高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文 苏教版

1、8.2空间点、直线、平面之间的位置关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的 . 公理3：经过 的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,知识梳理,两点,一条直线,不在同一条直线上,平行,2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类,平行,相交,任何,(2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点o，作直线aa，bb，

2、把直线a与b所成的 叫做异面直线a，b所成的角. 范围： .,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况. 5.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的 ，那么这两个角相等.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与,平面平行,平行,相交,两边分别平行并且方向相同,1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内

3、不经过该点的直线互为异面直线.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.() (2)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于过a点的任意一条直线. () (3)两个平面abc与dbc相交于线段bc.() (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.() (5)没有公共点的两条直线是异面直线.(),考点自测,1.下列命题中正确的个数为_. 梯形可以确定一个平面； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.,答案,解析,中两

4、直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确.,2,2.(2016无锡模拟)已知a，b，c是空间的三条直线，给出下列四个命题： 若ab，bc，则ac； 若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线； 若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交； 若a，b共面，b，c共面，则a，c也共面. 其中真命题的个数是_.,答案,0,3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为_(填序号) 一定是异面直线 一定是相交直线 不可能是平行直线 不可能是相交直线,答案,解析,由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b

5、c，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾. 故正确.,4.(教材改编)如图所示，已知在长方体abcdefgh中，ab ，ad ，ae2，则bc和eg所成角的大小是_，ae和bg所成角的大小是_.,答案,解析,45,60,bc与eg所成的角等于eg与fg所成的角即egf，,tanegf 1，egf45，,ae与bg所成的角等于bf与bg所成的角即gbf，,gbf60.,5.已知空间四边形abcd中，m、n分别为ab、cd的中点，则下列判断： mn (acbd)；mn (acbd)；mn (acbd)； mn (acbd). 其中正确的是_.,答案,解析,如图，取bc的中点o， 连结mo，no，m

6、n，,则om ac，on bd，,在mon中，mnomon (acbd)，正确.,题型分类深度剖析,题型一平面基本性质的应用 例1(1)(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件.,答案,解析,充分不必要,若直线a和直线b相交，则平面和平面相交； 若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.,(2)已知空间四边形abcd(如图所示)，e、f分别是ab、ad的中点，g、h分别是bc、cd上的点，且cg bc，ch dc.求证： e、f、g、h四点共面；,证明,连结ef，gh，如图所示， e，f分别是ab，ad的中点，

7、efbd.,又cg bc，ch dc，,efgh，e、f、g、h四点共面.,ghbd，,三直线fh、eg、ac共点.,证明,易知fh与直线ac不平行，但共面， 设fhacm， m平面efhg，m平面abc. 又平面efhg平面abceg， meg，fh、eg、ac共点.,几何画板展示,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特

8、定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,思维升华,跟踪训练1如图，正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab和aa1的中点.求证： (1)e、c、d1、f四点共面；,证明,如图，连结ef，cd1，a1b. e，f分别是ab，aa1的中点， efa1b. 又a1bd1c， efcd1， e、c、d1、f四点共面.,(2)ce，d1f，da三线共点.,证明,efcd1，efcd1， ce与d1f必相交， 设交点为p，如图所示. 则由pce，ce平面abcd， 得p平面abcd. 同理p平面add1a1. 又平面abcd平面add1a1

9、da， p直线da. ce，d1f，da三线共点.,题型二判断空间两直线的位置关系 例2(1)(2015广东改编)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_. l与l1，l2都不相交； l与l1，l2都相交； l至多与l1，l2中的一条相交； l至少与l1，l2中的一条相交.,答案,解析,若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2， l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交.,(2)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列判断错误的是_. mn与cc1垂直；mn与ac垂直；

10、 mn与bd平行； mn与a1b1平行.,连结b1c，b1d1，如图所示， 则点m是b1c的中点，mn是b1cd1的中位线， mnb1d1，又bdb1d1，mnbd. cc1b1d1，acb1d1，mncc1，mnac. 又a1b1与b1d1相交，mn与a1b1不平行.,答案,解析,几何画板展示,(3)在图中，g、n、m、h分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有_. (填上所有正确答案的序号),答案,解析,图中，直线ghmn； 图中，g、h、n三点共面，但m平面ghn， 因此直线gh与mn异面； 图中，连结mg，gmhn，因此gh

11、与mn共面； 图中，g、m、n共面，但h平面gmn， 因此gh与mn异面. 所以图中gh与mn异面.,空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.,思维升华,跟踪训练2(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论： 若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为_.,答案,解析,1,在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立.,(2)如

12、图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点mab1，nbc1，且ambn ，有以下四个结论： aa1mn； a1c1mn； mn平面a1b1c1d1； mn与a1c1是异面直线. 其中正确结论的序号是_.(注：把你认为正确结论的序号都填上),答案,解析,过n作npbb1于点p，连结mp，可证aa1平面mnp， aa1mn，正确，过m、n分别作mra1b1、nsb1c1于点r，s， 则当m不是ab1的中点、n不是bc1的中点时，直线a1c1与直线rs相交； 当m、n分别是ab1、bc1的中点时，a1c1rs， a1c1与mn可以异面，也可以平行，故错误. 由正确知，aa1平面mnp，而aa

