水质模型1-3章.ppt

1、水质模型（水处理数学模型）,山东建筑大学 市政与环境工程学院 李 梅,课程内容: 以环境（水环境）系统为研究对象,通过分综合,建立数学模型,以寻求系统的最优或较满意的规划方案. 环境系统规划：运用现代科技的最新技术系统工程和计算机方法来解决环境系统的规划方法。 环境系统特点： 是一个涉及到社会、经济、环境、资源等方面的问题 是一个多变量、多目标、多层次的复杂系统问题 水环境系统数学模型类型： 各类水体的水质模型、生态模型、污水处理和输送过程的模型 各类工程实施的经济模型、效益费用分析模型 水质评价模型、规划模型,课程内容,Chapter 1 系统与系统工程 Chapter 2 系统分析 Cha

2、pter 3 最优化技术 (网络技术) Chapter 4 环境系统数学模型(邢老师讲授) Chapter 5 系统预测 (决策分析 ) Chapter 6 城市污水排海工程 Chapter 7 环境污染控制系统规划,本课程主要参考书籍,1.环境系统工程. 韦鹤平. 同济大学出版社 2.水污染控制系统规划.傅国伟,程声通. 清华大学出版社 3.河流水质数学模型及其模拟计算.傅国伟. 中国环境科学出版社 4.系统工程,汪应洛. 机械工业出版社 5.系统分析.顾培亮 .机械工业出版社 6.中国水环境预测与对策概论. 刘鸿亮,韩国钢. 中国环境科学出版社，1988 7.最优化技术应用. 韦鹤平.同济

3、大学出版社. 8.优化与决策. 徐裕生.陕西科学技术出版社.2004,Chapter 1 系统与系统工程,1.1 系统(System),集合性：2个要素构成集合体 相关性：内在要素的相互作用相互联系 目的性：有规定目的、功能 (不可控自然系统除外) 环境适应性：适应系统外部环境的变化,基本特征 ：,“极其复杂的研究对象，即由相互作用和相互依赖的若干 组成部分组合成具有特定功能的有机整体，它又从属于一个更大系统的组成部分”(钱学森)。,定义：,（1）按组成的属性分为 自然系统：海洋、大气、生态系统等 人造系统：工业、给排水、污染监测控制等 复合系统：利用自然系统为人类服务建造的系统，气象预报等

4、（2）按形态分 实体系统：物体实体，如管道构件、机械 概念系统：由概念、原理、法规等组成，如法律系统、教育系统,分类 ：,（3）按所处的状态分 静态系统：不随时间变化的系统 动态系统：随时间变化的系统 （4）按照规模分 小型系统 中型系统 大型系统,分类 ：,1.2 系统工程(System Engineering) 系统工程是一门新兴的高度综合的科学，是一种组织管理的科学方法。把研究的对象看成一个系统，解决如何对系统进行规划、治理、组织和管理，使之获得最佳效益。 系统工程的产生发展： 40年代正式形成 5060年代逐步形成较为完整的体系 70年代得到广泛应用，进入初步成熟阶段,环境系统工程的产

5、生： 人类社会的发展，环境问题越来越严重，尤其是二战之后生产的工业化程度的提高，八大公害事件的发生。 与污染环境作斗争的三个经历： 净水系统（60年代中期之前） 污水处理系统（60年代末、70年代初） 水环境系统、生态环境系统等（70年代以后） 研究水污染控制系统，使水环境恢复，符合“可持续发展”原则,系统工程的原则： 1. 整体性原则：全面、整体 2. 综合性原则：目标多样性，方法、方案多样性 3. 优化性原则：实现最佳目标体系 4. 模型化原则：模拟与仿真 5. 交互性原则：决策者与系统的信息交换,研究步骤： 1. 明确和提出问题 2. 建立数学模型 3. 求解数学模型 4. 模型验证 5

