概率论与数理统计 第三节(2版).ppt

1、随机向量,1,kaishi第一版和第二版的区别仅在于 相关系数的性质 的讲述方法不同,第三节 二维随机变量的数字特征,一维随机变量的数字特征：,1. 数学期望,2.方差,: 反映了随机变量取值的平均水平.,: 刻画了随机变量取值的离散程度.,随机向量,3,第三节 二维随机向量的数字特征,本节内容简介：,四、协方差,一、二维随机向量的数学期望与方差,二、二维随机向量函数的数学期望,三、期望与方差的补充性质,五、相关系数,本节的重点和难点,反映了两个随机变量之间的关系,一、二维随机向量的数学期望和方差,定义 对于二维随机向量 (X, Y) ，如果X和 Y的数学期望EX和EY都存在，则称 (EX,

2、EY) 为(X, Y )的期望(向量) ；如果它们的方差 DX 和 DY 也都存在，则称(DX, DY)为 (X, Y) 的方 差(向量)。,例 设(X, Y)服从二维两点(0-1)分布，求(X, Y)的期望与方差。,解：X与Y的联合分布和边缘分布如下表所示,由于X与Y都服从一维0-1分布,例 (X,Y)服从区域D上的均匀分布，求(X,Y)的期望与方差。其中，,解,，而D为矩形区域,二、二维随机向量函数的数学期望,一维随机变量函数的数学期望：,变函数不变分布,若 则,（离散型）,（连续型）,二、二维随机向量函数的数学期望,若Z = g (X, Y )是二维随机向量 (X, Y ) 的函数，为求

3、Z 的数学期望，可以用上节的方法先 求出其分布，再求其期望。,但其过程是很麻烦的 ( 特别是对于连续型随机向量来说 )。,下面不加证明地给出以下结论，可以不用求Z的分布，而直接由已知的 (X, Y )的分布求出 Z 的期望。,变函数不变分布,（一维离散型）,（二维离散型）,（二维连续型）,变函数不变分布,（一维连续型）,例如，对于离散型随机向量 (X,Y ),不必先求边缘分布，直接由联合分布求出期望,对于连续型随机向量 (X, Y),不必先求边缘分布,直接由联合分布求出期望,随机向量,13,不必求X 的边缘分布,若(X,Y )为二维离散型随机变量，则,若(X,Y )为二维连续型随机变量，则,直

4、接由联合分布求X的期望,例3 设二维连续型随机变量(X,Y )的密度函数为,求 EX , EY , E( X + Y ) , E(XY ).,解,一维随机变量期望和方差的性质：,1. E(c)=c;,2. E(cX)=cEX;,3. E(X+c)=EX+c;,4. E(aX+b)=aEX+b;,E(X+Y ) E(XY ) D(X+Y) D(XY),三、期望和方差的补充性质,三、期望和方差的补充性质,性质 1 E(X+Y) = EX+EY,证,对于离散型随机向量(X,Y)，,对于连续型随机向量(X,Y)，,性质2 若X、Y 独立，则 E(XY)=EXEY,证 对于离散型随机向量(X,Y)，,对

5、于连续型随机向量(X,Y)，,（X,Y 独立）,性质3,证,(方差的定义式),X与Y的离差的乘积的期望,性质4,证,当X、Y独立时，XEX与YEY也独立，,由性质3,由性质2可得,须证,于是,性质5,证,X,Y 独立,独立,(方差的计算公式),性质1 E(X+Y) = EX+EY,性质2 若X、Y 独立，则E(XY)=EXEY,性质3,性质4,性质5 若X、Y 独立，则,期望与方差的补充性质:,独立,注意: 性质2和性质4的逆命题不成立,练一练：,X服从区间 上的均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，且X与Y独立，求 和,例(p160) 已知二维随机向量 (X,Y)的概率分布由右表给出， 判断：

6、X和Y的独立性； E(XY)与EXEY是否相等。,解 先求边缘概率，, 判断EXEY与E(XY)是否相等, EXEY=0,求出Z=XY的分布如下表所示,虽然E(XY)=EXEY, 但X与Y不独立。,EX=-0.2 ,EY=0,随机向量,28,但是，二维随机向量的期望 EX 和 EY只反映了X和Y各自的平均值， 方差 DX和DY也只反映了X和Y各自取值的离散程度。,它们对X与Y之间的相互联系不提供任何信息。,前面曾经讲过，二维随机向量(X,Y)是一个整体，而不是X和Y的形式上的简单组合，因为X和Y之间存在一定的内在联系。,四、协方差,因此，我们希望有一个数字特征能够反映X、Y之间的相互联系。,性