13、1平面a1b1c1d1， 平面mnp平面a1b1c1d1，故正确. 综上所述，其中正确的序号是.,题型三求两条异面直线所成的角 例3(2016南京模拟)如图，四边形abcd和adpq均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线 ap与bd所成的角为_.,答案,解析,如图，将原图补成正方体abcdqghp， 连结gp，则gpbd， 所以apg为异面直线ap与bd所成的角， 在agp中，aggpap， 所以apg .,引申探究 在本例条件下，若e，f，m分别是ab，bc，pq的中点，异面直线em与af所成的角为，求cos 的值.,解答,设n为bf的中点，连结en，mn， 则men是异面直线em与

14、af所成的角或其补角. 不妨设正方形abcd和adpq的边长为4，,在men中，由余弦定理得,即cos .,用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.,思维升华,跟踪训练3(2016盐城模拟)已知正四面体abcd中，e是ab的中点， 则异面直线ce与bd所成角的余弦值为_.,答案,解析,画出正四面体abcd的直观图，如图所示. 设其棱长为2，取ad的中点f，连结ef， 设ef的中

15、点为o，连结co，则efbd， 则fec就是异面直线ce与bd所成的角. abc为等边三角形，则ceab， 易得ce ，同理可得cf ， 故cecf. 因为oeof，所以coef.,所以cosfec .,典例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，则mn. 其中所有正确的命题是_.,构造模型判断空间线面位置关系,思想与方法系列16,思想方法指导,答案,解析,本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全

16、面而导致解题错误.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.,返回,借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面、互相垂直，如图(1)所示，故正确； 对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确； 对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确； 对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.在下列命题中，不是公理的有_.(填序号) 平行于同一个平面的两个平面相互平行； 过不在同一条直线上的三点，有且只

17、有一个平面； 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内； 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,答案,解析,命题是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.,2.(2016南京、盐城一模)现有如下命题： 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行； 如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行； 如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内. 其中正确的命题是_.(填序号),答案,解析,过平面外一点有无数条直线与该平

18、面平行，故错.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016镇江模拟)设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题： 若b，c，则bc；若b，bc，则c； 若c，则c；若c，c，则. 其中正确的命题是_.,答案,解析,中直线b，c平行或异面，则错误； 中c或c，则错误； 中c，的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则错误； 由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知正确，故正确命题是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.在四面体abcd的棱ab，bc，cd，da上分别取e，f，g，h四点，如果ef与hg交于点m

19、，则下列命题正确的有_. m一定在直线ac上； m一定在直线bd上； m可能在ac上，也可能在bd上； m既不在ac上，也不在bd上.,答案,解析,由于efhgm，且ef平面abc， hg平面acd，所以点m为平面abc与平面acd的一个公共点，而这两个平面的交线为ac， 所以点m一定在直线ac上，故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1， 和a，且长为a的棱与长为 的棱异面，则a的取值范围是_.,答案,解析,此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

20、10,11,12,13,6.(2016常州模拟)在平行六面体abcda1b1c1d1中，既与ab共面又与cc1共面的棱有_条.,答案,解析,5,如图，有5条.其为bc，aa1，cd，c1d1，bb1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016苏州模拟)若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,24,如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线 需为面对角线，以ac为例，与之构成黄金异面直线 对的直线有4

21、条，分别是ab，bc，ad，cd， 正方形的面对角线有12条，所以所求的“黄金异面 直线对”共有 24对(每一对被计算两次， 所以要除以2).,8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，g、h、m、n分别为de、be、ef、ec的中点，在这个正四面体中， gh与ef平行； bd与mn为异面直线； gh与mn成60角； de与mn垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是_.,答案,解析,把正四面体的平面展开图还原，如图所示， gh与ef为异面直线， bd与mn为异面直线， gh与mn成60角，demn.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2015浙江)如

22、图，三棱锥a-bcd中，abacbdcd3，adbc2，点m，n分别是ad，bc的中点，则异面直线an，cm所成的角的 余弦值是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图所示，连结dn，取线段dn的中点k，连结mk，ck. m为ad的中点，mkan， kmc为异面直线an，cm所成的角. abacbdcd3，adbc2， n为bc的中点，,由勾股定理求得andncm ，,在rtckn中，ck,在ckm中，由余弦定理，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2017泰州质检)如图，矩形abcd中，ab2ad，e为边ab的中

23、点，将ade沿直线de翻折成a1de.若m为线段a1c的中点，则在ade翻折过程中，下面四个命题中不正确的是_. bm是定值； 点m在某个球面上运动； 存在某个位置，使dea1c； 存在某个位置，使mb平面a1de.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取dc中点f，连结mf，bf，mfa1d且mf a1d，fbed且fbed，所以mfba1de. 由余弦定理可得mb2mf2fb22mffbcosmfb是定值，所以m是在以b为圆心，mb为半径的球上，可得正确； 由mfa1d与fbed可得平面mbf平面a1de，可得正确； a1c在平面abcd中的投影与ac重合，ac与de不垂直，可得不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，o为正方形abcd的中心，h为直线b1d与平面acd1的交点.求证：d1、h、o三点共线.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,连结bd，b1d1，如图. 则bdaco， bb1綊dd1， 四边形bb1d1d为平行四边形，又hb1d， b1d平面bb1d1d， 则h平面bb1d1d， 平面acd1平面bb1d1dod1，hod1