高等数学 第一章 函数极限与连续 教案

1、【教学内容】1.1 函数【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质【教学重点】函数的概念与性质【教学难点】函数概念的理解【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。二、讲授新课（一）、实数概述1、实数与数轴（1）实数系表（2）实数与数轴关系（3）实数的性质： 2、实数的绝对值（1）绝对值的定义：（2）绝对值的几何意义（3）绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式： ， 3

2、、区间（1）区间的定义：区间是实数集的子集（2）区间的分类：有限区间、无限区间 有限区间：长度有限的区间设与均为实数，且，则数集为以、为端点的闭区间，记作，数集为以、为端点的开区间，记作（，）数集为以、为端点的半开半闭区间，记作，）数集为以、为端点的半开半闭区间，记作（，区间长度： 无限区间数集记作，）， 数集记作（，）数集记作（， 数集记作（，）实数集R记作（，）（3）邻域 邻域：设与均为实数，且，则开区间（，）为点的邻域 记作，其中点为邻域的中心，为邻域的半径。 去心邻域：在的邻域中去掉点后，称为点的去心邻域，记作（二）、函数的概念1、函数的定义： 设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则

3、，使得对于每一个，都有一个惟一的实数与之对应，则称对应法则是定义在D上的一个函数. 记作，其中为自变量，为因变量，习惯上称是的函数。定义域：使函数有意义的自变量的全体，即自变量的取值范围D函数值：当自变量取定义域D内的某一定值时，按对应法则所得的对应值 称 为函数在时的函数值，记作。值 域：当自变量取遍D中的一切数时，所对应的函数值构成的集合，记作M， 即 函数的二要素： 定义域、对应法则【例1.1】 设 ，求（1）；（2） 答：（1）； （2）【例1.2】 设，求，.答： ，=【例2】 判断下列每组的两个函数是否相同 （1）， （2） 【例3】求下列函数的定义域： （1）； （2）=答：（1

4、）；（2）函数的定义域是0，2 2、函数的表示法（1）公式法：用数学表达式表示函数的方法 分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示的函数 例如：绝对值函数 ； 符号函数 取整函数 现行出租车的收费标准： 其中表示不小于的最小整数（2）列表法：将一系列自变量的数值与对应的函数值列成表格表示函数的方法（3）图形法：用图形表示函数的方法说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.3、函数的性质（1）单调性定义：设函数的定义域为D，区间ID，若对I内的任意两点，当时， ，则称在I上单调增加；若当时，有，则称 在I上单调减少，区间I称为单调区间.说明：讨

5、论函数的单调性必须指明所在的区间。（2）奇偶性定义：设函数在D上有定义，若对于任意的，都有，则称 为偶函数；若有，则称为奇函数.性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.【例4】 判断下列函数的奇偶性（1） ； (2)；（3）； （4）答：(1) 偶函数； (2) 奇函数； （3）偶函数； （4）非奇非偶函数（3）有界性定义：设函数的定义域为D，区间ID，若存在一个正数M，使得对任意的，恒有 ，则称函数y=f(x)在区间I上有界。若不存在一个正数M，则称函数 在区间I上无界.说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。例如：与都在（）内有

6、界. 在（0，1）上无界，而在（1，2）上有界（4）周期性定义：设函数在D上有定义，若存在一个非零的实数T，对于任意的，恒 有，则称是以T为周期的周期函数.最小正周期；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期例如：的周期是2，的周期是，的周期是. 函数,（为常数）是周期函数，但不存在最小正周期,（三）、反函数1、定义：设函数，其定义域为D，值域为M. 如果对于每一个，有惟一 的一个与之对应，并使成立，则得到一个以为自变量，为 因变量的函数，称此函数为的反函数，记作说明：的定义域为M，值域为D. 因习惯上自

