3-3协方差、相关系数和大数定律.ppt

1、 3.3 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系, 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系,为 X ,Y 的协方差.,定义,称,为X ,Y 的 相关系数.,称,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,求 cov (X ,Y ), XY,解,例2 设 u U(0,2) , X=cos u , Y=cos( u+ ), 是给定的常数，求 XY,解,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系

2、，但有函数关系,协方差的性质,相关系数的性质,即Y 与X 有线性关 系的概率等于1， 这种线性关系为,如例1中 X ,Y 的联合分布为,0 p 1 p + q = 1,已求得 , 则必有,其中,X , Y 不相关,X ,Y 相互独立,X , Y 不相关,若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，,X , Y 相互独立,X , Y 不相关,例3 设 X ,Y 相互独立, 且 E(X)=E(Y)=0, D(X)=D(Y)= 2, U = aX + bY, V= aX - bY , a,b 为常数，且都不为零，求UV,解,由,而,故,a,b 取何值时, U与V 不相关？ 此时, U与V 是否独立？,

3、继续 讨论,若 a = b，UV = 0, 则 U , V 不相关., X 的 k 阶(原点)矩, X 的 k 阶中心矩,-X的二阶中心矩-X 的 方差,X 的1 阶(原点)矩 X的期望,矩和中心矩,3.4 随机变量的另几个数字特征,设连续型随机变量X的分布函数为,定义,的数 ，为此分布的下 分位数.,F(x)，概率密度为f(x), 则 称满足条件：,设连续型随机变量X的分布函数为,定义,的数 ，为此分布的上 分位数.,F(x)，概率密度为f(x), 则 称满足条件：,设 X 是只取非负值的随机变量，且有数学期望E(X)，则 有,3.5 切比雪夫不等式与大数定理,设随机变量X 具有数学期望 E

4、(X) 和方差 D(X)，则 有,或,当 2 D(X) 无实际意义,大数定律的思想：,概率论中用来阐明大量随机 现象平均结果稳定性的一系 列定理统称为大数定律,大数定律,定义：若存在常数a，使对于任何,有,则称随机变量序列 依概率收敛于a。,1. 切比雪夫(Chebyshev) 大数定律,或,且：,当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.,当n充分大时，独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,近似代替,可被,Chebyshev 大数定律的意义,2. 贝努里（Bernoulli）大数定律,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则,有,或,在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率,“ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生 的概率是指：,小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.,贝努里(Bernoulli)大数定律的意义,3. 辛钦(Khinchin)大数定律,或,具有相同分布，且,1. 独立同分布，不要求方差存在。,2. 贝努利大数定律是