一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

1、平行四边形的判定,秦皇岛市卢龙县下寨乡中学 尹占江,下面图片中，哪些是平行四边形？你是怎样判断的？,回顾旧知,平行四边形的主要特征,1边： a平行四边形两组对边分别平行 b平行四边形两组对边分别相等 2角：平行四边形两组对角分别相等 3对角线： 平行四边形对角线互相平分 .,怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形？,【知识与能力】 系统掌握平行四边形的判定定理； 灵活运用判定定理进行有关判断和说理叙述 【过程与方法】 通过平行四边形判定定理的归纳与说理，培养的归纳推理能力，领会数学的严密性； 通过尝试练习和变式尝试，培养分析问题和解决问题的能力 【情感态度与价

2、值观】 通过平行四边形判定方法的灵活运用，培养主动探索的精神及创新意识； 通过一题多变与一题多解，引发求异创新的欲望,重点： 平行四边形的判定方法及应用 难点： 平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用,张师傅手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？并说明理由,A,C,B,D,ABCD ADBC,证明：连接AC AB=CD，AD=BC，ACAC ACDCAD（SSS） CABDCA ABCD 同理，CADACB ADBC 四边形ABCD为平行四边形,上述问题可归结为： 已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC 求证：四边形ABCD为平

3、行四边形,将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD 想一想，AOBCOD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？,A,C,B,O,D,AOBCOD ,BACACDABCD,CADACBADBC,同理，BOCAOD ,四边形ABCD是平行四边形,结论：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.,平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形,证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABDC，DB E，F分别是边AB，CD的中点， BEDF ADF

4、CBE AFCE 又AECF 四边形AECF是平行四边形,小练习,证明：四边形ABCD是平行四边形 OAOC，ADBC, AEFCFE 又AOECOF AOECOF OEOF 四边形AECF是平行四边形.,证明：作对角线BD，交AC于点O 四边形ABCD是平行四边形 BO=DO 又 EO=FO 四边形BFDE是平行四边形,已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF 求证：四边形BFDE是平行四边形,D,O,A,B,C,E,F,小练习,O,四边形ABCD是平行四边形 AO=CO，BO=DO AE=CF AOAE=COCF EO=FO 又 BO=DO 四边形BFDE是平行四

5、边形,证明：连接对角线BD，交AC于点O,【例2】已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE是平行四边形,还有其他证明方法吗？,AE=CF EAD=FCB AD=BC,证明：四边形ABCD是平行四边形 AD BC且AD =BC EAD=FCB 在AED和CFB中,AED CFB(SAS) DE=BF 同理可证：BE=DF 四边形BFDE是平行四边形,已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，当点E，F满足什么条件时，四边形BFDE是平行四边形？,已知：如图，ABBA，BCCB， CAAC 求证： （1） ABC=B， CAB=A， BCA

6、C； （2） ABC的顶点分别是BCA各边的 中点,小练习,证明：（1） ABBA，CBBC， 四边形ABCB是平行四边形 ABCB（平行四边形的对角相等） 同理CABA，BCAC （2） 由（1）证得四边形ABCB是平行四边形同理，四边形ABAC是平行四边形 ABBC， ABAC（平行四边形的对边相等） BCAC 同理 BACA， ABCB ABC的顶点A、B、C分别是BCA的边BC、CA、AB的中点,小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由,解：有6个平行四边形，分别是： ABOF， ABCO， BCDO， CDEO， DEF

7、O， EFAO 理由是：因为正ABO正AOF，所以AB=BO，OF=FA根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形其它五个同理,取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？,在一方格纸上，画一个有一组对边平行且相等的四边形,步骤1：画一线段AD 步骤2：平移线段AD到BC,根据平移的特征，AD、BC有怎样的关系？,连结AB、DC，得到四边形ABCD，它是一组对边平行且相等的四边形,C,B,D,A,证明：连接AC ADBC DAC=ACB 又AD=BC，AC=AC， ABCCDA BAC=ACD

8、ABCD 四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形),已知：在四边形ABCD中， AD BC 求证：四边形ABCD是平行四边形,平行且相等,你还有其他 证法吗？,在 ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图中的平行四边形有_个 .,抢答,6,已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF,小练习,证明： 四边形ABCD是平行四边形， ADCB，AD=CD E、F分别是AD、BC的中点， DEBF，且DE=AD，BF=BC DE=BF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） BE=DF,一组对

