3.2.2同角三角函数之间的关系

1、3.2.2同角三角函数之间的关系,官渡区第一中学 张继康,如图示，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于P(x,y)，那么由三角函数的定义可知： sin= ，正弦线 ，即 = ； cos= ，余弦线 ，即 = ； tan= , 正切线 。,一、【复习回顾】,（1）以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,且OP=1，则三边有什么样等量关系？,（2）当角变化时， sin 与 cos 的等量关系还成立吗？,（3）当角变化时， sin 、 cos 及 tan 还有什么样的等量关系呢？,（4）判断以下等式是否成立： sin21003+cos21003=1 （ ） sin2+cos2=1 （ ）, 2

2、 + 2 = 2 =1, 即 2 + 2 =1, 2 + 2 =1,tan = sin cos , 2 +2k,二、【探究新知】,1sin2是(sin)2的缩写，读作“sin的平方”，不能写成sin2. 2公式中的角一定是“同角”，否则公式可能不成立。如sin2+cos21 3商数关系中要注意等式成立条件.,注意事项,变式1：已知sin = ，求 , 的值。,cos = 2 6 5 ， tan = 6 12,三、利用同角三角函数关系求值,例题解析,例2：已知 =，求cos , 的值。,解:tan=20,是第一或第三象限角. 当为第一象限角时, tan = = ， = 又sin2+cos2=1，

3、 = = , = 当为第三象限角时, tan = = ， = 又sin2+cos2=1， = = , = ,知一求二,例题解析,第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限; 第二步:依据角的终边所在象限分类讨论; 第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.,知一求二的解题步骤,已知tan =2,则,变式练习,解析(1)注意到分式的分子和分母均是关于sin ,cos 的一次齐次式,可将分子分母同除以cos (cos 0),然后整体代入tan =2的值.,练习解析,练习解析,已知tan ,求关于sin 和cos 齐次式的值的基本方法 已知角的正切值,求由sin 和co

4、s 构成的齐次式(次数相同).,【案例】 (开放探究题)从已知条件sin +cos = 1 3 ,且(0,)可以得到以下结论:(请结合同角的三角函数的基本关系进行推导) (1) ; (2) ; (3) .,四、核心素养提升,核心素养提升,对于此类结论开放型试题,在解题的过程中需明确方向,然后顺着这个方向进行,在此过程中充分运用各种关系进行衍生,显然本题的求解方向为同角三角函数之间的关系,更为重要的是,本题中所运用的恒等式如下: (sin +cos )2=1+2sin cos ; (sin -cos )2=1-2sin cos ; (sin +cos )2+(sin -cos )2=2; (sin -cos )2=(sin +cos )2-4sin cos .,（1）“同角”有两层含义，一是“角相等”，二是对“任意”一个叫的关系式都成立。与角的表达式无关。如： 2 3+ 2 3=1 ；,（2） 三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论；,（3）提升数学运算能力的学科核心素养，优化解题方法。,五、小 结,课本第20页练习1、2、5 课后思考题： （1）已知 = , （）,求 , 的值。 （2）已知 = ，则 + = ( ) （3）已知 +