2013届高考数学总复习课件-立体几何

1、数学直通车-立体几何,知识体系,第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图,基础梳理,1. 多面体 (1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱. (2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. (3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台.,2. 旋转体 (1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. (2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥. (3)以半圆

2、的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. 3. 三视图和直观图 (1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图. (2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方. (3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.,(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法： 在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴和y轴,两轴相交于O,且使xOy=45(或135),用它们确定的平面表示水平面. 已知图形中平行于x轴或y轴的

3、线段,在直观图中,分别画成平行于x轴或y轴的线段. 已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.,典例分析,题型一 空间几何体的结构特征,【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.,分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几

4、个简单的几何体.,解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱. (2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180形成半个圆台,故该几何体为圆台. (3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AOCD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成. 图1 图2 图3,学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.,举一反三 1. 如图所

5、示，直角梯形ABCD中，ABBC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征.,解析： 如图所示，过A、B分别作 CD， CD，垂足分别为 、 ，则Rt 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥，直角梯形 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆台，Rt 绕l旋转一周所形成的面围成的几何体是圆锥.综上可知，旋转所得的几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥.,【例2】下列三个命题，其中正确的有( ) 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六

6、面体是棱台. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个,题型二 基本概念与性质,分析 利用棱台的定义和特殊几何体加以说明.,解 中的平面不一定平行于底面，故错； 如图，四条侧棱不一定交于一点，故错，答案选A.,学后反思 在开始学习立体几何时，要学会观察、分析并记住一些特殊的物体或图形，以便于我们做题.反例推证是一种重要的数学方法，望大家熟练掌握.,举一反三,2. 下面是关于四棱柱的四个命题: 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四

7、棱柱. 其中,真命题的编号是 .,解析: 对于,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故假;对于,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故真;对于,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱,如图1,故假;对于,四棱柱一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一对角线,故侧棱垂直于底面,故真,如图2.,答案:,题型三 柱、锥、台中的计算问题 【例3】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.,分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角

8、三角形,解决问题.,解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 、O, 和BC的中点分别是 和E,连接 、 、 、OB、 、OE,则四边形 和 都是直角梯形. =4 cm,AB=16 cm, =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm, =19 cm, 棱台的侧棱长为19 cm,斜高为 cm.,学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法. （2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.,举一反三,3. 一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.

9、如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.,解析：轴截面如图所示:,被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径 ,设圆锥的截面圆的半径 为x. OA=AB=R, OAB是等腰直角三角形. 又CDOA,则CD=BC, =AC,即x=l. 截面面积,题型四 三视图与直观图,【例4】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.,分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图的三大原则“长对正，高平齐，宽相等”画出.,解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图

10、反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它的三视图如下图:,学后反思 （1）在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆. （2）有些几何体的正视图和侧视图会因观察角度的不同而不同，因此，要注意几何体中所给出的观察角度.,举一反三 4. (2008广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C分别是GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为( ),解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED底面E

11、FD,则侧视图必为直角梯形,且线段BE在梯形内部. 答案 A,【例5】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.,分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则: (1)坐标系中xOy=45; (2)横线相等,即AB=AB,CD=CD; (3)竖线是原来的 ,即OE= OE.,画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,.3 画对应的坐标系xOy,使xOy=45.5 (2)以O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE= OE,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD10 (3)连接BC、DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图2.1

12、2 图1 图2,学后反思 在原图形中要建立适当的直角坐标系，一般取图形中的某一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直的直线为坐标轴，原点可建在图形的某一顶点或对称中心、 中点等.坐标系建得不同，但画法规则不变，关键是画出平面图形中相对应的顶点.,举一反三 5. 如图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( ),解析: 按照斜二测画法的作图规则,对四个选项逐一验证,可知只有选项C符合题意.,答案: C,易错警示,【例】画出如图1所示零件的三视图.,错解 图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图2. 图1 图2,错解分析 错误原因是图中各视图都没有

13、画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线.,正解,考点演练,10. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图所示，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7. 以上结论正确的为.（写出所有正确结论的编号）,解析: 设底面四点分别为A、B、C、D，连接AC、BD，且ACBD=O,B、C、D、O在平面上的射影分别为 B、C、D、K,则 当点P在点C的位置时，有CC=2OK=3, 所以正确.同理可得、也是正确的.,答案: ,11. 圆台的两底面半径分别

