第三章33向量组的秩

1、第三章33向量组的秩,线性代数,答疑时间：星期二晚上18:0020:30 星期四晚上18:0020:30 答疑地点：J4-102 Email:,第三章33向量组的秩,第三章 向量组的线性相关性,3.1 向量的概念和运算,3.2 向量组的线性相关性,3.3 向量组的秩,3.4 向量空间,第三章33向量组的秩,3.3 向量组的秩,3.3.1 向量组的秩与极大线性无关组,3.3.2 向量组的等价,第三章33向量组的秩,3.3.1 向量组的秩与极大线性无关组,定义3.3.1 如果向量组1,2, ,m的,线性表出,的一个极大线性无关组,第三章33向量组的秩,一个非零向量组必有极大线性无关组 一个线性无关

2、的向量组的极大线性无关组就是向量组本身。,例3.3.1 求向量组 1=(1,-1,0)，2=(0,1,2)，3=(2,-3,-2)的极大线性无关组。,第三章33向量组的秩,解 由于1,2线性无关，3= 21-2, 所以1,2是该向量组的的一个极大线性无关组。显然1,3与2,3也是这个向量组的极大线性无关组。,一个线性相关的非零向量组，一定存在极大线性无关组 线性相关的非零向量组的极大线性无关组不是唯一的。,第三章33向量组的秩,定理 3.3.1 如果向量组1,2, ,m中的每一个向量均可由向量组 1, 2, , r线性表出，并且mr，那么向量组线性相关。,第三章33向量组的秩,证 设,由条件,

3、以这两个向量组的向量为行向量(m+r) n矩阵C, 然后对矩阵C作做初等行变换，得到,第三章33向量组的秩,于是R(C)=R(C1)。,设A=(1,2, ,m)T，则R(A)R(C) =R(C1)rm，由定理3.2.3, 向量组1,2, ,m线性相关。 证毕。,第三章33向量组的秩,推论 如果向量组1,2, ,m中的每一个向量均可由向量组 1, 2, , r线性表出，并且1,2, ,m线性无关，那么mr。,定理 3.3.2 一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。,第三章33向量组的秩,证 设向量组1,2, ,m的两个极大线性无关组分别为,要证s=r。,由于,线性无关，由定理 3

4、.3.2,的推论,rs； 同理可证,sr,于是,s=r。,第三章33向量组的秩,定义.3.3.2 向量组1,2, ,m的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为 R1,2, ,m,全由零向量组成的向量组的秩规定为零。,线性无关的向量组的秩等于向量组中所含向量的个数； 若向量组的秩小于向量组中所含向量的个数，则向量组必然线性相关。,第三章33向量组的秩,例3.3.2 设向量组1,2, ,m的秩为r，试证1,2, ,m中任意r个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组。,第三章33向量组的秩,证 设,任意r个线性无关的向量，只需证明 1，,2, ,m中任意一向量,可由,线性表出

5、即可。,第三章33向量组的秩,事实上，若存在该向量组中某一个向量,(1i0m)使,线性无关,那么R1,2, ,mr+1此,为向量组 1,2, ,m的一,个极大线性无关组。,与题设矛盾。因此,对于任i,(1im),第三章33向量组的秩,对于向量组1,2, ,m ，求它的极大线性无关组的“扩充”法：,首先取向量1,如果10，可保留1； 其次取向量2，如果 1 与2线性无关，删去2，否则保留2； 接着再取向量3，若1,2,3线性相关，删去3若它们线性无关，则保留下来； 接下去取向量4，如此这般一直进行下去，直到把向量组中所有向量考察一遍，即可得到该向量组的一个极大线性无关组.,第三章33向量组的秩,

