高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线课件 理 苏教版

1、9.6双曲线,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.双曲线定义 平面内到两个定点f1，f2的 等于常数(小于f1f2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点f1，f2叫做 ，两焦点间的距离叫做 . 集合pm|mf1mf2|2a，f1f22c，其中a，c为常数且a0，c0. (1)当 时，p点的轨迹是双曲线； (2)当 时，p点的轨迹是两条射线； (3)当 时，p点不存在.,知识梳理,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2af1f2,2af1f2,2af1f2,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yr,xr，ya或ya,坐标轴,原点,(1，

2、),2a,2b,实半轴长,虚半轴长,a2b2,巧设双曲线方程 (1)与双曲线 1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 t(t0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 1(mn0).,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.() (2)方程 1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.() (3)双曲线方程 (m0，n0，0)的渐近线方程是 0，即 0.(),(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .() (5)若双曲线 1(a0，b0)与 1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则 1(此

3、结论中两条双曲线称为共轭双曲线).(),考点自测,1.(教材改编)若双曲线 1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.,答案,解析,由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.,2.等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线y216x的准线交于a，b两点，ab ，则c的实轴长为_.,答案,解析,4,由题设c： 1.,抛物线y216x的准线为x4，,a2，2a4.,c的实轴长为4.,3.(2016无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y ， 那么双曲线的离心率为_.,答案,解析,根据题意，设双曲线的方程为 1，,即双曲线的离心率为 .,4.(2

4、016江苏)在平面直角坐标系xoy中，双曲线 1的焦距是_.,答案,解析,由已知，a27，b23， 则c27310， 故焦距为2c .,5.双曲线 y21的顶点到其渐近线的距离等于_.,答案,解析,双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，,一条渐近线方程是y ，即x2y0，,则顶点到渐近线的距离,题型分类深度剖析,题型一双曲线的定义及标准方程 命题点1利用定义求轨迹方程 例1已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与 圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_.,答案,解析,x2 1(x1),几何画板展示,如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b. 根据两圆

5、外切的条件， 得mc1ac1ma，mc2bc2mb， 因为mamb，所以mc1ac1mc2bc2， 即mc2mc1bc2ac12， 所以点m到两定点c1、c2的距离的差是常数且小于c1c26. 又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28. 故点m的轨迹方程为x2 1(x1).,命题点2利用待定系数法求双曲线方程 例2根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为 ；,解答,设双曲线的标准方程为,由题意知，2b12，e .,b6，c10，a8.,双曲线的标准方程为,(2)焦距为26，且经过点m(0,12)；,

6、解答,双曲线经过点m(0,12)， m(0,12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y轴上，且a12. 又2c26， c13， b2c2a225.,双曲线的标准方程为,设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,(3)经过两点p(3, )和q( ，7).,解答,双曲线的标准方程为,命题点3利用定义解决焦点三角形问题 例3已知f1，f2为双曲线c：x2y22的左，右焦点，点p在c上， pf12pf2，则cosf1pf2_.,答案,解析,由双曲线的定义有pf1pf2pf22a ，,pf12pf2 ，,几何画板展示,引申探究 1.本例中，若将条件“pf12pf2”改为“f1pf260”，则f1pf2的面积

7、是多少？,解答,不妨设点p在双曲线的右支上，则pf1pf22a ，,在f1pf2中，由余弦定理，得,所以pf1pf28，,所以,2.本例中，若将条件“pf12pf2”改为“ 0”，则f1pf2的面积是多少？,解答,不妨设点p在双曲线的右支上，则pf1pf22a ，,所以,(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|pf1pf2|2a，运用平方的方法，建立与pf1pf2的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，

8、e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可.,思维升华,跟踪训练1(1)已知f1，f2为双曲线 1的左，右焦点，p(3,1)为双曲线内一点，点a在双曲线上，则apaf2的最小值为_.,由题意知，apaf2apaf12a，要求apaf2的最小值，只需求apaf1的最小值， 当a，p，f1三点共线时，取得最小值，,apaf2的最小值为apaf12a .,答案,解析,几何画板展示,(2)设f1，f2分别为双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上 存在一点p使得pf1pf23b，pf1pf2

9、，则该双曲线的离心率为_.,答案,解析,不妨设p为双曲线右支上一点，pf1r1，pf2r2. 根据双曲线的定义，得r1r22a，,又r1r23b，故,题型二双曲线的几何性质 例4(1)(2016盐城三模)若圆x2y2r2过双曲线 1的右焦点f，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为a，b，当四边形oafb为菱形时，双曲线的离心率为_.,答案,解析,2,若四边形oafb为菱形，且点a在圆x2y2r2上，,则点a坐标为( )，此时rc.,又点a在渐近线上，所以 ，,(2)(2015山东)在平面直角坐标系xoy中，双曲线c1： 1(a0，b0)的渐近线与抛物线c2：x22py(p0)交于点o

10、，a，b.若oab的垂心 为c2的焦点，则c1的离心率为_.,答案,解析,由题意，不妨设直线oa的方程为y ，直线ob的方程为y .,设抛物线c2的焦点为f，则 ，,oab的垂心为f，afob，kafkob1，,设c1的离心率为e，则,双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 (a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k 满足关系式e21k2.,思维升华,跟踪训练2(2016全国甲卷改编)已知f1，f2是双曲线e： 1的左，右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1 ，则e的离心率为_.,答案,解析,离心率e ，,由正弦定理得,题型三直线与双曲线的综合问题 例5(

