2015-2016学年 2.1《绝对值三角不等式》课件.ppt

1、2.1绝对值三角不等式,|a|=,几何意义:,表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.,|a-b|=,几何意义：,表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度,一、绝对值的几何意义,(1)当ab0时,a+b,a+b,a0,b0,a0,b0,由图可得: |a+b|=|a|+|b|,(2)当ab0时,a+b,a+b,a0,b0,a0,|a+b|a|+|b|,|a+b|a|+|b|,(3)如果ab=0,则a=0或b=0,易得: |a+b|=|a|+|b|,综上所述,可得:,如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ,能得出什么结果?,在不等式|a+b|a|+|b|中,当向量 不共线时,

2、则由向量加法的三角形法则,用向量 分别替换实数a,b,向量 构成三角形,故可得向量形式的不等式:,|a+b|a|+|b|,故该定理的几何意义为:,三角形的两边之和大于第三边.,绝对值三角不等式,定理1的几何意义,定理2: 如果a,b,c是实数,则,|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,分析:由于a-c, a-b与b-c都是实数,且 a-c=(a-b)+(b-c),证明:根据定理1,有:,|a-c|=|(a-b)+(b-c)|,|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,则可使用定理1的结论进行证明.,在数轴上,a,b,c所对应的

3、点分别为A,B,C,(1)当点B在点A,C之时, |a-c|=|a-b|+|b-c|,(2)当点B在点A,C之外时, |a-c|a-b|+|b-c|,定理2的几何意义,典例分析,类型3：含绝对值不等式恒成立问题,类型4：含绝对值不等式的证明,证明:,|2x+3y-2a-3b|,=|(2x-2a)+(3y-3b)|,|2(x-a)|+|3(y- b)|,=2|x-a|+3|y-b|,2+3=5,故 |2x+3y-2a-3b|5,证明：,例4 求证.,证明：在时，显然成立.,当时，左边,例5:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在

4、公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?,分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x) km.,那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|),故实际问题转化为数学问题:,当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.,解:设生活区应该建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x) km,则:,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),我们先来考察它的图像:,S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),60-4x,0x10,20,10x20,4x-60,x20,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|,|(x-10)+(20-x)|=10,当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号.,又解不等式: (x-10)(20-x)0 得:10 x20,故当10 x20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小