2020年中考数学九年级三轮冲刺：《三角形综合》（四）

1、 最新 Word 欢迎下载 可修改 三轮冲刺：三角形综合（四）1已知ABC中，ABAC（1）如图1，在ADE中，ADAE，连接BD、CE，若DAEBAC，求证：BDCE；（2）如图2，在ADE中，ADAE，连接BE、CE，若DAEBAC60，CEAD于点F，AE4，求BE的长；（3）如图3，在BCD中，CBDCDB45，连接AD，若CAB45，求的值2在等边ABC中，点E，F分别在边AB，BC上（1）如图1，若AEBF，以AC为边作等边ACD，AF交CE于点O，连接OD求证：AFCE；OD平分AOC；（2）如图2，若AE2CF，作BCPAEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CECP3如图（1

2、），在RtABC中，C90，ABC30，点D，E分别是AB，AC的中点，过点B作直线DE的垂线段BM，垂足为M，点F是直线ED上一动点，作RtBFG，使BFG90，FGB30，连接GD【观察猜想】如图（2），当点F与点D重合时，则的值为 【问题探究】如图（1），当点F与点D不重合时，请求出的值及两直线GD、ED夹角锐角的度数，并说明理由【问题解决】如图（3），当点F、G、A在同一直线上时，请直接写出的值4ABC中，ABAC，BAC120，AD，BE分别为ABC的高与中线（1）如图1，求证：AEAD；（2）如图2，点F在AD的延长线上，连接BF，CF，若BECF，求证：AEBAFB；（3）在（2

3、）的条件下，如图3，过点A作BF的平行线交CF于点G，若FG6，求BE的长5如图1，在直角三角形ABC中，BAC90，AD为斜边BC上的高线（1）求证：AD2BDCD；（2）如图2，过A分别作BAD，DAC的角平分线，交BC于E，M两点，过E作AE的垂线，交AM于F当tanC时，求的值；如图3，过C作AF的垂线CG，过G点作GNAD交AC于M点，连接MN若EAD15，AB1，直接写出MN的长度6已知等边ABC和等腰CDE，CDDE，CDE120（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为 ；（2）如图2，点D在ABC内部，点E在AB

4、C外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，BPC的度数为 7如图，在RtABC中，C90，AC8，BC6动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动当点P不与点A重合时，过点P作PDAC于点D、PEAC，过点D作DEAB，DE与PE交于点E设点P的运动时间为t秒（1）线段AD的长为 （用含t的代数式表示）（2）当点E落在BC边上时，求t的值（3）设DPE与ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式（

5、4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值8在ABC中，BAC60，AD平分BAC交边BC于点D，分别过D作DEAC交边AB于点E，DFAB交边AC于点F（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EHAG3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N（i）求ENEG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60得到线段DM，求证：H，F，M三点在同一条直线上9已知：ABC与ABD中，CABDBA，且ADB+ACB180提出问题：如图1，当ADBACB90时，求证：ADBC；类比探究：如图2，当

6、ADBACB时，ADBC是否还成立？并说明理由综合运用：如图3，当18，BC1，且ABBC时，求AC的长10如图1，ABC为等腰直角三角形，BAC90，ADBC于D（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AECF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，连接EF，将DEF绕点D顺时针旋转角（090），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；（3）如图3，连接EF，将DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE与AB交于点G，若AE：AF3：4，求的值参考答案1（1）证明：如图1中，DAEBAC，EACD

7、AB，AEAD，ACAB，EACDAB（SAS），ECBD（2）解：如图2中，连接BDAEAD，EAD60，AED是等边三角形，DEACDE60，EFAD，FEADEA30DAEBAC，EACDAB，AEAD，ACAB，EACDAB（SAS），BDAAEC30，ECBD，EDB90，AE4，AF2，AC，EFAAFC90，EF2，CF，ECBD3，BE（3）解：如图3中，作CMCA，使得CMCA，连接AM，BMCACM，ACM90，CAM45，CAB45，MAB45+4590，设ABACm，则AMm，BMm，ACMBCD90，BCMACD，CACM，CBCD，ACDMCB（SAS），ADBMm