7、质3,性质4,期望与方差的补充性质:,若X、Y相互独立，则,X与Y的离差的乘积的期望,协方差,随机向量,30,如果两个随机变量X和Y的期望和方差都存 在，则称 E(X-EX)(Y-EY) 为X与Y的协方差，记为Cov(X,Y), 即,协方差的定义：,Cov(X,Y) =E (X-EX)(Y-EY) ,离差的乘积的期望,Covariance：协方差,=E(XY)-EXEY-EYEX+EXEY,=E(XY)-EXEY,=EXY-X(EY)-Y(EX)+(EX)(EY),计算公式,Cov(X,Y)=E (X-EX)(Y-EY) ,定义式,乘积的期望减期望的乘积,Cov(X,Y)=E (X-EX)(Y

8、-EY) ,离差的乘积的期望,定义式：,计算公式：,方差,协方差,方差,协方差,离差的平方的期望,离差的乘积的期望,平方的期望减期望的平方,乘积的期望减期望的乘积,随机向量,33,方差是协方差的特例,协,协,方差是方差的推广,方差反映了随机变量本身的离散程度,协方差在一定程度上反映了X和Y相互间的关系,协调协作协同,例(p162) 已知二维随机向量(X,Y)的概率分布如 下表所示，求Cov(X,Y),Cov(X, Y)=E(XY)-EXEY,例(p162) 已知二维随机向量(X,Y)的概率分布如 下表所示，求Cov(X,Y),再求出Z=XY的分布， 如下表所示,得 E(XY) =0.7,Cov

9、(X, Y)=E(XY)-EXEY=0.7-0.50.9=0.25,解 先求边缘分布，,EX=0.5,EY=0.9,可得,协方差的性质:,1. Cov(X, Y)= Cov(Y, X),3. Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y),2. Cov(X, X)= DX, Cov(Y,Y)=DY,证,离差的 计算公式,4.Cov(X+a, Y+b) = Cov(X, Y),证,5.Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z)+Cov(Y, Z),证,离差的定义式,离差的定义式,6. Cov(X+Y, X-Y) =DX-DY,证,7. D(XY) = DX + DY2Cov(X, Y)

10、,证,5.Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z)+Cov(Y, Z),Cov(Z, X+Y) = Cov(Z, X)+Cov(Z, Y),8. 若X与Y相互独立，则 Cov(X,Y) = 0,证,若X、Y独立，则 E(XY)=EXEY,故 Cov(X,Y) =E(XY)-EXEY=0,逆不成立,8. 若X与Y相互独立，则 Cov(X,Y) 0,6. Cov(X+Y, X-Y) =DX-DY,7. D(XY) = DX+DY2Cov(X, Y),4.Cov(X+a, Y+b) = Cov(X, Y),5. Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z)+Cov(Y, Z),1. Cov(

11、X, Y)= Cov(Y, X),3. Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y),2. Cov(X, X)= DX, Cov(Y, Y)=DY,协方差的性质:,随机向量,42,第三节 二维随机向量的数字特征,本节内容：,四、协方差,一、二维随机向量的数学期望与方差,二、二维随机向量函数的数学期望与方差,三、期望与方差的补充性质,五、相关系数,本节的重点和难点,反映了两个随机变量之间的关系,复习过渡,随机向量,43,定义式：,计算公式：,离差的乘积的期望,乘积的期望减期望的乘积,四、协方差,8. 若X与Y相互独立，则 Cov(X,Y) 0,6. Cov(X+Y, X-Y) =DX-D

12、Y,7. D(XY) = DX+DY2Cov(X, Y),4.Cov(X+a, Y+b) = Cov(X, Y),5. Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z)+Cov(Y, Z),1. Cov(X, Y)= Cov(Y, X),3. Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y),2. Cov(X, X)= DX, Cov(Y, Y)=DY,协方差的性质:,方差是协方差的特例，协方差是方差的推广。,但协方差在反映X和Y相互间的关系上存在很大的局限性。,方差反映了随机变量本身的离散程度，而协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系。,协方差的具体意义不大明显,若X、Y相互独立

