高考数学一轮复习 第十二章 推理证明、算法、复数 12.4 离散型随机变量及其分布列课件 理

1、12.4离散型随机变量及其分布列,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.离散型随机变量,知识梳理,随着试验结果变化而 称为随机变量，常用字母x，y，表示，所有取值可以 的随机变量，称为离散型随机变量.,2.离散型随机变量的分布列及性质,(1)一般地，若离散型随机变量x可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，则表,变化的变量,一一列出,称为离散型随机变量x的 ，简称为x的分布列，有时也用等式p(xxi)pi，i1,2，n表示x的分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质 ；,pi0，i1,2，n,概

2、率分布列,(1)两点分布 若随机变量x服从两点分布，即其分布列为,3.常见离散型随机变量的分布列,其中p 称为成功概率.,p(x1),(2)超几何分布 一般地，在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则p(xk) ，k0,1,2，m，其中mminm，n，且nn，mn，n，m，nn*.如果随机变量x的分布列具有下表形式，,则称随机变量x服从超几何分布.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.() (2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.() (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的

3、次数x服从两点分布.(),(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数x服从超几何分布.() (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.() (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(),考点自测,1.(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为x，那么x4表示的事件是 a.一颗是3点，一颗是1点 b.两颗都是2点 c.甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 d.以上答案都不对,答案,解析,根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，c正确.,答案,解析,即“x0”表示试验失败，“x1”表示试验成功，,2.设某项试验的成功率是失

4、败率的2倍，用随机变量x去描述1次试验 的成功次数，则p(x0)等于,设x的分布列为,3.从标有110的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为x，那么随机变量x可能取得的值有 a.17个 b.18个 c.19个 d.20个,答案,解析,x可能取得的值有3,4,5，19，共17个.,4.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有x个红球，则随机变量x的分布列为,答案,解析,0.1,0.6,0.3,x的所有可能取值为0,1,2，,x的分布列为,5.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x是一个随机变量

5、，则p(x4)的值为_.,答案,解析,由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，,题型分类深度剖析,题型一离散型随机变量的分布列的性质,例1 (1)设x是一个离散型随机变量，其分布列为,答案,解析,则q等于,解答,(2)设离散型随机变量x的分布列为,求2x1的分布列.,由分布列的性质知 0.20.10.10.3m1，得m0.3.,从而2x1的分布列为,首先列表为,引申探究,解答,1.在本例(2)的条件下，求随机变量|x1|的分布列.,由(2)知m0.3，列表,p(1)p(x0)p(x2)0.20.10.3，,p(0)p(x1)0.1，p(2)p(x3)0.3，,p(3)p(x4)0.3.,故

6、|x1|的分布列为,2.若本例(2)中条件不变，求随机变量x2的分布列.,解答,依题意知的值为0,1,4,9,16.,p(0)p(x20)p(x0)0.2，,p(1)p(x21)p(x1)0.1，,p(4)p(x24)p(x2)0.1，,p(9)p(x29)p(x3)0.3，,p(16)p(x216)p(x4)0.3，,(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.,思维升华,跟踪训练1设随机变量x的分布列为p(x )ak(k

7、1,2,3,4,5). (1)求a；,解答,解答,解答,命题点1与排列组合有关的分布列的求法 例2(2015重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率；,解答,题型二离散型随机变量的分布列的求法,令a表示事件“三种粽子各取到1个”，,(2)设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列.,解答,x的所有可能值为0,1,2，且,综上知，x的分布列为,命题点2与互斥事件有关的分布列的求法 例3(2015安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每

8、次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；,解答,记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件a，,(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设x表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求x的分布列.,解答,x的可能取值为200,300,400.,p(x400)1p(x200)p(x300),故x的分布列为,命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法 例4 (2016蚌埠模拟)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未

9、出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记x为比赛决出胜负时的总局数，求x的分布列.,解答,用a表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，ak表示“第k局甲获胜”，bk表示“第k局乙获胜”.,(1)p(a)p(a1a2)p(b1a2a3)p(a1b2a3a4),(2)x的可能取值为2,3,4,5.,p(a1)p(a2)p(b1)p(a2)p(a3)p(a1)p(b2)p(a3)p(a4),p(x2)p(a1a2)p(b1b2),p(x3)p(b1a2a3)p(a1b2b3),p