8、，2（1）证明：如图1中，ABC是等边三角形，ABBC，BBAC60，AEBF，ABFCAE（SAS），AFEC如图1中，ABFCAE，BAFACE，AOEOAC+ACOOCA+BAFBAC60，又ACD是等边三角形，ADCDACDCA60，AOEADC，AOE+AOC180，ADC+AOC180，A，D，C，O四点共圆，AODACD60，CODCAD60，AODCOD，OD平分AOC（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CMAE2CF，AMME，AMCF，CAMACF60，ACCA，ACMCAF（SAS），ACMCAF，CMECAM+ACM60+ACM，CFPACF+CAF60+CAF，

9、CMECFP，EMCF，PCFCEM，CMEPFC（ASA），CEPC3解：【观察猜想】如图（2）中，结论：当点F与点D重合时，则的值为2理由：设BMaAEEC，ADDB，DEBC，BDMABC30，BMEM，BMD90，BD2BM2a，DMBMa，在RtGDB中，GDB90，G30，GDBD2a，2故答案为2【问题探究】如图（1）中，结论：的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60理由：延长GD交BF的延长线于P在RtBDM中，设BMa，则BD2a，DMa，在RtBGF中，设BFb，则BG2b，FG，在BGD与BFM中，BG：BF2b：b2a：aBF：BM，DBG60FBDFBM，BGD

10、BFM，DG：FMBD：BM2a：a2：1，即的值为2，BGDBFM，PFDMFBBGD，则在PDF与PBG中，PDFPBG60故的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60【问题解决】结论：的值为4+或4如图（3）1中，当点G在线段AF上时，BDGBMF，BDGBMF90，GDAB，ADBD，GD垂直平分线段AB，GAGB，设BFx，则BG2xAG，FG，BG：AF2x：4如图（3）2中，当点G在线段AF的延长线上时，设BFx，同法可得：BGAG2x，GFx，AF2xx，BG：AF2x：（2xx）4+的值为4+或44（1）证明：如图1中，ABAC，BAC120，ABCC30，BDCD，AD

11、BC，ADAC，BE是ABC的中线，AEECAC，ADAE（2）证明：如图2中，作BPCA交CA的延长线于PP90，BCP30，BPBCCD，FDCP90，BECF，BPCD，RtBPERtCDF（HL），BEPCFD，DFBC，CDDB，FBFC，BFDCFD，AEBAFB（3）解：如图3中，设AG交BE于H，交BC于M，作CNAD交AM的延长线于GAGBF，GAFAFB，FABAFC，GAFAFG，GAGF6，CNAF，NFAG，GCNAFG，NGCN，CGGN，CFANBE，ACB30，DCN90，BAEACN120，AEBAFCN，BAEACN（AAS），AECNAD，ADMMCN90

12、，AMDCMN，ADMNCM（AAS），AMMN，N+NMG90NCG+MCG90，GMCGCM，CGGMGN，AG3GN6，CGGN2，BECFFG+CG6+285（1）证明：如图1中，ADBC，ADBADC90，BAC90，B+C90，B+BAD90，BADC，BADACD，AD2BDCD（2）解：如图2中，作EHAB于H，MGAC于GADBC，tanC，可以假设AD3k，CD4k，则AC5k，BDk，ABk，MA平分CAD，MDAD，MGAC，DMMG，ADMAGM90，AMAM，RtMADRtMAG（HL）ADAG3k，设MDMGx，则CG2k，CM4kx，在RtCMG中，CM2MG2

13、+CG2，（4kx）2x2+（2k）2，xk，DMk，同法可得DEk，如图3中，AE平分BAD，EAD15，BAD30，ADBC，BAC90，BDAC60，C30，MA平分CAD，MACMAD30，MACMCA30，AMBMAC+MCA60BBAM，MAMC，ABM是等边三角形，AMBM，BMCM，GNAD，GNCDAC60，CGAG，AGC90，ACG60CNG，CGN是等边三角形，NCCG，AC2CG，ANCN，BMMC，MNAB6解：（1）结论：AD2PD理由：如图1中，ABC是等边三角形，B60，EDC120，EDB18012060，BEDBBED60，BDE是等边三角形，BPPE，D