14、为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm,求截面面积.,解析 如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF, ， EF, ,OA,则 为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高, 在直角梯形 中, （cm）， 在Rt 中， （cm）, 同理, （cm）,12. 有一块扇形铁皮OAB，AOB=60，OA=72 cm，要剪下来一个扇环形ABCD作圆台形容器的侧面，并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形，使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面，如图），试求： （1）AD应取多长？ （2

15、）容器的容积.,解析： (1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD=x，则OD=72-x. 由题意得 R=12,r=6,x=36，AD=36 cm.,(2)圆台的高,第二节 空间几何体的表面积与体积,基础梳理,1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和. 2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积. 3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积,4. 柱、锥、台体的体积 这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成: 5. 球的体积及球的表面积 设球的半径为R,

16、典例分析,题型一 几何体的表面积问题 【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.,分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需的几何元素.,解 如图所示,正三棱台ABC- 中,O、 分别为两底面中心,D、 分别为BC和 中点,则 为棱台的斜高. 设 =20,AB=30,则OD=5 , = , 由 ,得 在直角梯形 中, 棱台的高为4 cm.,学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截

17、面及侧面展开图. （2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.,举一反三 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为 和 ，试求球的表面积.,解析：（1）当球心在两个截面同侧时，如图1所示. 设OD=x，由题意知 同理可得BD=20 cm. 设球半径为R，则依题意得： 即 解得x=15 cm, R=25 cm.故,（2）当球心在两个截面之间时，如图2所示， 设OD=x cm，则OC=(9-x)cm. 由题意得 CA=7 cm， 同理可得BD=20 cm. 设球半径为R, 则依题意知 即 此方程无正数解. 故此种情况不可能.综上可知,球的表面积为,【例2】直平行六面体的底面为菱

18、形,过不相邻两条侧棱的截面面积分别为 ,求它的侧面积.,分析 要求此棱柱的侧面积,只要求它的底面边长与高即可.,解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则 ,因过 的截面都为矩形, 从而 则 又ACBD, 即 所以,学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征. （2）用已知量来表示侧面面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减少了运算量，简化了运算过程.,2. 正方体的表面积为a2,它的顶点均在一个球面上，求这个球的表面积.,举一反三,解析：设正方体的棱长为m，球的半径为R，则6m2=a2，得m= a.

19、 又正方体的体对角线长为 a= a， 从而2R= a,得R= a. 故球的表面积为4( a)2= a2.,题型二 几何体的体积问题,【例3】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，求它的侧面积和体积.,分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.,解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 ,则PEBC, E为侧面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于点 ,连接 、OE. 在P 和PBC中, , 为PB的中点, 为PE的中点. 在RtPEB中,在RtP

20、OE中,学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”. （2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.,举一反三 3. 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为 .,解析 如图,分

21、别过A、B作EF的垂线,垂 足分别为G、H,连接DG、CH,易求得 EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= , 答案,题型三 组合体的体积和表面积问题 【例4】 (12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥的外接球的体积.,分析 易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体,欲求外接球的体积，求其外接球半径即可.,解 由已知条件知,在平面图形中, AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1 所以折叠后得到一个正四面体. 方法一:如图，作AF面DEC,垂足为F,F即为DEC的中心3 取

22、EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH面AEC,则垂足H为AEC的中心.5 外接球半径可利用OHAGFA求得. AG= ,AH= AG= ， AF= , 7,在AFG和AHO中,根据三角形相似可知, .10 外接球体积为 .12 方法二:如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就 是正方体的外接球.4 正四面体棱长为1, 正方体棱长为 ,.6 外接球直径2R= ,10 R= ,体积为 12,学后反思 (1)折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较.一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数

23、量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化;不变量可结合原图形求证，变化量应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题. （2）由方法二可知，有关柱、锥、台、球的组合体，经常是把正方体、长方体、球作为载体，去求某些量.解决这类问题，首先要把这些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练，把问题进行转化，使运算和推理变得更简单，体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法.,举一反三 4. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然

24、后将球取出,求这时容器中水的深度.,解析：如图,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为 ,则 容器内水的体积为 将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为 ， 从而容器内水的体积是 由V=V得,易错警示,【例】在半径为15的球内有一个底面边长为 的内接正三棱锥,求此正三棱锥的体积.,错解 如图,显然OV=OA=OB=OC=15,ABC是边长为 的正三角形,它的中心为H,H也是顶点V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,可以解得OH=9, 三棱锥的高VH=9+15=24, 即此正三棱锥的体积为 .,错解分析 漏掉了正三棱锥的