7、变量、因变量分别用、表示，则的反函数表示为例如：的反函数是， 其定义域就是的值域，值域是的定义域2、性质：函数y=f(x)和其反函数的图象关于直线对称3、反函数的存在性： 一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有反函数【例5】 求下列函数的反函数 （1）； （2）（四）、初等函数1、基本初等函数（1）常数函数（为常数），其图形为一条平行或重合于轴的直线.（2）幂函数（为实数）,其在第一象限内的图形 （3）指数函数（），定义域为R，值域为，（4）对数函数，定义域，值域为R，图形如图1-3（b）所示. （a）（b）（5）三角函数，. 其中正弦函数和余弦函数的定义域都为R，值域都为， 正

8、切函数的定义域为，值域为R（6）反三角函数，。 其中与的定义域都为，值域分别为和 y=arcanx的定义域R，值域为，2、复合函数（1）定义： 设函数的定义域为，函数的值域为，若，则将称为与复合而成的复合函数，称为中间变量，为自变量.例如：函数，因为的值域包含在的定义域（0，+）内，所以是与复合而成的复合函数.（2）注意： 并不是任何两个函数都可以复合的. 如与就不能复合.因为的值域为，而的定义域为，所以对于任意的所对应的，都使无意义； 复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.【例6】 指出下列复合函数的复合过程 （1） ； （2）.解：（1）是由与 复合而成的； （2）是有, 复合而

9、成的.【例7】 已知的定义域为，求的定义域.解： 由得， 所以的定义域为.3、初等函数（1）定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式 表示的函数，称为初等函数.（2）说明：分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数.【例8】1oy 已知， 求1， ，并作出函数图形 解： ； ； ； （五）、建立函数关系举例运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算. 【例9】从边长为的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为， 周长为， 面积为，试分别将和表示

10、为的函数.解： 设矩形的另一条边长为= 该矩形周长=， 矩形面积， .【例10】电力部门规定，居民每月用电不超过30度时，每度电按0.5元收费，当用电超过 30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部 分按每度0.8元收费。 试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系.解： 当时，G=05W 当时,G= 当时,G= 所示【教学内容】1.2 极限【教学目的】理解并掌握极限的概念与性质【教学重点】极限的概念与性质【教学难点】极限概念的理解【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课（一）、数列的极限1、数列（1）定义：按正整数顺序排成的一

11、列数为数列，记作 数列中的每一个数为数列的项，第项为通项（2）通项公式：第项与项数之间的关系式例如：（1）数列1，,的通项为，简记为数列 （2）数列，,的通项为，简记为数列说明：数列可以看作是定义在正整数集上的函数，记作（3）分类： 按项数分为 按是否有界分为 按是否有极限分为2、数列的极限（1）定义：若当无限增大时，数列无限接近于一确定的常数A，则称常数A数 列的极限（或数列收敛于A），记作 （时，.）说明： 并非所有数列都有极限。如数列， . 没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散. 一个常数数列的极限等于这个常数本身，即（为常数） 当无限增大时，数列虽无极限，却有一定的

12、变化趋势，如数列，称 其极限为正无穷大，记作。【例1】 观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限.（1） （2）（3） （4）解：（1）的项依次为1，当无限增大时，无限接近于0， 所以 =0 （2）的项依次为2，当无限增大时，无限接近于1， 所以=1； （3）的项依次为，当无限增大时，无限接近于0， 所以=0； （4）为常数数列，无论取怎样的正整数，始终为4，所以.（2）收敛数列的性质 唯一性：收敛数列的极限是唯一的 有界性：收敛数列一定有界。即有界是收敛的必要条件，无界数列一定发散。（3）数列极限的存在准则 夹逼准则：设有三个数列满足条件：，且则收敛，且 例如：， 单调有界准则：单调有界数列

