高三寒假复习讲义第8章 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质

1、高三寒假复习讲义第4讲直线、平面垂直的判定与性质知识点1直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图1所示(3)符号语言：a，b，abP，la，lbl.2直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言：如图2所示符号语言：a，bab.3平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言：如下图所示符号语言：AB，AB.4平面与

2、平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言：如下图所示符号语言：，CD，AB，ABCDAB.注意点斜线在平面上的射影的理解斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段. 入门测1思维辨析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.()(5)a，a.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCAD DAA答案B解析连接BD，BDAC，BDCC， 且ACCCC，BD平面

3、CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.3m，n是空间中两条不同直线，、是两个不同平面，下面有四个命题：m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中，所有真命题的编号是_答案解析中，由n，得n或n，又m，mn，故正确；中，也可能n，故错误；中，直线n也可能与平面斜交或平行，也可能在平面内，故错；中，由mn，m，可得n，又可得n，故正确考法综述本考点在高考中多次出现，考题模式主要有三类：直线与平面垂直的判定与证明；利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直；利用定义求直线与平面所成的角和二面角命题法证明线、面垂直问题典例(1)设l是直线，是两个不同的平面，下列说

4、法中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l(2)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证：PA底面ABCD；BE平面PAD；平面BEF平面PCD.解析(1)对于A，若l，l，则，可能相交；对于B，若l，则平面内必存在一直线m与l平行，则m，又m，故.选项C，l可能平行于或l在平面内；选项D，l还可能平行于或在平面内(2)证明：因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以

5、四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.又因为CD面PCD.所以平面BEF平面PCD.答案(1)B(2)见解析【解题法】线面垂直、面面垂直的证法及三种垂直关系的转化(1)线面垂直的证法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个

6、也垂直”利用面面垂直的性质定理(2)面面垂直的证法用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题(3)垂直问题的转化关系1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析由l1l2，l2l3可知l1与l3的位置不确定，若l1l3，则结合l3l4，得l1l4，所以排除选项B、C，若l1l3，则结合l3l4，知l1与l4可能不垂直

7、，所以排除选项A.故选D.2九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.(1)证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值解(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC.由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点

8、E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1SABCDPDBCCDPD；由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2SBCEDEBCCEDE.在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4.3如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2

9、)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解(1)证明：如图，因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以SVAB，又因为OC平面VAB，所以VCVABOCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.4如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的

10、中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解(1)证明：在题图1中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题图2中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由题图1知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2.从而四棱

11、锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.5如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积

12、VEACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.6如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB2，BAD60.(1)求证：OM平面PAB；(2)求证：平面PBD平面PAC；(3)当三棱锥MBCD的体积等于时，求PB的长解(1)证明：因为在PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，所以OM是PBD的中位线，所以OMPB，又OM平面PAB，PB平面PAB，所以OM平面PAB.(2)证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以P

13、ABD.因为底面ABCD是菱形，所以BDAC，又AC平面PAC，PA平面PAC，ACPAA，所以BD平面PAC.因为BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.(3)因为底面ABCD是菱形，M是PD的中点，所以VMBCDVMABCDVPABCD，故VPABCD.又AB2，BAD60，所以S四边形ABCD2.因为四棱锥PABCD的高为PA，所以2PA，得PA，因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.在RtPAB中，PB.7如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥P

14、ABMO的体积解(1)证明：如图，连接OB，因为ABCD为菱形，O为菱形的中心，所以AOOB.因为BAD，所以OBABsinOAB2sin1，又因为BM，且OBM，所以在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM12221cos.所以OB2OM2BM2，故OMBM，即OMBC.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.(2)由(1)可得，OAABcosOAB2cos.设POa，由PO底面ABCD知，POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.又POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2

15、AB2BM22ABBMcosABM22222cos.由于MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，得a或a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以VPABMOS四边形ABMOPO.8.如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高解(1)证明：由已知得ABCDBC. 因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD，因此AD平面BGC.又EFAD，所

16、以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOCB, 交CB延长线于O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABsin60，所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin120.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面ACD1.错解错因分析面面垂直的性质定理是：如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面错解忽略了“垂直于交线”这个条件导致错误正解连接B1D，A1D，在B1BD中，E，O分别是B1B和DB的中点，OEB1D.