25、顶点和球心在正三棱锥的底面的异侧情形.,正解 设此正三棱锥为V-ABC,球心为O,则OV=OA=OB=OC=15.设ABC的中心为H,则H也是顶点V和球心O在底面ABC的射影,HA=HB=HC=12,OH=9.,（1）如图1,当顶点V和球心O位于平面ABC的同侧时,高VH=9+15=24,（2）如图2,当顶点V和球心O位于平面ABC的异侧时,高VH=15-9=6, 综上,此三棱锥的体积为 .,考点演练,10. 若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的表面积为.,解析: 侧视图中矩形的长为原正三棱柱底面正三角形的高,可求得底面正三角形的边长为4,从而可求得表面积,答案: 24+83,1

26、1. 正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直底面）ABCDEF- 的各棱长均为1，求: (1)正六棱柱的表面积； （2）一动点从A沿表面移动到点 时的最短路程.,解析：（1）可知,（2）将所给的正六棱柱如图2的表面按图1部分展开. 易得 故从A点沿正侧面和上底面到 的路程最短，为 .,12. 三棱锥一条侧棱长是16 cm,和这条棱相对的棱长是18 cm,其余四条棱长都是17 cm,求棱锥的体积.,解析：如图，设AD=16 cm,则BC=18 cm, 取AD的中点E, 连接CE、BE, AC=CD=17 cm, DE=8 cm,CEAD, ,并易知BE=CE, 取BC的中点F,连接EF,EF为BC边

27、上的高, CEAD,同理BEAD,DA平面BCE, 三棱锥的体积可分为以BCE为底，以AE、DE为高的两个三棱锥的体积 之和, ,第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,基础梳理,1. 平面的基本性质,2. 空间直线与直线的位置关系 (1)位置关系 相交 共面 共面与否 平行 异面 一个公共点:相交 公共点个数 平行 无公共点 异面 (2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行. (3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,（4）异面直线的夹角 定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线aa,bb，我们把两相交直线a、b所成的角叫做异面

28、直线a、b所成的角（或夹角）. 范围：（0, .特别地，如果两异面直线所成的角是 ，我们就称这两条直线垂直，记作ab. 3. 空间中的直线与平面的位置关系 直线在平面内有无数个公共点 直线与平面相交有且只有一个公共点 直线在平面外 直线与平面平行无公共点 4. 平面与平面的位置关系 平行无公共点 相交有且只有一条公共直线,典例分析,题型一 点、线、面的位置关系,【例1】下列命题: 空间不同三点确定一个平面; 有三个公共点的两个平面必重合; 空间两两相交的三条直线确定一个平面; 三角形是平面图形; 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; 垂直于同一直线的两直线平行; 一条直线和两平行线中的一条相

29、交,也必和另一条相交; 两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是_.,分析 根据公理及推论作判断.,解 由公理2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-ABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,

30、AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.,学后反思 平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.,举一反三,1. 给出下列命题： 如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点; 经过空间任意三点的平面有且只有一个; 如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面; 不平行的两直线必相交. 其中正确命题的序号为_.,解析 由公理3知，错;由公理2知，错;对;不平行的两直线可能异面，故错. 答案 ,题型二 证明三点共线,【例2】已知ABC的三个顶点都不在平面内,它的三边AB、BC、AC延长 后分别交平面于点P、Q、R.求证:P、

31、Q、R三点在同一条直线上.,分析 要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在ABC所在的平面和平面的交线上即可.,证明 由已知条件易知, 平面与平面ABC相交. 设交线为 ,即 =面ABC. PAB,P面ABC. 又PAB,P,即P为平面与面ABC的公共点,P .同理可证, 点R和Q也在交线 上. 故P、Q、R三点共线于 .,学后反思 证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.,举一反三,2. 如图，已知

32、E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,如图所示. 求证:点B、D、P在同一条直线上.,证明 由于直线EF和GH交于点P, PEF,又EF平面ABD,P平面ABD. 同理,P平面CBD. P在平面ABD与平面CBD的交线BD上, 即B、D、P三点在同一条直线上.,题型三 证明点线共面,【例3】求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.,分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明. 要证明

33、四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.,证明 (1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面,由O平面,A平面,O直线a,A直线a,知直线a平面.同理b平面,c平面,故直线a,b,c,d共面于. (2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线ab=M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c.同理可证d,故直线a,b,c,d共面于. 由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四

