高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 理 新人教版

1、9.7抛物线,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.抛物线的概念 平面内与一个定点f和一条定直线l(l不经过点f)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点f叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .,知识梳理,焦点,相等,准线,2.抛物线的标准方程与几何性质,1.抛物线y22px (p0)上一点p(x0，y0)到焦点f 的距离|pf|x0 ，也称为抛物线的焦半径. 2.y2ax的焦点坐标为 ，准线方程为x . 3.设ab是过抛物线y22px(p0)焦点f的弦， 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)x1x2 ，y1y2p2. (2)弦长|ab|x1x2p

2、(为弦ab的倾斜角). (3)以弦ab为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.() (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ，0)，准线方程是x .() (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.() (4)ab为抛物线y22px(p0)的过焦点f( ，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2 ，y1y2p2，弦长|ab|x1x2p.(),考点自测,a.(0,2

3、) b.(0,1) c.(2,0) d.(1,0),答案,解析,1.(2016四川)抛物线y24x的焦点坐标是,对于抛物线y2ax，其焦点坐标为 ， 对于y24x，焦点坐标为(1,0).,a.9 b.8 c.7 d.6,答案,解析,2.(2016甘肃张掖一诊)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|pq|等于,3.设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是,q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24

4、k24k264(1k2)0， 解得1k1.,答案,解析,a. b.2,2 c.1,1 d.4,4,几何画板展示,4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0).将p(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.,答案,解析,y28x或x2y,5.(2017合肥调研)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_.,2,答案,解析,题型分类深度剖析,题型一抛物线的定义及应用,例1设p是抛物线y24x上的一个动点，若b(3,2)，则|pb|pf|的最小值为_.

5、,答案,解析,4,如图，过点b作bq垂直准线于点q， 交抛物线于点p1， 则|p1q|p1f|.则有|pb|pf|p1b|p1q|bq|4. 即|pb|pf|的最小值为4.,几何画板展示,引申探究 1.若将本例中的b点坐标改为(3,4)，试求|pb|pf|的最小值.,解答,由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. |pb|pf|的最小值即为b，f两点间的距离，,几何画板展示,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.,解答,由题意知，抛物线的焦点为f(1,0). 点p到y轴的距离d

6、1|pf|1， 所以d1d2d2|pf|1. 易知d2|pf|的最小值为点f到直线l的距离， 所以d1d2的最小值为3 1.,几何画板展示,与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,思维升华,跟踪训练1设p是抛物线y24x上的一个动点，则点p到点a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值为_.,答案,解析,如图，易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线是x1， 由抛物线的定义知：点p到直线x1的距离等于点p 到f的距离.于是，问题

7、转化为在抛物线上求一点p， 使点p到点a(1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小， 显然，连接af与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 .,几何画板展示,题型二抛物线的标准方程和几何性质,命题点1求抛物线的标准方程 例2已知双曲线c1： (a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为,c.x28y d.x216y,答案,解析,命题点2抛物线的几何性质 例3已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是过f的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2 ；,

8、证明,证明,证明,(3)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,思维升华,跟踪训练2(1)(2016全国乙卷)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a，b两点，交c的准线于d，e两点.已知|ab|4 ，|de|2 ，则c的焦点到准线的距离为 a.2 b.4 c.6 d.8,答案,解析,(2)(2016

9、昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y22px(p0)的焦点为f，已知点a、b为抛物线上的两个动点，且满足afb120.过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则 的最大值为,答案,解析,a. b.1 c. d.2,设|af|a，|bf|b，分别过a、b作准线的垂线，垂足分别为q、p， 由抛物线的定义知，|af|aq|，|bf|bp|，,在梯形abpq中，2|mn|aq|bp|ab.,|ab|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab.,题型三直线与抛物线的综合问题,命题点1直线与抛物线的交点问题 例4已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于

10、a、b两点.若 0，则k_.,答案,解析,2,命题点2与抛物线弦的中点有关的问题 例5(2016全国丙卷)已知抛物线c：y22x的焦点为f，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交c于a，b两点，交c的准线于p，q两点. (1)若f在线段ab上，r是pq的中点，证明：arfq；,证明,几何画板展示,(2)若pqf的面积是abf的面积的两倍，求ab中点的轨迹方程.,解答,几何画板展示,设过ab的直线为l，设l与x轴的交点为d(x1,0)， 所以x11，x10(舍去). 设满足条件的ab的中点为e(x，y).,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.