14、PAB，APD90，DEDC，DEDB，BDCD，ABAC，BAC60，PADBAC30，AD2PD（2）结论成立理由：延长DP到N，使得PNPD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DMDE，连接BD，BM，CMDEDCDM，MDC180EDC60，DCM是等边三角形，CACB，CMCD，DCMACB60，BCMACD，BCMACD（SAS），ADBM，PBPE，PDPN，四边形BNED是平行四边形，BNDE，BNDE，DEDM，BNDM，BNDM，四边形BNDM是平行四边形，BMDN2PD，AD2PD（3）如图3中，作PDKBDC120，且PDPK，连接PK，CKDBDC，DPDK，BDCP

15、DK，BDPCDK，PDBKDC（SAS），PBCK，PB+PCPC+CK定值，P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，DPBDKPDPK30，BPCDPB+DPK60故答案为607解：（1）如图1中，在RtACB中，C90，AC8，BC6，AB10，PDAC，cosA，AD4t，故答案为4t（2）如图2中，当点E落在BC上时，DEAB，PEAD，四边形APED是平行四边形，DEAP5t，ADPE4t，解得t1，当点E落在BC边上时，t的值为1（3）如图1中，当0t1时，重叠部分是PDE，PEAD，DPEADP90，DE5t，PE4t，PD3t，SPDPE3t4t6t2如图3中

16、，当1t2时，S（MN+PD）PN3t+3t（105t）（105t）18t2+48t24综上所述，S（4）如图41中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时，由题意：，可得，解得t如图42中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时，由题意：，可得，解得t如图43中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，APPB，此时t1，综上所述，满足条件的t的值为或或18（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：DEAC，DFAB，四边形AEDF是平行四边形，AD平分BAC，EADFAD，DEAC，EDAFAD，EADEDA，AEDE，四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所

17、示：BAC60，四边形AEDF是菱形，EAD30，AD、EF相互垂直平分，AEF是等边三角形，EAFAEFAFE60，AD4，AQ2，在RtAQE中，cosEAQ，即cos30，AE4，AEAFEF4，在AEG和EFH中，AEGEFH（SAS），AEGEFH，ENHEFH+GEFAEG+GEF60，ENHEAG，AEGNEH，AEGNEH，ENEGEHAE3412；（ii）证明：如图3，连接FM，DEAC，AED180BAC120，由（1）得：EDF是等边三角形，DEDF，EDFFEDEFD60，由旋转的性质得：MDM60，DMDM，EDMFDM，在EDM和FDM中，EDMFDM（SAS），M

18、EDDFM，由（i）知，AEGEFH，DFM+EFHMED+AEGAED120，HFMDFM+HFE+EFD120+60180，H，F，M三点在同一条直线上9提出问题：解：在DBA和CAB中，DBACAB（AAS），ADBC；类比探究：结论仍然成立理由：作BECBCE，BE交AC于EADB+ACBAEB+BEC180，ADBAEBCABDBA，ABBA，DBAEAB（AAS），BEAD，BECBCE，BCBE，ADBC综合运用：作BECBCE，BE交AC于E由（2）得，ADBCBE1在RtACB中，CAB18，C72，BECC72由CFBCAB+DBA36，EBFCEBCFB36，EFBE1在

19、BCF中，FBC180BFCC72，FBCBEC，CC，CBECFB，令CEx，1x（x+1）解得，x，CF由FBCC，BFCF又AFBF，AC2CF+110解：（1）BEAF，BEAF，理由如下：延长FA交BE于H，ABC为等腰直角三角形，BAC90，ADBC，BADACD45，ABAC，BAEACF135，又ABAC，AECF，ABECAF（SAS），AFBE，EBAFAC，BAFABE+BHABAC+CAF，BACBHA90，BEAF；（2）ABC为等腰直角三角形，BAC90，ADBC，ADBC，四边形ABCE恰为平行四边形，AEBC2AD，AEBC，EADADB90，DEAD；（3）如图3，连接BE，过点E作EHAB于H，DNAB于N，由图1可得：ABC为等腰直角三角形，BAC90，ADBC，ADBDCD，ADCD，又AECF，DEDF，DEF是等腰直角三角形，DFEDEF45由图3可得：EDFBDA90，ADFBDE，又ADBD，DED