高中数学 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修1

1、抛物线的几何性质（1）,一、复习回顾：,抛物线标准方程,1、抛物线的定义：,平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。,2、抛物线的标准方程：,例1,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （2） （3）2x2+5y=0,则焦点坐标是F（0，- ）, 准线方程是y=,(2)焦点坐标是 准线方程是,练习：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 =

2、-4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,（0，-2）,y=2,例2,根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点坐标是F（0，-2） (2)焦点在直线3x-4y-12=0上 (3) 抛物线过点A（-3，2）,解： (1)抛物线的方程是x2=-8y,(2)抛物线的方程是y2=16x或x2=-12y,(3)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2 =2py，,当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2 =

3、 -2px，,抛物线的标准方程为 x2 = y或y2 = - x,思考题：抛物线的方程为x=ay2（a0)求它的焦点坐标和准线方程？,抛物线的方程为x=ay2（a0)求它的焦点坐标和准线方程？,例5点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1，求点M的轨迹方程。,|MF|+1=|x+5|,解（直接法）：,设 M(x，y)，则由已知，得,另解(定义法)：,由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.,由抛物线定义知：,点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线.,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围 (

4、2)对称性 (3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴,抛物线和它的轴的交点.,二、讲授新课：,(4)离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义可知，e=1,只有一个顶点,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,e=1,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P

5、,P越大,开口越开阔 图.gsp,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（标准方程中2p的几何意义）,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,基本点：顶点，焦点,基本线：准线，对称轴,基本量：P（决定抛物线开口大小）,抛物线的基本元素 y2=2px,填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？,（1）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；,（2）抛物线只有 条对称轴， 对称中心；,（3）抛物线只有 个顶点、 个焦点、 条准线；,（4）抛物线的离心率是确定的，其值为 ,半,1,

6、无,1,1,1,1,（5）一次项系数的绝对值越大，开口越大,例1 已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形,则将M点代入得： 2 = 2p2 解得：p=2 因此所求方程为：y2=4x,列表：,描点及连线：,o,0 1 2 3 4 5 ,0 0.25 1 2.25 4 6.25 ,解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p0）,三、例题选讲：,思考:顶点在坐标原点,对称轴是 坐标轴,并且经过点M(2， )的抛 物线有几条?求出它们的标准方程.,解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点， 并且经过点M（2， ），所以可设它的标准方程 为

7、 因为点M在抛物线上，所以 即 因此，所求抛物线的标准方程是,解法1 F1(1 , 0),解法2 F1(1 , 0),解法3 F1(1 , 0),|AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8,A1,B1,解法4,A1,B1,H,同理,2:过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，求|AB|的最小值。,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0

8、,0）,（0,0）,（0,0）,例3在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。,解：,K,例3、过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，,则AFAD，BFBC,ABAFBF ADBC=2EH,F,练习: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。,F,A,B,M,解：,练习： 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。,解法二：,F,A,B,M,例 抛物线y2=4x的焦点为F, 点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求 |MA|+|MF|的最小值.,M,F,A,A1,M1,解 |MA|+|MF| =|MA|+|MM1| |AA1|=3,即 |MA|+|MF|的最小值为3.,练习 抛物线y2=4x上的 点M到准线距离为d, A(2,4), 试求