高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数I 2.8 函数与方程课件 理

1、2.8函数与方程,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,(1)函数零点的定义 对于函数yf(x)(xd)，把使 的实数x叫做函数yf(x)(xd)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)0的根.,1.函数的零点,知识梳理,f(x)0,x轴,零点,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,c,对于在

2、区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,2.二分法,f(a)f(b)0,一分为二,零点,3.二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,1.有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 2.三个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)

3、的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.() (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.() (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.() (4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.() (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.(),1.(教材改编)函数 的零点个数为 a.0 b.1 c.2 d.3,考点自测,答案,解析,f(x)是增函数，又f(0)1，f(

4、1) ，,f(0)f(1)0，f(x)有且只有一个零点.,2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 a.ycos x b.ysin x c.yln x d.yx21,答案,解析,由于ysin x是奇函数； yln x是非奇非偶函数； yx21是偶函数但没有零点； 只有ycos x是偶函数又有零点.,3.(2016吉林长春检测)函数f(x) ln xx 2的零点所在的区间是 a.( ，1) b.(1,2)c.(2，e) d.(e,3),答案,解析,所以f(2)f(e)0，,4.函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_.,答案,解析,2,由图象知两函数图象有2个交点， 故函数f(x)有

5、2个零点.,5.函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值 范围是_.,答案,解析,函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，,题型分类深度剖析,题型一函数零点的确定,命题点1确定函数零点所在区间 例1(1)(2017长沙调研)已知函数f(x)ln x 的零点为x0，则x0所在的区间是 a.(0,1) b.(1,2) c.(2,3) d.(3,4),答案,解析,x0(2,3)，故选c.,(2)(2016济南模拟)设函数yx3与y( )x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nn，则x0所在的区间是_.,答案,解析,(1,2),易知f(x)为

6、增函数，且f(1)0， x0所在的区间是(1,2).,命题点2函数零点个数的判断,答案,解析,例2(1)函数f(x) 的零点个数是_.,2,当x0时，令x220，解得x (正根舍去)，,所以在(，0上有一个零点；,当x0时，f(x)2 0恒成立，,所以f(x)在(0，)上是增函数. 又因为f(2)2ln 20， 所以f(x)在(0，)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.,(2)若定义在r上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是 a.多于4 b.4c.3 d.2,答案,解析,由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.

7、 在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象， 如图， 观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数yf(x)log3|x|有4个零点.,思维升华,(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.,跟踪训练1(1)已知函数f(x) log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 a.(0,1) b.(1,2)c.(2,4) d.(4，),答案,解析,因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).,

8、(2)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为 a.4 b.5c.6 d.7,答案,解析,由f(x)xcos x20，得x0或cos x20. 又x0,4，所以x20,16.,由于cos( k)0(kz)，,而在 k(kz)的所有取值中，,故零点个数为156.,题型二函数零点的应用,例3(1)函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 a.(1,3) b.(1,2)c.(0,3) d.(0,2),答案,解析,因为函数f(x)2x a在区间(1,2)上单调递增，,又函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，,所以(a)(4

9、1a)0，即a(a3)0.所以0a3.,(2)已知函数f(x)|x23x|，xr，若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,(0,1)(9，),设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|， 在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示. 由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，,消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根， 所以(3a)24a0，即a210a90，解得a9. 又由图象得a0，09.,几何画板展示,引申探究,本例(2)中，

10、若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是_.,答案,解析,作出y1|x23x|，y2a的图象如右：,当x0或x3时，y10，,思维升华,已知函数零点情况求参数的步骤及方法 (1)步骤：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.,跟踪训练2(1)(2016枣庄模拟)已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_.,答案,解析,(2,0),ax2x在(0,1)上有解，,函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)， 0a2，2a0.,(2)(2015湖南)若函数f(

11、x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.,答案,解析,(0,2),由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示. 则当0b2时，两函数图象有两个交点， 从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.,几何画板展示,题型三二次函数的零点问题,例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.,解答,方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系，得(a2)(a21)10， 即a2a20，2a

12、1. 方法二函数图象大致如图，则有f(1)0， 即1(a21)a20，2a1. 故实数a的取值范围是(2,1).,思维升华,解决与二次函数有关的零点问题： (1)利用一元二次方程的求根公式； (2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图象列不等式组.,跟踪训练3(2016临沂一模)若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两 个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_.,答案,解析,典例(1)若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_. (2)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为_.,(1

13、，),利用转化思想求解函数零点问题,思想与方法系列4,答案,解析,思想方法指导,(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围. (2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决.,几何画板展示,(1)函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点， 即方程axxa0有两个根， 即函数yax与函数yxa的图象有两个交点. 当0a1时，图象如图所示，此时只有一个交点.,当a1时，图象如图所示，此时有两个交点. 实数a的取值范围为(1，).,返回,课时作业,1.设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为 a.(0,1) b.(1,2)c.(

14、2,3) d.(3,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(1)ln 11210， f(1)f(2)0， 函数f(x)ln xx2的图象是连续的， f(x)的零点所在的区间是(1,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016潍坊模拟)已知函数 则函数f(x)的零点为,当x1时，由f(x)2x10，解得x0；,又因为x1，所以此时方程无解. 综上，函数f(x)的零点只有0，故选d.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2x

15、x的零点依次为a，b，c，则 a.abc b.acbc.bac d.cab,答案,解析,故f(x)2xx的零点a(1,0). g(2)0，g(x)的零点b2；,方法二由f(x)0得2xx； 由h(x)0得log2xx，作出函数y2x， ylog2x和yx的图象(如图). 由图象易知a0,0c1，而b2，故acb.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是 a.1 b.2 c.3 d.4,答案,解析,(数形结合法) a0，a211. 而y|x22x|的图象如图， y|x2

16、2x|的图象与ya21的图象总有两个交点.,5.已知函数 则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是 a.(1,2) b.(，2 c.(，1)(2，) d.(，12，),答案,解析,当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；,当x0时，xf(x)m，即x m，解得m2，,即实数m的取值范围是(，12，).故选d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知xr，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x) a(x0) 有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,

17、9,10,11,12,13,7.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的 解集是_.,答案,解析,f(x)x2axb的两个零点是2,3. 2,3是方程x2axb0的两根，,f(x)x2x6. 不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知函数 若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_.,答案,解析,(，0)(1，),令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点， 即函数

18、yf(x)的图象与直线yb有两个交点， 结合图象(图略)可得ah(a)，即aa2， 解得a1，故a(，0)(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,因为函数f(x)在r上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016衡水期中)若a1，设函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则 的最小值为_.,答案,解析,1,设f(x)ax，g(x)logax，h(x)4x， 则h(x)与f(x)，g(x)的交点a，b横坐标分别为m，n(m0，n0). 因为f(x)与g(x)关于直线yx对称， 所以a，b两点关于直线yx对称. 又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为2， 所以mn4.又m0，n0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1)作出函数f(x)的图象；,如图所示.,故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3)若方程f(x)