第3章 控制系统的数学模型及其转换.ppt

1、第3章:控制系统的数学模型及其转换,在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有： 传递函数模型（系统的外部模型） 状态方程模型（系统的内部模型） 零极点增益模型（传递函数模型的一种） 这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。,按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描

2、述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。 下面来分析各种数学模型的MATLAB表示形式,3.1 系统的类型,对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。 num=b1,b2,bm,bm+1 den=a1,a2,an,an+1 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。,3.2 传递函数描述,一、连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下：,(1)递函数的Maltab模型,num=b1,b2,bm,bm+1 den=a1,a2,an,an+1

3、可用命令tf()建立一个传递函数模型，或将 零极点增益模型或状态空间 模型转变为传递函数模型。,(2)传递函数模型命令tf()调用格式,sys=tf(num,den） sys=tf(mum,den,Ts)用于生成离散传体函数，Ts为采样时间。 sys=tf(M) 用于生成静态增益s传递函数， sys=tf(s) %用于生成拉普拉斯变量s的有理传递函数 tfsys=tf(sys)sys=tf(num,den,Property1,Value1, PropertyN,ValueN) ：用于生成传递函数模型，同时定义传递函数的属性值。传递函数的属性值可用get（sys）命令来查看 例3.1,(3)多输

4、入多输出系统（MIMO）传递函数模型,对多输入多输出系统，分子、分母为元胞类型向量。 元胞数组：元胞数组的基本元素是元胞，元胞可以存放任何类型数据，而且同一个元胞数组的各元胞（cell）中的内容可以不同。元胞数组的定义符是 , 例：A=0 1,3;this is book,2 5。元胞数组元素内容的访问用 ,如：A1,1,结果得到0 1，或者使用单下标，如A2，结果是“this is book”。,例：给定一个多入多出系统： 试生成其仿真模型,解：命令如下： num =1 1;2 1 2; den=1 1,1 2;1,1 2; sys=tf(num,den),注意：元素sys(i,j)表示输入

5、j对输出i的传递函数。,（4）传递函数模型生成方法（二）,利用拉普拉斯变量因子“s”直接生成传递函数模型。,例：已知传递函数模型如下，利用拉普拉斯变量因子“s”直接 生成传递函数模型。,解：命令如下： s=tf(s); %定义拉普拉斯变量s sys=(s+1)/(s*(s2+s+2),零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。,在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K向量组表示。生成零极点增益模型的matlab函数为zpk（）： z=z1,z2,zm p=p1,p2,.,pn K=k,二、零极点

6、增益模型,K为系统增益，zi为零点，pj为极点,（1）零极点增益模型zpk函数调用格式,syszpk(z,p,k) 生成零极点增益模型 syszpk(z,p,k,Ts) sys=zpk(M) 生成静态增益s传统函数 sys=zpk(s) 生成拉普拉斯因子s zsys=zpk(sys) %将传递函数、状态空间模型转换为零极点增益模型,1）,例：建立下述传递函数模型的matlab表示,num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;sys=tf(num,den),借助多项式乘法函数conv来处理： num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6); den=conv(1,

7、0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5); sys=tf(num,den),2）,3）零极点增益模型：,4）零极点增益模型：,z=; p=-1,-2,-3-4j,-3+4j; k=5; sys=zpk(z,p,k),z=-3,0; p=-1,50,-10; k=1; sys=zpk(z,p,k),例题3.5matlab表示 给出零极点增益模型,解：命令如下 z=;-0.5 p=0.3;0.1-j,0.1+j k=1;2 sys=zpk(z,p,k,),状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出来，而现

8、代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。,（三）状态空间模型,在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示，函数为ss()。,(1)状态空间模型函数调用格式(1),Sys=ss(A,B,C,D) % 生成状态空间模型 Sys=ss(A,B,C,D，Ts) % 生成离散的状态空间模型 Sys_ss=ss(sys) % 将其它模型转换为状态空间模型 例3.7状态空间模型 用matlab表示,例： 系统为一个两输入两输出系统,A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14; B=4 6; 2 4;

9、2 2; 1 0; C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);,模型转换的函数包括： num,den=ss2tf(A,B,C,D)： 状态空间模型转换为传递函数模型 z,p,k=ss2zp(A,B,C,D)： 状态空间模型转换为零极点增益模型 A,B,C,D=tf2ss(num,den)： 传递函数模型转换为状态空间模型 z,p,k=tf2zp(num,den)： 传递函数模型转换为零极点增益模型 A,B,C,D=zp2ss(z,p,k) ： 零极点增益模型转换为状态空间模型 num,denzp2tf(z,p,k)： 零极点增益模型转换为传递函数模型,3.3模型的转换,

