a=5,b=-8,c=1，,能力提升： 在等腰ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求ABC 的周长.,解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根

8、，,所以=b24ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.,所以b=-10或b=2.,将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；,将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；,所以ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.,课堂小结,公式法,求根公式,步骤,一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ 值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）.,根的判别式b2-4ac,务必将方程化为一般形式,课本习题2.3 4题、5、6题,课后作业,畅言教育,本课时编写：合肥市第三十八中学 徐晶老师,（第二课时）,问题

9、1：解一元二次方程我们学过哪几种方法？,直接开平方法,配方法,公式法 .,问题2：请某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_.,导入新课,(30-2x)(20-x)=678,问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园,并使 花园所占面积为荒地面积的一半.,想一想，你会怎么设计这片荒地？,看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？,讲授新课,解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - 14x

10、+ 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m.,小明设计： 如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.,问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？,x,x,解：设扇形半径为 xm, 根据题意得： 即 x2 = 96. 解方程得 x1 = , x2 = (舍去), 答：扇形半径约为5.5m.,小亮设计： 如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.,问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？,小颖设计： 如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等

11、.,问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？,解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4 , x2 = 24, 将x =24 代入方程中不符合题意舍去 答：小路的宽为4m.,例1 要设计一本书的封面,封面长27,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）,27cm,21cm,典例精析,分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .,9 7,9 7,27cm,21cm

12、,解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由 此得到上下边衬宽度之比为：,9 7,27cm,21cm,解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得,解方程得,故上下边衬的宽度为:,故左右边衬的宽度为:,方程的哪个根合乎实际意义? 为什么?,答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为:1.4cm.,试一试 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？,解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm。依题意得,27cm,21cm,解得,故上下边衬的宽度为:,故左右边衬的宽度为:,（1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或

13、补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; （2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.,方法点拨,例2：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？,分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 2x )m, 宽(60 - x)m. 解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6885.,解得 x1=105(舍去），x2=1

14、.,注意：结果应符合实际意义,我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.,方法点拨,1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是多少？,解：设金边的宽为 x cm, 根据题意得: (90 + 2x)(40 + 2x)72% = 9040. 即 x2 + 65x - 350 = 0. 解方程,得 x1= 5 , x2 = -70 (舍去). 答:金边的宽应是5cm.,当堂练习,2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另 外三边用木栏围成,木栏长40m.,养鸡场的面积能达到180m2吗? 如果能,请给出设计方案;如果不能,请 说明理由.,解:设养鸡场的长为xm,根据题意得: 即 x2 - 40 x + 360=0. 解方程,得 x1 = x2= (舍去), 答：鸡场的为（ ）m满足条件.,x,3. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），