《固体物理·黄昆》第七章(1)(1).ppt

1、1. 经典自由电子论（特鲁德 洛伦兹金属电子论）,假设金属中存在自由电子，与理想气体分子一样，它们服从麦克斯韦 玻尔兹曼统计分布规律。 A）在 平衡条件下:平均速度为零。 B) 有外电场存在时:电子沿电场力方向得到加速度 a,从而产生定向运动，J。同时电子通过碰撞与组成晶格的离子实交换能量，而失去定向运动，从而在一定电场强度下，有一平均漂移速度。 对电子进行统计计算, 得到金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和热容。,金属电子理论的三个发展阶段：,第七章 金属电子论,成功：经典理论成功地说明了欧姆定律，导出热导与电导之间 相互联系的维德曼一夫兰兹定律,困难： 电子热容：实验值为理论值

2、的百分之一。从经典理论来讲，这说明电子根本没有所声称的热运动，矛盾！ 电子自由程：经典理论在电导，热导，温差电等方面也取得了很大的成就，但是长期不能解释电子具有很长的“自由程”问题，实验值（对于金属晶体，几乎无穷大，或几百个原子间距）远大于理论值。,第七章 金属电子论,困难： 金属、半金属、半导体、绝缘体等导电性区别的本质。 不能解释正的霍耳系数。 电子自由程问题。 为什么金属费米面往往不是完美的球面。 等等。,引入量子力学和费米统计，解决热容等问题：金属中的电子应遵从量子的费米统计规律，而根据费米统计，只有在费米面附近的很少一部分电子对比热容有贡献。,2. 量子自由电子论,成功之处： 金属、

3、绝缘体、半导体的区别；促进了半导体产业的发展。 细致的输运过程，电场、磁场中的输运等。 正霍耳系数。 费米面的复杂形状和材料性质的关系。 等等。,在量子力学和费米统计的基础上，系统研究电子在晶体周期势场中的运动。,3. 能带理论,经典统计：Boltzmann统计：,量子统计： FermiDirac统计和BoseEinstein统计,玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），玻色子遵从BoseEinstein统计规律，玻色子不遵从Pauli原理。,费米子：自旋为半整数（n1/2） 的粒子（如：电子、质子、中子 等），费米子遵从FermiDirac统计规律，费米子的填充满足Pauli原理。,

4、量子统计基础知识,一般金属问题只涉及“自由电子”,一、 费米分布函数,电子气体服从泡利不相容原理和费米 狄拉克统计,热平衡下时，能量为E的本征态被电子占据的几率。,费米分布函数,7.1 费米统计和电子热容量,电子的总数,i，对所有的本征态求和,：费米能量或化学势 (可由统计理论推出） 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能,注意：本征态、能态、量子态、微观状态,费米分布函数,(1) T0时，电子的分布函数为,费米分布函数,(2)T 0 K 时，电子的分布函数为,f(E) = 1/2 ,E =EF,考虑k空间的费米面,的费米面内所有状态均被电子占有。,费米能量降低，一部分电子被激发到费米面外附

5、近。,注意费米面的含义在0 K和其它温度的不同： (1) 0 K所对应的 k 空间被电子占据的概率为0和为1的分界面。 (2) 其它温度时，对应于k 空间被电子占据的概率为1/2的等能面， 即：E=EF ,f=1/2.,定义 Fermi 温度：,金属：TF： 104 105 K,物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度下的振动能。,对于金属而言，由于T TF总是成立的，因此，只有费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（T0）的状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，

6、而只是在费米面附近的那一小部分。,费米分布函数的另外一个优势：,从统计的角度来说：引入能态密度N(E)以后更能够容易统计平均电子数目： dN=f(E)N(E)dE,1. 0K时费米能级的确定,与自由电子密度有关。,二、 EF的确定,2. T 0 K时费米能级的确定,引入Q(E)函数来表征能量E以下的量子态总数：,分步积分,特点： (1) 关于 E-EF 的偶函数； (2) 只在 E-EF 附近有显著的值，具有函数的特点。,将Q(E)在 EF 附近作泰勒级数展开保留到二次项：,由于（-f/E）具有类似d函数特征，改变积分下限并不会改变积分值,第一项,第二项 是 的偶函数,引入积分变数,将 按泰勒

7、级数在 附近展开，只保留到第二项,令,将 按泰勒级数展开，只保留,因为,对于近自由电子,温度升高，费米能级下降,根据电子的能量分布得电子总能量：,引入：,表示E以下的量子态被电子填满时的总能量。,应用分部积分,三、 电子热容量,利用和计算费米能类似得方法计算金属中电子总能量。应用费米能的结果,因为,T0K 时电子总能量,热激发电子的数目,每个电子获得的能量,总的激发能,电子热容量,例：近自由电子模型下电子热容量,能态密度函数,从 得到,热容量,的能态密度,近自由电子模型下电子热容量,金属中大多数电子的能量远远低于费米能量，由于受 到泡利原理的限制不能参与热激发。,只有在EF附近约kBT范围内电

8、子参与热激发，对金属的 热容量有贡献。,研究金属热容量的意义,(1) 许多金属的基本性质取决于能量在EF附近的电子，电子的热容量与 成正比。,(2) 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息。,一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多。,低温范围下不能忽略电子的热容量。,在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的，热容量基本是一个常数。,实验值,例： 过渡元素如Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热容量,原因： d壳层电子填充不满，为原子较内层的轨道，d态(5重简并)形成晶体时相互重叠较小产生较窄能带，5个能带发生一定的重叠，使得d能带具有特别大的 能态密度。,即 附近有较大的能态密度。,例： 重费米子系统,1975年发现化合物CeAl3低温下电子