34、条直线必在同一平面内.,学后反思 证多线共面的方法： （1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内. （2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.,举一反三,3. 在正方体ABCD- 中,E是AB的中点,F是 的中点.求证:E、F、 、C四点共面.,证明 如图，连接 ,EF, . E是AB的中点,F是 的中点, EF . ,EF . 故E、F、 、C四点共面.,题型四 证明三线共点,【例5】(12分)已知四面体A-BCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H 分别是BC、CD上的点,且 .求证:直线EG、

35、FH、AC相交于 同一点P.,分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.,证明E、F分别是AB、AD的中点, EFBD且EF= BD.2 又 ,GHBD且GH= BD, EFGH且EFGH,4 四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P,.6 EG平面ABC,FH平面ACD, P平面ABC,P平面ACD.8 又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10 故直线EG、FH、AC相交于同一点P12,学后反思 证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知

36、，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.,举一反三 4. （2010曲靖模拟）已知：如图所示的空间四边形ABCD，E、F分别是 AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG= CB，CH= CD. 求证：（1）E、F、G、H四点共面； （2）三直线FH、EG、AC共点.,解析：（1）如图，连接EF、GH. 故EF与GH共面，即E、F、G、H四点共面.,（2）EFGH，但EFGH,故EFHG是梯形. 如图，设FH与EG交于O点， 则OFH平面DAC,OEG平面BAC, O(平面DAC平面BAC)=AC, 即直线AC过O点， 故三直线FH、EG、AC共点.,易错警示

37、,【例】过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线. 求证:这四条直线在同一平面内.,错解 P、A、B三点不共线, P、A、B共面,即PA、PB、AB共面, 同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面. A、B、C、D均在直线a上, PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.,错解分析 错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,通过A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.,正解 过直线a及点P作一平面, A、B、C、D均在a上,A、B、C、D

38、均在内. 直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内, 由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四直线共面.,10. G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）,解析: 对于（1），连接GM，显然四边形GMNH是平行四边形；对于（3），连接GM，易知GMHN，故（1）、（3）中GH与MN共面；（2）、（4）中GH与MN是异面的.,答案:（2）（4）,考点演练,11. 设ABCD的各边和对角线所在的直线与平面依次相交于 ,求证: 六点在同一条直线上.,解析：如图，设ABCD所在的平面为, A,B,AB. 又 A

39、B, . 又 , 在平面与平面的交线上, 设交线为l,则 l. 同理可证, 都在直线l上, 六点在同一条直线上.,证明 如图，ab,a、b可以确定一个平面. 又 a=A, b=B,Aa,Bb,A,B,AB; 又A ,B , . 另一方面,bc,b、c可以确定一个平面. 同理可证, . 平面、均经过直线b、,且b和 是两条相交直线,它们确定的平面是唯一的, 平面与是同一个平面,a、b、c、共面.,12. 已知直线abc,直线 a=A, b=B, c=C. 求证:a、b、c、 共面.,第四节 直线、平面平行的判定及其性质,1. 平行直线 (1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. (2)公

40、理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行. (4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. (5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行. 2. 直线与平面平行 (1)定义:直线a和平面没有公共点,叫做直线与平面平行. (2)线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.,基础梳理,(3)面面平行的性质:如果两平面互相平行,那么一个平面内的任意一条直线平

41、行于另一个平面. 3. 平面与平面平行 (1)定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面. (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (3)判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行. (4)线面垂直的性质:如果两平面垂直于同一直线,则这两个平面平行. (5)平行公理:如果两平面平行于同一平面,则这两个平面平行.,典例分析,题型一 线线平行,【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.,分析 若证

42、四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可.,证明 如图,连接BD. EH是ABD的中位线, EHBD,EH= BD. 又FG是CBD的中位线, FGBD,FG= BD. FGEH,且FG=EH, 四边形EFGH是平行四边形.,学后反思 若证明四边形EFGH是平行四边形,可有两条途径：一是证明两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等.,举一反三,1. 已知E、 分别是正方体ABCD- 的棱AD、 的中点.求证:BEC= .,证明 如图,连接 . ,E分别为 ,AD的中点, 四边形 为平行四边形， 四边形 是平行四边形， EB.同理 EC. 又 与CEB方向相同， =