11、2016苏州模拟)已知椭圆c1的方程为 y21，双曲线c2的左，右焦点分别是c1的左，右顶点，而c2的左，右顶点分别是c1的左，右焦点. (1)求双曲线c2的方程；,解答,设双曲线c2的方程为 1(a0，b0)，,则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.,故c2的方程为 y21.,(2)若直线l：ykx 与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b，且 2(其中o为原点)，求k的取值范围.,解答,将ykx 代入 y21，得(13k2)x2 90.,由直线l与双曲线c2有两个不同的交点，得,k2 且k21.,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,又 2，得x1x2y1y22，,解得 k23，

12、,由得 k21.,故k的取值范围为 .,(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.,思维升华,跟踪训练3在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线c： 1.设过点m(0,1)的直线l与双曲线c交于a，b两点若 ，则直线l的斜率 为_,答案,解析,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,代入双曲线方程联立解得,所以a(4,3)，b(2,0)或a(4,3)，b(2

13、,0)，,即直线l的斜率为 .,典例已知双曲线x2 1，过点p(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于a，b两点，且点p是线段ab的中点？,直线与圆锥曲线的交点,现场纠错系列10,(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件. (2)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.,错解展示,现场纠错,纠错心得,返回,解设点a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上， 且线段ab的中点为(x0，y0)， 若直线l的斜率不存在，显然不符合题意. 设经过点p的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.,得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20).,由题意

14、，得 1，解得k2.,当k2时，方程可化为2x24x30. 162480，方程没有实数解. 不能作一条直线l与双曲线交于a，b两点， 且点p(1,1)是线段ab的中点.,返回,课时作业,1.(2016泰州联考)已知双曲线c： 1(a0，b0)的焦距为10， 点p(2,1)在c的一条渐近线上，则c的方程为_.,答案,解析,依题意,解得,双曲线c的方程为 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016全国乙卷改编)已知方程 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是_.,答案,解析,方程 1表示双曲线，,(1,3),(m2n)(3m2n)0

15、，解得m2n3m2， 由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.(2016盐城模拟)已知双曲线 1的左，右焦点分别为f1，f2，过f2的直线与该双曲线的右支交于a，b两点，若ab5，则abf1的周长为_.,答案,解析,由双曲线 1，知a4.,26,由双曲线定义af1af2bf1bf22a8， af1bf1af2bf21621， abf1的周长为af1bf1ab21526.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.(2016

16、北京)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为( ，0)，则a_，b_.,答案,解析,由2xy0，得y2x，所以 2.,1,又c ，a2b2c2，解得a1，b2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.已知点f是双曲线 1(a0，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a、b两点，若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_.,答案,解析,由题意易知点f的坐标为(c,0)，a(c， )，b(c， )，e(a,0)，,abe是锐角三角形，,(1,2),e(e33e31)1，e(1,2).,整理

17、得3e22ee4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016浙江)设双曲线x2 1的左，右焦点分别为f1，f2，若点p在双曲线上，且f1pf2为锐角三角形，则pf1pf2的取值范围是_.,答案,解析,如图，由已知可得a1，b ，c2， 从而f1f24，由对称性不妨设p在右支上， 设pf2m，则pf1m2am2， 由于pf1f2为锐角三角形，,结合实际意义需满足,解得1 m3，又pf1pf22m2，, 2m28.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.(2016南京三模)设f是双曲线的一个焦点，点p在双曲线上，且线段pf的中

18、点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为_.,答案,解析,不妨设双曲线方程为 1 (a0，b0)，,设f(c,0)，线段pf的中点为(0，b)，则p(c,2b).,由点p在双曲线上，得 41，所以e .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.设双曲线 1的左，右焦点分别为f1，f2，p为双曲线上位于 第一象限内的一点，且pf1f2的面积为6，则点p的坐标为_.,由双曲线 1的左，右焦点分别为f1，f2，所以f1f26，,设p(x，y) (x0，y0)，,因为pf1f2的面积为6，所以 f1f2y 6y6，,解得y2，将y2代入 1得x .,所以p( ，2)

19、.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.已知f1，f2分别是双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点m，使得 0(其中o为坐标原点)，且 ，则双曲线的离心率为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,在mf1f2中，边f1f2上的中线等于f1f2的一半，可得 .,根据双曲线定义得,双曲线的离心率e 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.(2015课标全国改编)已知m(x0，y0)是双曲线c： y21上的一点， f1，f2是c的两个焦点，若 0，

20、则y0的取值范围是_.,答案,解析,由题意知a ，b1，c ，,点m(x0，y0)在双曲线上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.已知双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，点p在 双曲线的右支上，且pf14pf2，则此双曲线的离心率e的最大值为_.,答案,解析,由定义，知pf1pf22a.,又pf14pf2，pf1 a，pf2 a.,在pf1f2中，由余弦定理，得,要求e的最大值，即求cosf1pf2的最小值，,当cosf1pf21时，得e ，即e的最大值为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.(20

21、15课标全国)已知f是双曲线c：x2 1的右焦点，p是c的左支上一点，a( ).当apf的周长最小时，该三角形的面积为_.,答案,解析,设左焦点为f1，pfpf12a2， pf2pf1，apf的周长为afappfafap2pf1，apf周长最小即为appf1最小， 当a、p、f1三点在一条直线时最小，,过af1的直线方程为 1，与x2 1联立，,解得p点坐标为( )，此时,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.(2016江西丰城中学模拟)一条斜率为1的直线l与离心率为 的双曲线 1(a0，b0)交于p，q两点，直线l与y轴交于r点，且 3， ，求直线和双曲线的

22、方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,e ，b22a2，,设直线l的方程为yxm.,双曲线方程可化为2x2y22a2.,x22mxm22a20，,4m24(m22a2)0，直线l一定与双曲线相交. 设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x22m，x1x2m22a2.,x13x2，x2m， m22a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,消去x2，得m2a2.,x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m) 2x1x2m(x1x2)m2 m24a23， m1，a21，b22.,直线l的方程为yx1，双曲线的方程为x2 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,