高考数学(理科)二轮复习【专题2】导数及其应用

1、第3讲导数及其应用考情解读(1)导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点(2)利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用1导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性3函数的极值

2、与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值.热点一导数的运算和几何意义例1(1)(2014广东)曲线ye5x2在点(0,3)处的切线方程为_(2)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：yax31(a0)与曲线C2：x2y2的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是_思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率

3、，写出点斜式方程，再化为一般式方程(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出答案(1)5xy30(2)4解析(1)因为ye5x(5x)5e5x，所以y|x05，故切线方程为y35(x0)，即5xy30.(2)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f(x0)3ax20，C2在A处的切线的斜率为，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以()3ax201，即y03ax30，又ax30y01，所以y0，代入C2：x2y2，得x0，将x0，y0代入yax31(a0)，得a4.思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P

4、也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解(1)已知函数yf(x)的导函数为f(x)且f(x)x2f()sin x，则f()_.(2)若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a_.答案(1)(2)2解析(1)因为f(x)x2f()sin x，所以f(x)2xf()cos x所以f()2f()cos.所以f().(2)f(x)sin xxcos x，f()1，即函

5、数f(x)xsin x1在点x处的切线的斜率是1，直线ax2y10的斜率是，所以()11，解得a2.热点二利用导数研究函数的性质例2已知函数f(x)(xa)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x0,4时，求函数f(x)的最小值思维启迪(1)直接求f(x)，利用f(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间0,4和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到解(1)因为f(x)(xa)ex，xR，所以f(x)(xa1)ex.令f(x)0，得xa1.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下：x(，a1)a1(a1，)f(x

6、)0f(x)?故f(x)的单调减区间为(，a1)，单调增区间为(a1，)(2)由(1)得，f(x)的单调减区间为(，a1)；单调增区间为(a1，)所以当a10，即a1时，f(x)在0,4上单调递增，故f(x)在0,4上的最小值为f(x)minf(0)a；当0a14，即5a0或f(x)0.若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解(4)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(5)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区

7、间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值已知函数f(x)ln x，aR.(1)若函数f(x)在2，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值为3，求实数a的值解(1)f(x)ln x，f(x).f(x)在2，)上是增函数，f(x)0在2，)上恒成立，即a在2，)上恒成立令g(x)，则ag(x)min，x2，)，g(x)在2，)上是增函数，g(x)ming(2)1.a1，即实数a的取值范围为(，1(2)由(1)得f(x)，x1，e若2a0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是增函数所以f(x)minf(1)2a3，解

8、得a(舍去)若12ae，令f(x)0，得x2a.当1x2a时，f(x)0，所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2ax0，所以f(x)在(2a，e)上是增函数所以f(x)minf(2a)ln(2a)13，解得a(舍去)若2ae，则x2a0，即f(x)0)，设F(x)f(x)g(x)(1)求函数F(x)的单调区间；(2)若以函数yF(x)(x(0,3)图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值；(3)是否存在实数m，使得函数yg()m1的图象与函数yf(1x2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由思维启迪(1)利用F(x)确定

9、单调区间；(2)kF(x0)，F(x0)分离a，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化解(1)F(x)f(x)g(x)ln x(x0)，F(x).a0，由F(x)0x(a，)，F(x)在(a，)上是增函数由F(x)0x(0，a)，F(x)在(0，a)上是减函数F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，)(2)由F(x)(0x3)得kF(x0)(0x03)恒成立axx0恒成立当x01时，xx0取得最大值，a，即a的最小值为.(3)若yg()m1x2m的图象与yf(1x2)ln(x21)的图象恰有四个不同交点，即x2mln(x21)

10、有四个不同的根，亦即mln(x21)x2有四个不同的根令G(x)ln(x21)x2.则G(x)x当x变化时，G(x)和G(x)的变化情况如下表：(，1)(1,0)(0,1)(1，)G(x)的符号G(x)的单调性?由表知G(x)极小值G(0)，G(x)极大值G(1)G(1)ln 2.又由G(2)G(2)ln 52a2成立，求实数m的取值范围解(1)由已知，得f(x)2ax(x0)当a0时，恒有f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数当a0时，若0x0，故f(x)在(0, 上是增函数；若x ，则f(x)0，故f(x)在 ，)上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当aa2成立，等

11、价于maa2f(x)max.因为a(4，2)，所以 2a，即ma2.因为a(4，2)，所以2a20的必要不充分条件2可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点3利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论.真题

12、感悟1(2014江西)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_答案(ln 2,2)解析设P(x0，y0)，yex，yex，点P处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点P的坐标为(ln 2,2)2(2014浙江)已知函数f(x)x33|xa|(a0)，若f(x)在1,1上的最小值记为g(a)(1)求g(a)；(2)证明：当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.(1)解因为a0，1x1，所以当0a1时，若x1，a，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(a,1)上是增函数所以g(a)f(a)a3.当a1时，有xa，则f(x)

13、x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(1,1)上是减函数，所以g(a)f(1)23a.综上，g(a)(2)证明令h(x)f(x)g(a)当0a1时，g(a)a3.若xa,1，则h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以h(x)在(a,1)上是增函数，所以，h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3，且0a0，知t(a)在(0,1)上是增函数所以，t(a)t(1)4，即h(1)0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,

14、2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.2已知函数f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)4at对任意的x1,3，t0,2恒成立，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)ln x，f(x)，令f(x)0得x2，x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2；又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，(ln 3)ln 310，f(1)f(3)，x1时函数f(x)取得最大值为，x2时函数f(x

15、)取得最小值为ln 2.(2)由(1)知当x1,3时，ln 2f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2，解得a1，则不等式exf(x)ex1的解集为_答案x|x0解析构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.5若函数f(x)loga(x3ax)(a0，a1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是_答案，1)解析由x3ax0得x(x2a)0.则有或所

16、以x或x0，即函数f(x)的定义域为(，)(，0)令g(x)x3ax，则g(x)3x2a.由g(x)0得x0.从而g(x)在x(，0)上是减函数，又函数f(x)在x(，0)内单调递增，则有所以ag(x)，则当axg(x)；f(x)g(x)f(a)；f(x)g(b)g(x)f(b)答案解析f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是增函数，当axf(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a)7若函数f(x)在x(2，)上单调递减，则实数a的取值范围是_答案(，)解析f(x)，令f(x)0，即2a10，解得a.8已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线

17、恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案2，1解析由题意知，点(1,2)在函数f(x)的图象上，故mn2.又f(x)3mx22nx，则f(1)3，故3m2n3.联立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，19已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案0t1或2t3解析f(x)x4，由f(x)0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t1)内，函数在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，解得0t1或2t0)，令f(

18、x)0得2a，设(x)，则(x).易知(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，大致图象如图若f(x)有两个极值点，则y2a和y(x)图象有两个交点，02a1，0a.二、解答题11(2014重庆)已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.12已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2时，求yf(x)和yg(x)图象的公共点个数；(2)a为何值时，yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两