新高一数学补习资料第14讲-函数的奇偶性与单调性

1、主 题函数的奇偶性与单调性教学内容1. 掌握函数奇偶性和单调性的关系；2. 能应用函数的奇偶性和单调性解决综合题目。我们在研究函数奇偶性的时候，分析过以下两组函数图像 （一） （二）通过函数图像，你发现他们对称区间上的单调性是怎样的？试着证明你的结论。我们发现偶函数在对称区间上，它们的单调性相反，奇函数在对称区间上，它们的单调性相同。证明：假设一个偶函数在上单调递增，任取，则，由单调性可得：，由偶函数可得：所以，所以当时是减函数（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 如果函数f(x)在R上为奇函数，在1，0)上是增函数，试比较f(),f(),f(1)的大小关系 .由题意，函数在区间上是增函

2、数，于是试一试：定义在R上的奇函数在（0，+）上是增函数，又，则不等式的解集为（A）A（3，0）（0，3） B（，3）（3，+）C（3，0）（3，+）D（，3）（0，3）例2. 已知函数且，求的值解：令，则 为奇函数， 试一试：若，都是奇函数，在（0，）上有最大值5，则在（，0）上有（）A最小值5 B最大值5 C最小值1 D最大值3答案：C例3. 已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，（1）求证：为奇函数；（2）求证：在R上是减函数；证明：（1）证明：令，可得 ，从而，f(0) = 0令，可得 ，即，故为奇函数（2）证明：设R，且，则，于是从而所以，为减函数这里学生首次接触抽象函数，

3、教师可以简单总结一下抽象函数的解题方法，通过赋值求出特殊点（一般是0,或1），再通过构造的形式证明单调性或奇偶性.试一试：已知函数f(x)对一切x、yR，都有f(x+y)= f(x)+ f(y)，(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)解答：例4. 已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m1)f(12m)0，求实数m的取值范围解析： f(x)在(2，2)上是减函数由f(m1)f(12m)0，得f(m1)f(12m) 解得，m的取值范围是()试一试：f(x)是定义在( 0，)上的增函数，且f() = f(x)f(y) （1）求f(1)的值 （2）若f

4、(6)= 1，解不等式 f( x3 )f() 2 解析：在等式中，则f(1)=0在等式中令x=36，y=6则 故原不等式为：即fx(x3)f(36)，又f(x)在(0，)上为增函数，故不等式等价于：（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. f(x)是定义在6,6上的偶函数，且f(3)f(1)，则下列各式一定成立的是() CAf(0)f(2)Cf(1)f(0)2. 已知函数且，求的值答案：13. 若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：解：由已知得因f(x)是奇函数，故 ，于是又是定义在（1，1）上的增函数，从而即不等式的解集是4. 设是定义在上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的的取值范围.解:由题意可知: 又 ，于是不等式 可化为 因为函数在上为增函数,所以不等式可转化为： ,解得：所以的取值范围是 . 本节课主要知识点： 在对称区间上，函数单调性与奇偶性的关系，抽象函数的解题方法【巩固练习】1. 设定义在2，2上的偶函数f（x）在区间0，2上单调递减，若f（1m）f（m），求实数m的取值范围答案：2. 已知函数是奇函数，又