13、，则,若，则X、Y不独立.,什么关系？,协方差的值还受X与Y本身度量单位的影响,例如：X、Y表示测量误差，,已知X=1cm，Y=3cm，E(XY) ，则,若用毫米作单位，则,为了克服这些缺点，我们要对协方差进行标准化，引入另一个数字特征 相关系数。,什么是标准化呢？,这一过程称为随机变量标准化.,设,令,则,Y 称为标准化随机变量.,说一个随机变量X是“标准化随机变量”，“标准”二字就是指,而且，标准化随机变量不一定局限于正态分布，对于任意随机变量X，我们都可以把它标准化，得到一个标准化随机变量：,显然,故 是X的标准化随机变量。,标准化随机变量,随机向量,49,现在，考虑任意二维随机向量（X

14、，Y）：,则有,与的相关系数,五、相关系数,定义 设 DX 0 , DY 0 , 称 为随机变量X和Y的相关系数，,记为 . 在不 致引起混淆时，可简记为 ，即,计算公式,随机向量,51,对于任意二维随机向量(X,Y),任何两个随机变量的相关系数都可看成是由这两个随机变量生成的标准化随机变量的协方差。,因此，相关系数亦称标准协方差。,随机向量,52,关于相关系数：,1相关系数也称标准协方差,. 相关系数没有单位,例如：X、Y表示测量误差，单位为“米”,随机向量,53,关于相关系数：,1相关系数也称标准协方差；,. 相关系数没有单位；,3标准化随机变量的协方差和相关系数是一致的。,设和是标准化随

15、机变量,例 求162页例3中 X与Y的相关系数,解 前面已求得,接下来求 DX、DY：,相关系数究竟是如何反映X、Y之间 的相互关系的呢?,下面，我们通过研究相关系数的性 质来回答这个问题。,相关系数的性质：,证 设 ， t 为任意实数 , 则有,D(YtX) =,视为t的二次三项式,=DYD(tX) 2Cov(Y,tX ),= DYt2DX 2t Cov(X,Y ),(定理3.4),性质1,证,定理3.5 若随机变量Y是X的线形函数，即,则 且,性质2 定理3.5和定理3.6,随机向量,59,并且,则 且,定理3.6,定理3.5 若随机变量Y是X的线形函数，即,定理3.和定理3.6可合而为一

16、，叙述如下：,此时称X与Y 线性相关.,的充要条件是X与Y以概率1线性相关， 即存在常数a 和 b, 使得 ,性质2 定理3.5和定理3.6,注意：,相关系数的实际意义,随机向量,64,随机向量,65,随机向量,66,不线性相关,随机向量,67,相关系数表示两个随机变量之间的线性相关程度。,但是，两个随机变量之间除了线性关系，还可能具有其它函数关系。因此，相关系数 确切地说，应称为线性相关系数。,我们只讨论随机变量之间的线性关系， 因此课本中所说的“相关”，都是指“线性相关”； “不相关”，都是指“不线性相关” 。,既然“不相关”是指“不线性相关”，因此“不相关” 不一定“独立”，也可能具有其

17、它相关关系。,随机向量,68,随机变量之间可能存在如下关系：,1相互独立：不存在任何关系；,2线性相关：存在一定的线性关系；,3函数相关：不存在线性关系， 但存在其他的函数关系,独立,线性相关,函数相关,X与Y之间的关系,随机向量,69,但不独立,独立,随机向量,70,不相关 不线性相关,=,=,独立或函数相关,独立和相关的关系：,独立一定不相关,不相关不一定独立,例(p167) 设(X,Y)的分布如右表所示，证明X 与Y不相关，也不独立。,证 显然 EX=0 , EY=0,求出ZXY的分布如下表所示，,得 E(XY)=0,Cov(X, Y)=E(XY)-EXEY =0,即X与Y不相关.,不相关不一定独立,例(p167) 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中,判断X与Y的独立性与相关性。,解 X与Y的联合密度为,由课本141页例14可知, X与Y不独立。,即X与Y不相关.,不相关不一定独立,不相关,不一定独立,函数相关,小 结,本节的重点是： （1）求二维随机向量的函数的数学期望公式,变函数不变分布,（离散