第4章(矩阵对角化)线性代数及其应用

1、第4章 矩阵的对角化,向量的内积长度与正交 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 Mathematica软件应用,第4章 矩阵的对角化,矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本章着重介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出矩阵与对角矩阵相似的条件、计算方法，并对实对称矩阵的对角化进行了讨论.,第4.1节 向量的内积长度与正交,在向量代数中给出了向量长度、夹角和数量积等概念，本节将这些概念推广到 n维向量空间，在此基础上介绍正交向量组概念和将线性无关向量组化为正交向量组的一种方法。,向量的内积 向量的长度 正交向量组 Schimidt正交化方法 正交矩阵,1.向量

2、的内积,(1)3维向量的数量积(内积),已知向量, R3, 称实数=|cos 为与 的数量积(内积),其中|,|分别为向量, 的模,为 与 的夹角.,当向量, 相互垂直时，我们称, 正交.因此有 , 正交数量积 =0.,(2)n维向量空间内积,为向量与内积.,用矩阵记号可表示为 T 或 T .,内积的定义,性质,(),(),(),当且仅当 =0时，, =0.,2. 向量的长度、夹角定义（向量的长度）,称为n维向量的长度(范数或模).,注：长度为1的向量,称为单位向量.,性质,(i),(ii),(iii),例1,解,向量的夹角,称为向量与的夹角.,若 , =0，称向量与正交.,定义1 非零向量组

3、中,若任意两个向量都正交,称这个向量组为正交向量组.,定义2 正交向量组中,若每个向量都是单位向量,称 这个向量组为标准正交向量组. 即若1, 2,n为 标准正交向量组，则,如下向量组是否为正交向量组?,3. 正交向量组,定理 正交向量组是线性无关的向量组.,上例中1, 2, 3均为单位向量且两两正交, 该向量组为标准正交向量组.,定义3 设1, 2, r是向量空间V的一个基，如果 1, 2, r是一个标准正交向量组,则称1, 2, r 为V的一个标准正交基.,反之如何？,两边同时与i 作内积,得,证,注 基本单位向量组1,2,n是Rn的一个标准 正交基; 若 1, 2, r 是向量空间V的一

4、个标准正交 基, 则V中任意向量可由其线性表示为 = , 1 1+ , 2 2+ , r r.,解,依题意 3=（x1, x2, x3)T应满足,例2,4. 施密特（Schimidt）正交化方法,由一组线性无关向量组出发，获得与其等价正 交向量组的过程称为向量组的正交化过程.,定理 (施密特正交化方法) 给定n维向量空间Rn的任 一线性无关向量组 1,2, r ,令,则向量组 1, 2, r为正交向量组且与1, 2, , r等价.,解,设所求向量为x，则 x, 1=0,即,例3,基础解系为, 1, 2, 3即为所求.,标准正交基求法,（i）正交化 设 1, 2,， r 为向量空间V的一个 基，

5、利用施密特（Schimidt）正交化方法得与 之等价的正交基1, 2, r . （ii）单位化（标准化）,令,注 若求与线性无关向量组等价的正交向量组，只要对 该向量组应用上面过程（ i ）正交化即可; 若1，2，r是向量空间V的一个正交基, 则 只要对该向量组应用上面过程（ i i ）进行单位化即可.,解,(i)正交化,例4,令,(ii)单位化,5.正交矩阵,定义 满足AAT= ATA=E的n阶方阵A称为正交矩阵.,结论 若A为正交矩阵,则,若A,B是正交矩阵,则A-1, AT, AB也是正交矩阵.,例如 如下矩阵A是一个正交矩阵.,满足AAT=E， 同理得ATA=E.,证,定理 n阶方阵A

6、为正交矩阵A的列向量组(行向量组) 都是标准正交向量组 .,将A用列向量表示为,ATA为正交阵,即A的列向量组(行向量组)都是标准正交向量组.,证,记,例5,即B为正交矩阵.,第4.2节 方阵的特征值与特征向量,基本内容： 特征值、特征向量的概念和计算方法 特征值、特征向量的性质,1. 特征值、特征向量的概念和计算方法,(1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵,若存在数 及非零列向量x,使 Ax = x 则称数 为A的特征值, x为A的对应于的特征向量.,注：对应于同一特征值的特征向量不惟一； 一个特征向量不能对应于不同特征值.,(2)相关概念,将特征值与特征向量定义式 Ax = x 改写为

