微积分1-2.ppt

1、,微积分A,教学内容和基本要求：,理解函数概念、复合函数和反函数的概念，掌握基本函 数的性质和图形，会建立简单实际问题中的函数关系式， 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。,理解极限的概念、性质，掌握极限四则运算法则，了解 两个极限存在的准则会用两个重要极限求极限；了解无穷 小、无穷大及无穷小的阶的概念，并会用无穷小求极限。,理解函数的连续性的概念，了解间断点的概念，并会判 断间断点类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数 的性质。,学 习 重 点,第二节 数列的极限,一、概念的引入,刘徽,中国魏晋间杰出的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。幼年曾学习过九章算术，成年后又继纵深入研

2、究。 在魏景元四年(263)注九章算术，并撰重羞作为九章算术注第十卷。唐初以后，重差以海岛算经为名单行。刘,徽全面论述了九章算木所载的方法和公式，指出并且 纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上做出了杰出 的贡献。,正六边形的面积,正十二边形的面积,. .,（圆的面积）,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,数列与函数,二，数列,数列：如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数

3、轴上依次取,例如,比如:,当 时,趋于0,当 时,趋于1,当 时,不趋于任何定数,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,三、数列的极限,对于式子,通过这样 “无限接近”的分析我们给出极限的概念,通过如上分析知,所谓数列 趋于定 数A,就是 很小,要多小有多小,即:,则称常数 a 是数列xn 的极限，或称数列xn 收敛于a,如果数列没有极限，就称数列是发散的。,数列极限的定义,记作,或,关于极限定义的说明,本定义称为数列极限的“ ”定义；,作用衡量 与定数a 的接近程度，,关于“ ”,特征任意性、相对固定性.,（解读，可用 等替代，可将 换为 等）,意义有限认识无限；,关于“ ”

4、,重存在，轻大小，与 有关（相对性），,作用管后不管前；,“ ”与“ ” 的关系,依赖性 依赖于 而存在，,无关性 的给出与 存在无关；,顺序性 在先 在后，,并不是所有的数列都有极限，如 lnn , (-1)n+1 的极限是不存在的.,若数列xn收敛于a ,其趋于a 的方式 是多种多样的。,OK! N 找到了！,nN,NO, 有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,e 越来越小，N越来越大！,数列极限的演示,数列极限的几何意义,NN 当nN时 点xn一般落在邻域(A-e, A+e)外,当nN时 点xn全都落在邻域 (A-e, A+e ) 内,任意给定的数A的e 邻域 (A-e, A+e )

5、, 存在,例1,证：,所以,四数列极限的证明方法,所以,证明:,例2:,例3,证,所以,解答,解答,求证,证明 :首先我们有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,=,显然当 时,于是，对任意给定的,，取,当,时，成立,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,五收敛数列的性质,2.唯一性：每个收敛的数列只有一个极限.,故收敛数列极限唯一.,3.保号性.(请同学自己证明）,若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,均为收敛数列.,若存在正整数,使得当,时有,则,证明：,(1),(2),令,则当,时有,由,的任意性,得,4.保序性,5.子数列的收敛性,例如，,定理 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,例4,对于数列xn,证,此时有,总之：,恒有,此