13、必有极限（二）、函数的极限1、当时，函数的极限（1）当时，函数的极限设函数在时有定义（），如果当自变量的绝对值无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当时，函数的极限，记作（或当时，）.（2）当时，函数的极限设函数在时有定义（），如果当自变量无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当时，函数的极限，记作（或当时，）（3）当时，函数的极限设函数在时有定义（），如果无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当时，函数的极限，记作（或当时，）（4）定理：的充要条件是. 说明：只有当与都存在且相等时才存在。【例2】 讨论下列函数当时的极限. （1）； （2

14、） ； （3）.解：（1）当无限增大时，无限接近于0， 所以=0； （2）， 所以不存在. （3），所以不存在.2、当时，函数的极限（1）当时，函数的极限设函数在的某去心邻域内有定义，如果当无限趋近于时，无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当时函数的极限，记作或当，A（2）当 及时，函数的极限设函数在（）（或（）内有定义，若当自变量从的左（右）近旁无限接近于，记作（）时，函数无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为时的左（右）极限，记作或，（或）.（3）定理 的充要条件是. 说明：定义中并不要求在点处有定义； 存在当且仅当与都存在且相等 例如：函数，当从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线上

15、的点M与M都 无限接近于点N(1,2)，即函数的值无限接近于常数2，所以. 【例3】 考察当时，函数的变化趋势，并求时的极限.解： 从函数的图形可知，当从左、右两旁同时无限趋近于-1时， 函数的值无限趋近于常数， 所以【例4】讨论下列函数当时的极限.（1）； （2）.解：（1）因为， 所以 不存在. （2）因为， 所以 . （四）、极限的四则运算1、极限的四则运算定理：设，,则（1）；（2），（C为常数）；（3）；（4）(B)说明：（1）上述运算法则对于时的情形也是成立的 （2）法则(1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形. （3）对于数列极限也是有类似的四则运算法则.【例5】 求下

16、列极限（1）； （2）【例6】 求下列极限（1）； （2）.【例7】求下列函数极限.（1）； （2）.【例8】 设无穷等比数列的首项为，公比q满足，求数列的所有项之和S.【教学内容】1.3 两个重要极限【教学目的】理解并掌握极限的概念与运算【教学重点】极限的概念与运算【教学难点】极限概念的理解及运算【教学时数】2学时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课（一）、重要极限1、列表考察当时，的变化趋势.0.84147090.95885110.99833420.99998330.9999998 从上表可以看出，当时，的值无限趋近于1， 所以说明：极限的正确性可用极限存在准则证明2、特点：型

17、【例1】求下列极限（1）； （2）.【例2】证明：. 证： =1【例3】 求下列极限 （1）； （2）； （3）. 解：（1） （2）= （3）=1（二）、重要极限1、列表考察当时，函数的变化趋势. x1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828x-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972.731992.719642.718422.718302.71828 从上表可以看出，当，的值都无限趋近于 所以说明：极限的正确性可用极限存在准则证明 若令，则当时，所以上式可

18、改写成：2、特点：型 【例4】 求下列极限 （1）； （2）； （3）.解：（1）= （2）= （3）= =【教学内容】1.4 无穷小与无穷大【教学目的】理解并掌握无穷小与无穷大的概念与性质【教学重点】无穷小的性质及比较【教学难点】无穷小的性质及比较【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课(一)、无穷小1、无穷小的定义在自变量的某一变化过程中，若函数的极限为零，则称此函数为在自变量的这一变化中的无穷小量，简称为无穷小.例如：函数，因，则函数是当时的无穷小. 函数，因，则函数是当时的无穷小.说明：（1）必须指明自变量的变化趋势. （2）常数中只有“0”可以看成无穷小2、无

19、穷小的性质：（1）有界函数与无穷小的乘积为无穷小；（2）有限个无穷小的代数和为无穷小； 说明：必须是有限个。如（3）有限个无穷小的乘积为无穷小.【例1】求下列极限（1）； （2）解：（1） 因， 所以 （2） 因， 所以3、无穷小与极限的关系定理：在自变量的某一变化过程中，函数的极限为A的充要条件是可以表示 成A与一个同一变化过程中的无穷小量之和. 即 (二)、无穷大 1、无穷大的定义 在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值无限增大，则函数称为在自变量的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记为例如：函数，因，则是时的无穷大。 函数，因，所以是当时的无穷大。函数，因.所以是当时的无穷大。说明