7、 x Ax =0 即 ( E A )x = 0 称,(3)特征值与特征向量求法,依据 ( E A )x = 0 知： 特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解； 而齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数矩阵的行列式 EA =0,即A的特征值 为特征方程的根. 步骤如下 (i)求出特征方程 EA =0的全部根 1, 2, n, 即A的全部特征值； (ii)对每个 i ,求方程组( iEA )x = 0 的所有非零解，即为A的对应于特征值 i 的特征向量.,分 析,例1 求矩阵A的特征值和特征向量,解 (i),(ii),例2,解(i),(ii),例3 求矩阵A的特征值和特征向量,解 (i),(i

8、i),例2与例3中, 重特征值所 对应的线性 无关特征向 量的个数是 不相同的.,(1)特征值的性质 定理1 若 1, 2, n为方阵A的n个特征值，则 (i) 1 2 n =A; (ii) 1+ 2+ n= a11+a22+ann=tr(A).,2.特征值、特征向量的性质,定理2 n 阶方阵A与AT 有相同的特征值. 证 由于 ( EA)T= ( E)TAT= EAT ,所以 EA = ( EA)T = EAT 即A与AT 有相同的特征值. 定理3 若为方阵A的特征值，则 (i) a 为aA(a为常数 )的一个特征值; (ii) k为Ak(k为正整数 )的一个特征值; (iii)若f(x)为

9、x的多项式,则f()为f(A)的一个特征值； (iv)若A可逆,则-1为A-1的一个特征值; -1A为A*的 一个特征值.,定理3的证明,例4 已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3.求 (1) 2A的特征值；(2) A1的特征值; (3)tr(A),|A|; (4) A*的特征值; (5) A2的特征值; (6) B=A22A+E的特征值及|B|.,解 由特征值的性质 ，得 (1) 2A的特征值为2，4， 6； (2) A1的特征值为1，1/2， 1/3; (3) tr(A)=1+2+( 3)=0, |A|= 12 (-3)= 6; (4) A*的特征值为 6， 3，2; (5) A2的特征值

10、为1，4，9; (6) B=A22A+E的特征值为 2 2 +1即0，1，16； |B|=0.,(2)特征向量的性质,定理4 方阵A的对应于不同特征值的特征向量线 性无关. 证 设 1, 2, m为方阵A的m个不同特征值, x1,x2, , xm为相应的特征向量. 当m=1时,x10(单个的非零向量线性无关),定理 成立. 假设对m1不同的特征值定理成立，现证对m个 不同特征值定理也成立.设 k1x1+k2x2+kmxm=0 (*) 用方阵A左乘上式两端,得 k1Ax1+k2Ax2+kmAxm=0,再利用 Axi=i xi ( i=1,2, ,m),得 k11x1+k22x2+kmmxm=0

11、(*) (*)- m(*),得 k1(1m)x1+k2(2m)x2+km-1(m-1m)xm-1=0 由归纳假设, x1,x2,xm-1线性无关.因而 ki (im)=0 i=1, 2, ,m-1 但(im)0(i=1, 2, ,m-1),于是ki=0(i=1, 2, ,m-1). 此时式(*)变成 km xm=0, 而 xm0 ，所以 km=0. 这就证明了x1,x2, ,xm线性无关. ,定理5 若1 、 2是方阵A的两个不同的特征值， p1, p2, ps和q1, q2, qt分别为A的对应于1 和 2 的线性无关特征向量，则向量组p1, p2, ps , q1, q2, qt线性无关.

12、,例如 例2中1 = -1， 2= 3=2对应的特征向量,关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有,定理6 若0是方阵A的k重特征值，则对应于0的 线性无关特征向量个数不超过k个.,例如 教材P178-179 例4.4.2, 例4.4.3,第4.3节 相似矩阵,相似是矩阵间的一种重要关系，在理论研究和实际应用中，常常需要把一个矩阵化成较简单的矩阵 相似矩阵 矩阵的对角化,1.相似矩阵,(1)相似矩阵定义 设A、B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使 P1AP =B 称矩阵A相似于矩阵B,或称A与B相似.记为AB.,注: AA； 若AB，则B A； 若 AB ,B C 则AC . AB A与B等