6、. 结果实施,1.3 模型化 1.3.1 分类,物理模型 图形模型 数学模型 宏观模型 微观模型,按基本分类:,按问题出发点,水质模型 大气模型 生态模型 经济模型 预测模型 决策模型 最优化模型,按对象可分为,按用途可分为,1.3.2 数学模型分类,1.3.3 模型化程序,1.4 系统工程的应用,1.4.1 应用领域 涉及人类活动的各个领域 (p10 表1.1),（一）大环境系统 水域：排污量，污径比（p13 表1.2 ) 大气：排污 生态系统：人类活动涉及的各个方面 （二）城市生态系统：城市建设、生活生产环境与质量提高 （三）污染控制 典型系统：1. 流域系统 (如河流 ) 2. 城镇给排

7、水系统 (取水、处理、排放等) 3. 污水处理系统 (城市污水二级处理) 举例：黄浦江上游水源保护、综合治理。,举例： 城市污水再生回用系统,污水回用系统影响因素 系统构成 子系统划分 二级子系统划分 系统包含的元素分析 系统的特点 系统分析的方法,1.污水再生回用系统影响因素分析,2. 污水再生回用系统构成,（1）再生水供水子系统 （二级子系统）,（2）再生水需水子系统 （二级子系统）,（3）城市供需水子系统 （二级子系统）,城市供需水平衡反馈机制图,城市污水再生回用SD模型子系统相互关系图,3.城市污水再生回用系统特征,污水再生回用系统影响因素众多且相互联系、相互作用，并组成一个有机整体

8、系统具有多层次和相互嵌套性 是一个含有反馈结构的系统 一个随时间变化的动态系统 采用系统动力学（System Dynamics）方法,八大公害事件,比利时马斯河谷烟雾事件：（1930年） 美国洛杉矶烟雾事件： （1943年） 美国多诺拉烟雾事件：（1948年） 英国伦敦烟雾事件：(1952年) 日本熊本水俣病事件：（1953年） 日本四日市哮喘病事件：（1955年） 日本富山痛痛病事件： （ 1955年1977年） 日本爱知米糠油事件：（1966年）,可持续发展概念,可持续发展的英文翻译：sustainable development 可持续发展的来源：最初是从环境保护角度提出来的， 在197

9、2年的斯德哥尔摩人类环境会议上首次提出了“可持续发展”。定义有很多，经济学家、环境学家及生态学家都给过学科性的定义，但是都有一定的局限性。到1987年，在世界环境委员会出版的我们共同的未来(our conmen future)一书中给出了一个明确的大家公认的定义。 可持续发展的定义：既满足当代人的需求又不对后代人满足其需求能力构成危害的发展。 水资源可持续发展的含义：水资源的可持续利用,整体性原则,假设系统的属性度量为a，系统中第i（i=1,2,3m）的属性,数量为ai,全系统的属性数量和该系统中各部分的属性数量 关系: aai系统中各组成部分或子系统协调的融合在一起,使系统的功能增强. a

10、=ai 系统总体功能等于各部分功能总和. aai 发生了不协调现象,产生” 内耗” , 使系统的功能减弱,Chapter 2 系统分析,2.1 概述 2.1.1 系统分析(System Analysis) 基本概念 对一个系统内的基本问题,用系统的观点思维推理,在确定和不确定条件下,通过分析对比,对可能采取的方法进行优化, 得最优方案的辅助决策方法。 2.1.2 环境系统分析,排污决策，实际上就是一个系统优化问题。,2.1.3 系统分析的准则 外、内条件相结合：周围环境、能源、交通等 当前利益与长远利益相结合：处理程度与投资 局部与整体利益相结合：管网与厂址 定量与定性分析相结合：定性定量定性

11、 2.2 系统分析基本要素,2.3 系统分析步骤 1. 确定目的（目的与目标关系） 2. 收集分析资料 3. 系统模型化 4. 系统的最优化 5. 系统的评价 2.4 系统分析的方法 2.4.1 系统最优化,一般形式,2.4.2 层次分析法（AHP-Analytical Hierarchy Process) 定性与定量相结合、简单易行、行之有效的一种系统分析方法，70年代美国的萨蒂提出的。 该法1982年引入，能源、环保也得到应用。 层次分析法步骤： 1. 明确问题 2. 建立层次分析模型 最高层（目标层） 中间层（准则层） 最低层（方案层） 3. 建立判断矩阵，求最大特征根及特征向量 判断矩