43、CEB.,题型二 线面平行,【例2】如图,正方体ABCD- 中,侧面对角线 上分别有两点E,F,且 .求证:EF平面ABCD.,分析 要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.,证明 方法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接MN(如图)，则EM ,FN , EMFN. AE=BF,EM=FN, 四边形EMNF是平行四边形,EFMN. 又EF平面ABCD,MN平面ABCD, EF平面ABCD.,方法二:连接 ,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图). PFB,

44、又EF平面ABCD,AP平面ABCD, EF平面ABCD.,方法三:过点E作EH 于点H,连接FH(如图)，则EHAB, EHFH=H,平面EFH平面ABCD. EF平面EFH,EF平面ABCD.,学后反思 判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba); (3)利用面面平行的性质定理(,aa); (4)利用面面平行的性质(,a,a,aa).,举一反三,2. （2010无锡调研）如图所示，在正三棱柱 中，点D是BC的中点.求证： .,解析：如图，连接 ， 设 与 交于E，连接DE. 点D是BC的中点， 点E是 的中点，

45、DE . 平面 ， DE 平面 , 平面 .,题型三 面面平行,【例3】如图,正方体ABCD- 的棱长为1.求证:平面 平面,分析 要证明平面 平面 ,根据面 面平行的判定定理或推论，只要证明AC平 面 ， 平面 ,且AC =A即可.,证明 方法一: 四边形 为平行四边形,方法二:易知 和确定一个 平面 ,于是,学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行

46、; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.,3. 如图，设AB、CD为夹在两个平行平面、之间的线段且直线AB、CD为异面直线，M、P分别为AB、CD的中点. 求证：MP.,解析：过A作AECD交于E，连接ED. ,ACED. 取AE的中点N，连接NP、MN， 则NPED,MNBE. MNNP=N,且BE、ED， 平面MNP.又MP平面MNP, MP.,题型四 平行问题的探究 【例4】长方体 ，点PBB（不与B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求证：MN平面AC.,分析 要证明MN平面AC,只要证明MN平行于

47、平面AC内的一条直线即可，而这条直线应与MN共面，由于AC与MN共面，只要证明ACMN即可.,证明 如图，连接 ,AC, 为长方体， AC . AC 平面 B, 平面 B, AC平面 B. 又平面PAC过AC且与平面B 交于MN， MNAC. MN平面AC，AC平面AC， MN平面AC.,学后反思 定理、定义是做题的依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要通过题设和图形的结构特征、性质去寻求，增添辅助线是解决问题的关键.,举一反三,4. （2010泰安模拟） 如图所示，已知正三棱柱 的每条棱长均为a，M为棱 上的动点. 当M在何处时， ，并给予证明.,解析：方法一：当M是 中点时， .,证

48、明:M为 的中点，延长AM、 ， 设AM与 延长线交于点N， 则 . 连接 并延长与CB延长线交于点G，如图,则BG=CB， 在CGN中， 为中位线， GN. 又GN平面 , ,方法二：当M为A1C1中点时，BC1平面MAB1.证明： 如图，连接A1B交AB1于点N，连接MN. 四边形ABB1A1为矩形，A1N=NB. 又A1M=MC1， 在A1BC1中，MN为中线，MNBC, MN 平面MAB1，BC1 平面MAB1， BC1平面MAB1.,题型五 平行关系的综合应用,【例5】(12分)求证:若一条直线分别和两个相交平面平行,则这条直线必与它们的交线平行.,分析 此题可先过直线作平面分别与已

49、知两平面相交,由线面平行的性质定理及公理4,可证得两交线平行,从而进一步证得一条交线与另一平面平行,进而可证得结论.,证明 , ,=a.过 作平面交于b,过 作平面交于c,.3 , ,=b, b.(线面平行的性质定理) 同理 c.5 bc.6 又c,b,b.(线面平行的判定定理).8 又b,=a, ba.(线面平行的性质定理) 10 a.(公理4).12,举一反三,学后反思 把文字语言转化成符号语言和图形语言，过 作平面和与、得到两条交线，利用线面平行的性质定理及公理4可证得交线平行，从而进一步证明一条交线与另一个平面平行，进而可证得结论.,5. 已知平面,线段BC,DBC,A，直线AB、AD