17、A1B1平面AA1D1D，A1B1AD1，又AD1A1D，AD1平面A1B1D，AD1B1D.同理可证B1DCD1.又AD1CD1D1，AD1，CD1平面ACD1，B1D平面ACD1.B1DOE，OE平面ACD1.心得体会时间：45分钟基础组1.冀州中学猜题设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()Am，n，且，则mnBm，n，且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则答案B解析对于A，m，n的位置关系应该是平行、相交或异面，故A不正确；对于B，由面面垂直及线面垂直的性质知，mn，故B正确；对于C，与还可以平行或相交，故C不正确；对于D，与还可以相交，所以D不正确

18、故选B.2武邑中学仿真已知不同直线m、n及不重合平面、给出下列结论：m，n，mnm，n，mnm，n，mnm，n，mn其中的假命题有()A1个 B2个C3个 D4个答案C解析为假命题，m不一定与平面垂直，所以平面与不一定垂直命题与为假命题，中两平面可以相交，与可能相交只有是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补3衡水中学模拟设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当l时，lm且ln.但当lm，ln时，若m、n不是相交直线，则得不到l.即l是lm且ln的充分不必要条件故

19、选A.4冀州中学期中已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nC，且m Dmn，且n答案B解析根据定理、性质、结论逐个判断因为，m，则m，的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误5衡水中学仿真设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若，因为m，b，bm，所以根据两

20、个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.6枣强中学预测PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()平面PAB平面PBC；平面PAB平面PAD；平面PAB平面PCD；平面PAB平面PAC.A BC D答案A解析易证BC平面PAB，则平面PAB平面PBC.又ADBC，故AD平面PAB，则平面PAD平面PAB.7冀州中学一轮检测如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的

21、条件即可)答案DMPC(答案不唯一)解析由定理可知，BDPC.当DMPC时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.8武邑中学一轮检测已知a、b、l表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命题：若a，b，且ab，则；若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则b；若a，b，la，lb，l，则l.其中正确命题的序号是_答案解析在正方体A1B1C1D1ABCD中，令平面A1B1CD为，平面DCC1D1为，平面A1B1C1D1为，又平面A1B1CD平面DCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表

22、示a，b，CDC1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即与不平行，故错误因为a、b相交，假设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此， 故正确如果两平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线和另一个平面垂直，故正确当ab时，l垂直于平面内两条不相交直线，不能得出l，故错误9武邑中学月考如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD，ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平

23、面PAC，CDAE，(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，E是PC的中点，AEPC，由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD，PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD，又ABAEA，综上可得PD平面ABE.10冀州中学一轮检测如图，已知AF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4.(1)求证：AC平面BCE；(2)求三棱锥EBCF的体积解(1)证明：过点C作CMAB，垂足为M，因为ADDC，所以四边形ADCM为矩形，所以AMMB2，又AD2，AB4

24、，所以AC2，CM2，BC2，所以AC2BC2AB2，所以ACBC，因为AF平面ABCD，AFBE，所以BE平面ABCD，所以BEAC.又BE平面BCE，BC平面BCE，且BEBCB，所以AC平面BCE.(2)因为AF平面ABCD，所以AFCM，又CMAB，AF平面ABEF，AB平面ABEF，AFABA，所以CM平面ABEF.VEBCFVCBEFBEEFCM242.11.武邑中学模拟如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值解(1)证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，因为QA平面

25、ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，又PQ平面PDAQ，所以PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.又DCQDD，所以PQ平面DCQ.(2)设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.12枣强中学一轮检测如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且ABADCD1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADE

26、F，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直(1)求证：BC平面BDE；(2)若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥FBDE的体积解(1)证明：在矩形ADEF中，EDAD，因为平面ADEF平面ABCD，所以ED平面ABCD，所以EDBC.又在直角梯形ABCD中，ABAD1，CD2，BDC45，所以BC，在BCD中，BDBC，CD2，所以BD2BC2CD2，所以BCBD，所以BC平面BDE.(2)由(1)得，平面DBE平面BCE，作DHBE于点H，则DH平面BCE，所以DH.在BDE中，BDDEBEDH，即DE()，解得DE1.所以VFBDEVBEFD111.能力组13.衡水中学周测已知平面与平面相交，直线m，则()A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案C解析如图，在平面内的直线若与，的交线a平行，则有m与之垂直但却不一定在内有与m平行的直线，只有当时才存在14冀州中学月考如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，AC1A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，给出下列结论：C1M平面A1ABB1；A1BAM；平面AMC1平面CNB1.其中正确结论的个