6、例3.3.3 设向量组1=(0,0,-1,1), 2= (1,1,-1,0), 3=(2,2,-1,-1)4=(-1,-1,0, 0),求它的一个极大线性无关组及该向量组的秩。,第三章33向量组的秩,删去3；最后考察 4,显然1, 2 ,4线性无关，保留4, 。于是1, 2 4就是该向量组的一个极大线性无关组，且向量组的秩等于3。,解 由于10，保留1;又2k1,即1与2线性无关，保留2；因3=22-1,故1,2,3线性相关，,第三章33向量组的秩,3.3.2 向量组的等价,定义3.3.3 设向量组,若向量组()中的每一个向量可由向量组（）线性表出，同时向量组（）中的每一个向量可由向量组()线

7、性表出，亦即它们可以互相线性表出，则称向量组()与向量组（）等价。,第三章33向量组的秩,等价向量组具有如下性质：,（1） 自反性 任何一个向量组都与它自身等价；,（2） 对称性 若向量组()与向量组（）等价，则向量组（）也与向量组()等价；,（3） 传递性 若向量组()与向量组（）等价，向量组（）也与向量组()等价，则向量组（）也与向量组()等价。,第三章33向量组的秩,由向量组等价的定义，定理3.3.1和定理3.3.2，容易得到等价向量组的下列性质：,性质1 向量组都与它的任一极大线性无关组等价；,性质3 任何两个等价的向量组的秩相等。,性质2 任何两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相

8、同；,第三章33向量组的秩,定理3.3.3 若向量组（）：,可由向量组（）：,线性表出,且向量组（）的秩为p ，向量组（）的秩为q，则 pq。,第三章33向量组的秩,证 设向量组（）和（）的极大线性无关组分别为,（）：,（）：,因为向量组（）可由（）线性表出，向量组（）可由（）线性表出,而已知向量组（）可由（）线性表出，故向量组（）可由（）线性表出.由定理3.3.1的推论，pq，证毕。,第三章33向量组的秩,例3.3.4 证明n维向量组1,2, ,n线性无关的充要条件是n维基本单位向量组1, 2, , n,可由1,2, ,n线性表出。,第三章33向量组的秩,证 必要性 设1,2, ,n线性无关

9、。对任一 i (1in)，1,2, ,n,i为n+1个n维向量组成的向量组，必然线性相关，而1,2, ,n线性无关，由定理3.2.2, i可由1,2, ,n线性表出.由i的任意性，1, 2, , n可由1,2, ,n线性表出。,充分性 已知向量组1, 2, , n可由1,2, ,n线性表出，由定理3.3.3, R1, 2, , nR1,2, ,n 。,第三章33向量组的秩,而R1, 2, , n=n，R1,2, ,n n 。于是R1,2, ,n =n。故1,2, ,n线性无关。,第三章33向量组的秩,关于向量组的秩和矩阵的秩的关系，我们有如下定理：,定理3.3.4 矩阵A的秩等于它的行向量组的

10、秩，也等于它的列向量组的秩。,第三章33向量组的秩,证 先证明矩阵A的秩等于其行向量组的秩,设,且,若r=m，则1,2, ,n线性无关，由定理3.2.3的推论1，R(A)=m。,第三章33向量组的秩,若rm，则向量组1,2, ,n的任一极大线性无关组中只含有r个向量，不妨设为1,2, ,r。那么矩阵A的前r行中必有一个r阶子式不等于零。由于向量组,1,2, ,n中任意r+1个向量线性相关，则矩阵A中所有的r+1阶子式都等于零。因此R(A)=r。,注意到,R(A)=R(AT)=矩阵AT的行秩=A的列秩,即知矩阵A的秩等于它的列向量组的秩。证毕,第三章33向量组的秩,例3.3.5 求向量组,的秩及它的一个极大线性无关组.,第三章33向量组的秩,解 以向量1,2, 3,4为列组成矩阵A对其进行初等行变换，则,=,第三章33向量组的秩,所以R1,2, 3,4,=R(A)=R(B)=3。由B容易看出， 1,2, 4为向量组的一个极大线性无关组。,例3.3.6 设A是mk矩阵,B是ks矩阵，则,第三章33向量组的秩,证 设A的列向量组为A1,A2, ,Ak，矩阵B=(