10、传递函数、状态空间、零极点模型之间转换示意图,用法举例： 1）已知系统状态空间模型为： A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1; num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu) z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。 num,den=ss2tf(A,B,C,D） num = 1.0000 5.0000 2.0000 den = 1 2 1 z,p,k=ss2zp(A,B,C,D) z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1,2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型如下，求其状态空间模型,

11、解： num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6; A,B,C,D=tf2ss(num,den) A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0,3）系统的零极点增益模型如下，试求其传递函数模型及状态空间模型：,解：命令如下： z=-3;p=-1,-2,-5;k=6; num,den=zp2tf(z,p,k) num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -

12、3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向量。,3.4、系统模型的连接,系统模型之间的并联分SISO系统模型的并联和MIMO系统模型的并联,1、并联：parallel,sys=parallel(sys1,sys2)：两个SISO系统模型的并联 sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)：生成两个MIMO系统的并联模型，并联输入端口由向量in1和in2定义，并联的输出端口由向量out1和out2定义。in1和out1对应sys1用于并联的输入、输出端口向量，in2和out

13、2对应sys2用于并联的输入、输出端口向量。,MALTAB提供了求取子系统模型并联的函数parallel（）， 其调用格式如下：,【例】在上图所示的SISO系统并联模型结构中，已知sys1、sys2的传递函数分别为：,s=tf(s); %定义拉普拉斯变量s sys1=(s+1)/(s*(s2+s+2);%定义SISO系统sys1的传递函数模型 sys2=5/(5*s+1); %定义SISO系统的sys2的传递函数模型 disp(并联系统模型为) sys=parallel(sys1,sys2) %生成sys1与sys2的并联模型 执行上述命令后在Command Windows得如下结果： 并联系

14、统模型为 Transfer function: 5 s3 + 10 s2 + 16 s + 1 - 5 s4 + 6 s3 + 11 s2 + 2 s,2、串联：series,子系统之间的串连分SISO系统模型的串连和MIMO系统 模型的串连,函数调用格式： sys=series(sys1,sys2) ：求SISO系统sys1和sys2的串连模型 sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2) :求MIMO系统的串连，其中outputs1为sys1的输出端口数，inputs2为sys2的输入端口数。若MIMO系统有多个连接，在outputs1和inputs2为同维

15、数向量。,2、串联：series,在上图所示的SISO系统并联模型结构中，已知sys1、sys2的传递函数分别为：,G1=tf(1 1,1 1 2); G2=tf(5,2 1) Sys=series(G1,G2),Transfer function: 5 s + 5 - 2 s3 + 3 s2 + 5 s + 2,结果如下：,3、反馈：feedback,系统模型的反馈连接分SISO系统模型反馈连接和MIMO系统模型反馈连接,sys=feedback(sys1,sys2,sign)：生SISO系统sys1与sys2构成的反馈系统传递函数模型，sys2为反馈通道传递函数模型，反馈类型由sign指定

16、，当sign=1为正反馈，当sign=-1为负反馈，此时sign可省略。 sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)：生成MIMO系统的部分反馈模型，feedin指定sys1中连入反馈回路的输入端口向量。Feedout指定sys1中连入反恐回路中的输出端口向量。,feedback（）调用格式,注意：（1）在很多书籍中依然提到用cloop命令来生成闭环系统 模型，在MATLAB7.0以后的版本中，已经废除cloop命令， 其功能完全可以由feedback命令来代替。 （2）有关模型混合连接，建议采用Simulink仿真。,*3.5模型实现(本节课后自习

17、),Matlab提供的状态空间模型实现函数有： sysT=ss2ss(sys,T)相似变换 csys,T=canon(sys,type)状态空间的正则变换 Abar,Bbar,Cbar,T,k=ctrbf(A,B,C)可控阶梯形函数 Abar,Bbar,Cbar,T,k=obsvf(A,B,C)可观阶梯形函数 Csys=canon(sys,type)正则标准型 sysr=minreal（sys）最小实现和零极点相消 参数type可选modal（生成对角标准型） 或者companion （产生伴随矩阵型）。,所谓实现，就是根据描述系统输入输出关系的运动方程式 或传递函数模型建立系统的状态空间表达式，而且所求状 态空间模型保持原有的输入输出关系。,例（1）：若已知系统状态方程为：,若选择已反对角矩阵，使得反对角线上元素均为1，其与元 素为0。求在这一变换矩阵下系统新的状态方程。,解：命令如下： A=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-24 -50 -35 -10; B=0 0 0 1; C=24