13、价.,(2)相似矩阵的性质,(i) 若AB,则|A|= |B|； (ii) 若AB,则 E A E B,从而| E A|=| E B| , 进而有相同的特征值，有相同的迹； (iii) 若AB,则Am Bm, kA kB; (iv) 若AB, f(x)为多项式,则f(A)f(B); (v) 若AB,且均可逆，则A1 B1； (vi) 若AB,则r(A)=r(B).,证 设矩阵A与B相似,即有P1AP=B,则,(i) |B| = | P1AP |= | P1| |A| |P|= |A| ； (ii) E B= P1 P P1AP= P1( E A )P,即 E A E B；再由(i)得 | E

14、A |= | E B|； 进而有相同的特征值，有相同的迹； (iii)Bm=( P1AP ) m=(P1AP )(P1AP ) (P1AP ) =P1AmP, 即Am Bm ； P1 (kA)P =k (P1AP )=kB , 即 kA kB; (iv) 由(iii)及矩阵的运算性质即得f(A)f( B); (v) B1 =(P1AP ) 1 =P1A1(P1)1 =P1A1P ； (vii) AB时，A与B等价，从而r(A)=r(B).,例1,解 因相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的 特征值 2, y, 1. 由特征值的性质，有 2+0+x=2+y +(1) 2= |A|= 2y (1

15、) = 2y 得 y=1，x=0.,2.矩阵的对角化（矩阵与对角矩阵相似的条件）,(1) A可对角化的定义 若A与对角矩阵相似，称A可对角化. (2) A可对角化的条件 定理,证 (),(),推论 若A有n个互不相同的特征值, 则A可对角化. n阶方阵A可对角化 A的每个特征值的重数 等于对应的线性无关特征向量的个数.,(3)矩阵对角化的实施步骤,(i) 求出A的全部特征值 1, 2, , n ； (ii)对每个 i ,求方程组( i E A )x = 0 的基础解系 即为A的对应于特征值 i 的线性无关特征向量; (iii) 若A有n个线性无关特征向量 p1, p2, , pn,则 A与对角

16、矩阵相似.令 P=(p1, p2, , pn)，则,例1 矩阵 能否对角化？若能，求可逆矩阵P, 使P1 AP=为对角阵.,解 (i),(ii),例2 矩阵 能否对角化?若能, 求可逆矩阵P, 使P1 AP=为对角阵.,解 (i),(ii),由于线性无关特征向量个数为23，因此该矩阵不能对角化.,例3 已知矩阵 ， a为何值时，A可对角化?,解 由,当 a=2时，,此时齐次线性方程组,从矩阵秩的角度有：n阶方阵可对角化的充分必要条 件是若为A的k重特征值，则,(4)可对角化矩阵的简单应用,(i)由特征值和特征向量反求矩阵A: A=P P1 (ii) 求方阵的幂: Ak=Pk P1 例4 3阶方

17、阵A有三个不同的特征值 1=1, 2=2, 3 , 对应的特征向量分别为,解,(2)令 P=(p1, p2, p3) 则 P1AP=,第4.4节 实对称矩阵的对角化,实对称矩阵特征值与特征向量的性质 实对称矩阵对角化方法,1. 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 定理 (i)实对称矩阵的特征值都是实数; (ii)实对称矩阵A的对应于不同特征值 的特征向量相互正交; (iii)实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等. .,2.实对称矩阵对角化方法,定理 若A为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q，使 Q1AQ= QTAQ = 为对角阵,的对角线上的元素为A的n个特征值.(证略) 用正交矩阵化A

18、为对角阵的步骤： (i) 由 | E A |=0求出A的全部特征值 1, 2, , n; (ii)对每个 i ,求方程组( i E A )x = 0 的基础解系 即为A的属于特征值 i 的线性无关特征向量; (iii) 将线性无关特征向量正交化、单位化，令 Q=(q1, q2, , qn) 则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ= QT AQ = 为对角阵.,例1,解 (i),(ii),(iii) 正交化、单位化,令 Q=(q1, q2, q3),则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ= QT AQ =,实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法不唯一，故Q不唯一； 由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交，故只须对属于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.,思考练习,第4.5节 Mathematica软件应用,1. 命令 可以分别计算向量内积和模. 2. 命令 EigenvaluesA, 用以求矩阵A的特征值; 3. 命令EigenvectorsA, 用以求矩阵A的特征向量; 4. 命令EigensystemA,用以同时给出矩阵A的所有特征值与线性无关的特征向量.,注: 求n阶方阵的特征值与特征向量时，结果会显示矩阵的所有特征值与线性无关的特征向量，如果线性无关的特征向量的个数小于n，则会增加零向量，使最后结果中在形