50、、AC分别交于E、F、G，且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长度.,解析：利用点A与线段BC之间不同的位置关系，以及点A、线段BC与平面之间不同的位置关系，进行逻辑划分.分情况讨论：AB、AD、AC延长线分别交于E、F、G；AB、AD、AC的反向延长线分别交于E、F、G；A与直线BC位于的两侧.,（1）如图1，BC，BC平面ABC，平面ABC=EG, BCEG, 即 又,（2）如图2，同理BCEG, AF=DF-DA=c-b, ,（3）如图3，同理BCEG, AF=AD-DF=b-c,易错警示,【例】在正方体 中，E、F分别是棱BC、 的中点，求证：EF平面,错解 如图，连接 并延长至G

51、点，使GE= ， 连接在 中，F是 的中点，E是 的中点，所以EF ，而EF平面 平面 故EF平面,错解 分析上述证明中，“ ”这一结论没有根据，只是主观认为 在平面 内，说明在利用线面平行的判定定理时，对两直线平行比较关注，而对另外两个条件（一直线在平面内，另一直线在平面外）容易忽视.大多数情况下，这两个条件在作图（添加辅助线）时就可以清楚地表达出来，一般不需单独证明，而本题作图过程看不出“ ”的理论依据.而且题设条件“E是BC的中点”没有用到，而没有这一条件，结论会成立吗？比如把E点移至B点，显然结论不成立.,正解 如图，连接 ，并延长交 的延长线于G，连接 因为 ，E是BC的中点， 所以

52、E是 的中点. 在 中，F是 的中点，E是 的中点， 所以EF . 而EF平面 ， 平面 ， 所以EF平面 .,答案: 或24,解析: 如图1，ACBD=P, 经过直线AC与BD可确定平面PCD. ,平面PCD=AB，平面PCD=CD， ABCD, 即 如图2，同理可证ABCD, 即 综上所述，BD= 或24.,考点演练,11. 已知：ABC中，ACB=90，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将ADE折起，使A到A的位置，M是 的中点.求证：ME平面,解析：如图所示，取 的中点G， 连接MG、GD， M、G分别是 、 的中点， 四边形DEMG是平行四边形， MEDG. 又ME平面 ,DG平面

53、 , ME平面,12. 如图所示,已知两条异面直线AB与CD所成的角等于,且AB=m,CD=n,平面MNPQ与AB、CD都平行,且M、N、P、Q依次在线段AC、BC、BD、AD上. (1)求证:四边形MNPQ是平行四边形; (2)当M点在何位置时,MNPQ的面积最大?最大面积是多少?,解析：(1)证明:由于AB平面MNPQ, 平面ABC平面MNPQ=MN,则ABMN. 同理,ABPQ.由公理4得,MNPQ.同理,MQNP. 故四边形MNPQ是平行四边形.,(2)由于AB与CD所成的角等于,ABMN,CDMQ, 则sin NMQ=sin .设CMMA=1, 则CMCA=(1+),AMAC=1(1

54、+), 则 于是 其中当=1时, 达到最大值 .故当点M位于AC中点时, 的面积最大,最大面积为 .,第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,基础梳理,1. 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平面互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做点到平面的距离. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直

55、线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. (5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.,2. 平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就称这两个平面互相垂直. (2)判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. (3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.,典例分析,题型一 线线垂直,【例1】如图,=CD,EA,垂足为 A,EB,垂足为B,求证:CDAB.,分析 要证CDAB,只需证CD平面ABE即可.,证明 =CD,CD,CD. 又EA,CD

56、,EACD,同理EBCD. EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB. AB平面EAB,ABCD.,学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.,举一反三,1. （2010淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正方形，DF平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证：GNAC.,解析：如图，连接DN， 四边形ABCD是正方形，N是AC的中点 DNAC. DF平面ABCD，AC平面ABCD， DFAC. 又DNDF=D, AC平

57、面DNF. GN平面DNF， GNAC.,题型二 线面垂直,【例2】如图,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.求证: (1)BC平面PAB; (2)AE平面PBC; (3)PC平面AEF.,分析 要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可.,证明 (1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB. PAAB=A (2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC. PBBC=B (3)PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF. AEAF=A,学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线线垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用,由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明所需要的转化.,举一反三,2. 如图所示,P是ABC所在平面外一点,且PA平面ABC,若O、Q分别是ABC和PBC的垂心，求证:OQ平面PBC.,证明 如图，连接AO并延长交BC于E,连接PE. PA平面ABC,BC平面ABC, PABC. 又O是ABC的垂心,BCAE. PAAE=A,BC平面PAE, BCPE,PE必过Q点， OQ平面PAE,OQBC.