10、(x4)p(a1b2a3a4)p(b1a2b3b4),故x的分布列为,求离散型随机变量x的分布列的步骤： (1)理解x的意义，写出x可能取的全部值； (2)求x取每个值的概率； (3)写出x的分布列. 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.,思维升华,跟踪训练2(2016湖北部分重点中学第一次联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1a2ak6，则称k为你的幸运数字. (1)求你的幸运数字为3的概率；,解答,设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件a， 则它包含事件a1，a2，a3，其中a1：

11、三次恰好均为2；,a2：三次中恰好1,2,3各一次；a3：三次中有两次均为1，一次为4.,a1，a2，a3为互斥事件，则,(2)若k1，则你的得分为6分；若k2，则你的得分为4分；若k3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分的分布列.,解答,由已知得的可能取值为6,4,2,0，,故的分布列为,题型三超几何分布,例5(2017济南质检)pm2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准gb30952012，pm2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75

12、微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2016年全年每天的pm2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：,(1)从这10天的pm2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；,解答,记“从10天的pm2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件a，,(2)从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到pm2.5监测数据超标的天数，求的分布列.,解答,依据条件，服从超几何分布，其中n10，m3，n3，且随机变量的可能取值为0,1,2,3.,故的分布列为,(1)超几何分布的两个特点 超几何分布是不放回抽样问题；

13、随机变量为抽到的某类个体的个数. (2)超几何分布的应用条件 两类不同的物品(或人、事)； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体.,思维升华,跟踪训练3某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动.(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；,解答,设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件a，,(2)设x为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量x的分布列.,解答,随机变量x的所有可能取值为0,1,2,3.

14、,故随机变量x的分布列是,典例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列.,离散型随机变量的分布列,现场纠错系列17,错解展示,现场纠错,纠错心得,(1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率.,(2)验证随机变量的概率和是否为1.,返回,解p(1)0.9， p(2)0.10.90.09， p(3)0.10.10.90.009， p(4)0.130.90.000 9， p(5)0.140.000 1. 的分布列为,返回,课时作业,1.(2016太原模拟)某射手射击所得环数x的分布列为,答案,解析

15、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,根据x的分布列知，所求概率为0.280.290.220.79.,则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为,a.0.28 b.0.88 c.0.79 d.0.51,2.(2016岳阳模拟)设x是一个离散型随机变量，其分布列为,答案,解析,则q等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016郑州模拟)已知随机变量x的分布列为p(xi) (i1,2,3,4)，则p(2x4)等于,答案,解析,由分布列的性质知，,则a5，,1,2,3,4,5,6,7

16、,8,9,10,11,12,13,4.(2016湖北孝感汉川期末)设随机变量的分布列为p(i)a( )i，i1,2,3，则实数a的值为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2017武汉调研)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是,答案,解析,如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2017长沙月考)一只袋内装有m个白球，nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了x个白球，下列概率等于 的是,答案,解析,a.p(x3)

17、 b.p(x2)c.p(x3) d.p(x2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)；若x是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则x的所有可能取值是_.,答案,解析,1,0,1,2,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,x1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，,x0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，,x1，甲抢到1题

18、且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对，,x2，甲抢到2题均答对，,x3，甲抢到3题均答对.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.随机变量x的分布列如下：,其中a，b，c成等差数列，则p(|x|1)_，公差d的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a，b，c成等差数列，2bac.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.设离散型随机变量x的分布列为,答案,解析,若随机变量y|x2|，则p(y2)_.,0.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由分布列

19、的性质，知,0.20.10.10.3m1，m0.3.,由y2，即|x2|2，得x4或x0，,p(y2)p(x4或x0) p(x4)p(x0),0.30.20.5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则p(6)_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2015山东改编)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加

20、者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；,解答,个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若甲参加活动，求甲得分x的分布列.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,随机变量x的取值为0，1,1，因此,所以x的分布列为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,12.(2016遂宁