9、边平行且相等的四边形是平行四边形,平行四边形的判定定理3:,符号语言：,AB CD,四边形ABCD是平行四边形,【例3】已知：如图， ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BEAC于E，DFAC于F 求证：四边形BEDF是平行四边形,证明： 四边形ABCD是平行四边形， AB=CD，且ABCD BAE=DCF BEAC于E，DFAC于F， BEDF，且BEA=DFC=90 ABECDF （AAS） BE=DF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）,已知：四边形ABCD， A=C，B=D 求证：四边形ABCD是平行四边形,证明：,四边形ABCD是平行四边形(两组对边

10、分别平行的四边形是平行四边形),同理可证ABCD,又A+ B+ C+ D =360 , 2A+ 2B=360 ,A=C，B=D（已知）,即A+ B=180 , ADBC （同旁内角互补，两直线平行）,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,平行四边形的判定定理4:,符号语言：,A=C，B=D，,四边形ABCD是平行四边形,已知：如图，ACED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由,四边形ABDE和四边形BCDE是平行四边形. 理由:一组对边平行且相等的四边形平行四边形,小练习,已知：如图，在 ABCD中，AE、CF分别是 DAB、BCD的平分线 求证：四边形AFC

11、E是平行四边形,提示：利用“一组对边平行且相等的四边形平行四边形”,小练习,【例4】：如图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证：DEBC且DE= BC,方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由ADECFE，可得ADFC，且AD=FC，因此有BDFC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形所以DFBC，DF=BC，因为DE= DF，所以DEBC且DE= BC,F,方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形所以ADFC，且AD=FC因为AD=BD，所以BDFC，且BD=FC所以四边形ADCF

12、是平行四边形所以DFBC，且DF=BC，因为DE= DF，所以DEBC且DE= BC,F,三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,答: (1)一个三角形的中位线共有三条； (2)三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线,（1）一个三角形的中位线共有几条？ （2）三角形的中位线与中线有什么区别？,三角形的中位线与第三边有怎样的关系？,答：三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半,三角形中位线的性质 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半,利用这一定理，你能证明出在前面思考题中

13、分割出来的四个小三角形全等吗？并说明理由.,A,B,C,现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊接成一个含有45角的平行四边形 (不能有 余料)， 请你设计一种方案，并说明该方案 正确的理由,C,A,B,F,D,C,A,B,E,A,B,C,F,如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是_m，理由是_,40,中位线等于第三边的一半,抢答,如图，ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， （1）若EF=5cm，则AB=_cm；若BC=9cm，则DE=_cm； （2）中线AF与DE中位线有什

14、么特殊的关系？证明你的猜想,10,4.5,抢答,三角形的周长为18cm，它的三条中位线围成 的三角形的周长是多少?为什么?,小练习,9cm; 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半,已知：在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中 点，M，N在CB，AD的延长线上，且 BM=DN 求证：EM=FN,小练习,证明：四边形ABCD是平行四边形， ANBC且ANBC E，F分别是AD，BC的中点 DEBF, BM=DN ENMF四边开有EMFD为平行四边形 EM=FN,(1)已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形,

15、小练习,证明：连结AC，DAG中， AH=HD，CG=GD， HGAC，HG=AC （三角形中位线性质） 同理EFAC，EF=AC HGEF，且HG=EF 四边形EFGH是平行四边形,结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形,平行四边形的判定方法,从边来判定,两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,从角来判定,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,从对角线来判定,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,1下列四边形哪些是平行四边形?为什么？,A,D,C,B,110,70,110,A,B,C,D,120,60,5,5,2根据下列条件，不能判定一个四边形为平行 四边形的是( ) A两组对边分别相等 B两条对角线互相平分 C两条对角线相等 D两组对边分别平行,C,3如图四边形ABCD中，AB/CD，只需添加 一个条件，能使四边形ABCD是平行四边 形，现有条件:AB=CD，BC=AD， AD/BC，ABC=ADC， 这些条件中，满足要求的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个,C,4在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形 的是( ) AABCD，ADBC B AB=CD，AD=BC CABCD，AB=CD D ABCD，AD=BC,D,C,5如图，在 ABCD中，对角线