11、(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,思维升华,跟踪训练3(2017北京东城区质检)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，直线y4与y轴的交点为p，与c的交点为q，且|qf| |pq|. (1)求c的方程；,解答,设q(x0,4)，代入y22px，得x0 . 所以|pq| ，|qf| x0 . 由题设得 ， 解得p2(

12、舍去)或p2.所以c的方程为y24x.,(2)过f的直线l与c相交于a、b两点，若ab的垂直平分线l与c相交于m、n两点，且a、m、b、n四点在同一圆上，求l的方程.,解答,典例(12分)已知抛物线c：ymx2(m0)，焦点为f，直线2xy20交抛物线c于a，b两点，p是线段ab的中点，过p作x轴的垂线交抛物线c于点q. (1)求抛物线c的焦点坐标；,答案模板系列7,(2)若抛物线c上有一点r(xr,2)到焦点f的距离为3，求此时m的值；,(3)是否存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,答题模板,思维点拨,直线与圆锥曲线问题的求解策略,规

13、范解答,返回,返回,课时作业,1.(2017昆明调研)已知抛物线c的顶点是原点o，焦点f在x轴的正半轴上，经过f的直线与抛物线c交于a、b两点，如果 12，那么抛物线c的方程为 a.x28y b.x24yc.y28x d.y24x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,a.x1 b.x1 c.x2

14、d.x2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016上饶四校联考)设抛物线c：y23px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则抛物线c的方程为 a.y24x或y28x b.y22x或y28x c.y24x或y216x d.y22x或y216x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，

15、y2)，则 的值一定等于 a.4 b.4 c.p2 d.p2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若焦点弦abx轴， 则x1x2 ，x1x2 ； y1p，y2p，y1y2p2， 4. 若焦点弦ab不垂直于x轴， 可设ab的直线方程为yk(x )， 联立y22px，得k2x2(k2p2p)x 0，,5.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线交抛物线于点a、b，交其准线l于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线的方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答

16、案,解析,a.y29xb.y26xc.y23xd.y2 x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，分别过a、b作aa1l于a1，bb1l于b1， 由抛物线的定义知：|af|aa1|，|bf|bb1|， |bc|2|bf|， |bc|2|bb1|，bcb130，afx60， 连接a1f，则aa1f为等边三角形，过f作ff1aa1于f1， 则f1为aa1的中点，设l交x轴于k， 则|kf|a1f1| |aa1| |af|，即p ， 抛物线方程为y23x.故选c.,6.抛物线y24x的焦点为f，点p(x，y)为该抛物线上的动点，若点a (1,0)，则 的最小值是,答案,解

17、析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，则|ab|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,12,方法二由抛物线焦点弦的性质可得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知抛物线c：y22px(p0)的准线为l，过m(1,0)且斜率为 的直线与l相交于点a，与c的一个交点为b，若 ，则p_.,1,2,3,4,5,6

18、,7,8,9,10,11,12,13,2,如图，由ab的斜率为 ， 知60，又 ， m为ab的中点. 过点b作bp垂直准线l于点p， 则abp60，bap30， |bp| |ab|bm|. m为焦点，即 1，p2.,答案,解析,9.已知椭圆e的中心在坐标原点，离心率为 ，e的右焦点与抛物线c：y28x的焦点重合，a，b是c的准线与e的两个交点，则|ab|_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.设直线l与抛物线y24x相交于a，

19、b两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点m，且m为线段ab的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.,(2,4),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2)两点，且|ab|9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1)求该抛物线的方程；,直线ab的方程是y2 (x )，与y22px联立， 从而有4x25pxp20. 所以x1x2 ，由抛物线定义得 |ab|x1x2p p9， 所以p4，从而抛物线方程为y28x.,(2)o为坐标原点，c为抛物线上一点，若 ，求的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,12.设p，q是抛物线y22px(p0)上相异两点，p，q到y轴的距离的积为4，且 0.,(1)求该抛物线的标准方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,y1y24p