20、：（1）这里采用极限记号只为方便起见，并不表明极限存在 （2）必须指明自变量的变化趋势.2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为不恒等于零的无穷小，则为无穷大.【例2】求.解： 因为= 所以.结论： （三）、无穷小的比较1、定义：设与是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，（1）若，则称是比较高阶的无穷小，记作；（2）若（为非零常数），则称与是同阶无穷小，特别地，若，则称 与是等价无穷小，记作.（3）若，则称是比较低阶的无穷小2、常用的等价无穷小（当时） 【例3】下列函数是当时的无穷小，试与相比较，哪个是高阶无穷小？哪个是同阶无穷 小？ 哪个是等价无穷

21、小？（1） （2） （3）解 因为=，所以当时，是与等价的无穷小。 因为=3， 所以当时，是与同阶的无穷小 因为=0，则当时，是比高阶的无穷小【例4】利用等价无穷小求下列极限（1）， （2）【教学内容】1.5函数的连续性【教学目的】理解并掌握函数连续性的概念，了解闭区间上连续函数的性质【教学重点】函数在一点连续的概念【教学难点】函数间断点的判断【教学时数】6学时【教学过程】一、组织教学，引入新课在许多实际问题中，变量的变化往往是“连续”不断的. 例如，气温的变化、物体的运动等，其特点是时间变化很小时，这些变量的变化也很小. 变量的这种变化现象，体现在函数关系上，就是函数的连续性. 本节我们将用

22、极限来定义函数的连续性.二、讲授新课(一)、连续函数的概念1、函数的改变量（1）变量的增量定义：设变量从初值变到终值，则终值与初值的差称为变量的改变量，也称为增量，记作.即说明：变量的改变量可以是正的，也可以是负的.（2）函数的增量定义：设函数在内有定义，当自变量在该邻域内从变到（即在处有改变量）时，函数相应地从变到，所以函数相应的改变量为【例1】已知函数，当自变量有下列变化时，求相应的函数改变量.（1）从变到1；（2）从1变到0；（3）从1变到.解：（1）（2）（3）2、函数在点处的连续性（1）函数在点处连续定义：设函数在内有定义，当自变量在处的改变量时，相应的函数改变量，即，则称函数在点处

23、连续，点为函数的连续点.注： 若令，则就是，就是，即就是，因此有等价定义.定义：设函数在内有定义，若当时，函数的极限存在，且极限值就等于在点处的函数值，即，则称函数在点处连续说明：函数在点处连续的含义 在点处极限存在是在点处连续的必要条件【例2】试用定义证明：函数在点处连续.证明：显然函数在点的邻域内有定义. 设自变量在处有改变量，则当，相应的函数改变量的极限.，所以，函数在点处连续.【例3】 试用定义证明：函数在点处连续.证明 显然在的邻域内有定义，又，即 ，所以函数在点处连续.（2）左连续与右连续左连续：若函数在上有定义，且，则称函数在处左连续。右连续：若函数在上有定义，且，则称函数在处右连续。（3）函数在点处连续函数在点处既左连续又右连续【例4】 判断函数在处的连续性答 函数在处连续3、函数在区间上的连续性（1）开区间内连续若函数在开区间内的每一点处都连续，则称函数在开区间内连续（2）闭区间上连续若函数在开区间内连续，且在右连续，在左连续，则称函数在闭区间上连续.（二）、函数的间断点1、定义：若函数在点处不连续，则称函数在点处间断，称点为函数的间断点.2、形成：（1）函数在点处无定义；（2）当时，的极限不存在；（3）极限不等于在点处的函数值，即.3、分类