12、阵构造： 逐层逐项两两比较，评出优劣，可从最低层始。,（最简单可分为3层） 如Fig2.4层次图,层次图,（第i个准则）,判断矩阵,对准则Ci,亦可采用2，4，6，8等，（专家、分析人员、资料） 对i=1,2,m，由上式可得Ci的判断矩阵，对目标A，也要建立m个准则的判断矩阵，两两比较，得出判断矩阵。,计算判断矩阵的最大特征根及特征向量通常有三种方法：,方根法,正规化（则）求和,求和法,4. 层次单排序及判断矩阵一致性检验 层次单排序： 特征向量W为同一层次相应因素对上一层次某一因素相对重要性的权值，称为层次单排序。,判断矩阵一致性： 判断矩阵B应满足 具唯一非“0”最大特征根max： 随机一

13、致性比率CR : CR 0.10，具完全一致性，否则需要新调整判断矩阵。 其中，CI 为判断矩阵的一致性指标, RI 为同阶平均随机一致性指标，可从表2-1中得到,5. 层次总排序和一致性检验 层次总排序，见表2.2（以图2.4为例）,a1 , a2 , , am C对A的单排序权值; Wij Pi对Cj单排序的权值，,层次总排序一致性检验 P层次对Cj单排序一致性指标CIi,平均随机性指标Rij 则 CR0.10，满足一致性，否则重新调整判断矩阵。 举例2.1（作业）（说明应用方法，注意计算结果有误） 举例: (P41)常州市城市污水排江工程排放口选择系统分析(P50图2-11),2.4.3

14、 环境问题费用效益分析(Cost-Benefit Analysis) 1.基本学理 国外应用较多，58年应用于环境污染； 国内在环境决策方面的应用较晚。 最佳污染点：费用曲线与效益曲线的交点（如图）。 是准优，而非最优,2.费用效益分析在环保中的应用 （后述内容自学）,城市污水处理层次模型,Chapter 3 最优化技术,1.最优化技术,最优化技术: 是从所有可能的方案中选择最佳一种以达到最有目标的科学，它是运筹学的一个分支。 广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防等各个部门各个领域.,2.运筹学的概念,运筹学（Operational Research,缩写为O.R ）:是一门应用于管理有

15、组织系统的科学; 运筹学一词起源于20世纪30年代,1940年英国成立了由物理学家布莱克特(P.M.S.Blackett)组成的第一个研究组,3.运筹学的发展可分为三个阶段,(1)1945到50年代初,称为创建时期. (2)50年代初期到50年代末期,称为成长时期 (3)20世纪60年代,迅速发展和普及时期 在1956年引入我国的，80年代后得到广泛的推广。,4.运筹学基本特征,系统的整体观念 多学科的综合 模型方法的应用,分析和表述问题：定性、定量分析确定目标 建立模型 求解模型和优化方案 对模型和由模型导出的解进行检验 建立起对解的有效控制：任何模型都有适用范围,注意模型和它的解是否有效，

16、并及时调整； 方案的实施,5 运筹学研究问题的步骤,线性规划（linear programming） 非线性规划（nonlinear programming） 动态规划（dynamic programming） 整数规划（integer programming） 网络分析（graph theory and network analysis) 存贮论（inventory theory） 排队论（queuing theory ，waiting line） 对策论（game theory） 决策论（decision theory）,6.运筹学的分支,最优化方法,3.1 线性规划 3.1.1 定义 1

17、. 目标函数为线性 2. 约束条件线性 3. 变量非负,矩阵表示,非标准形式化为标准型式，引入 1. 松驰变量 约束矩阵方程为“”时，不等式左端加上一个非负变量松驰变量，使不等式约束变为等式约束，目标函数cn+I(i=1,2,m)=0 2. 剩余变量 约束方程“”时，不等式左端减去一个非负变量剩余变量，变不等式约束为等式约束，目标函数同上。 3. 自由变量 变量非负问题 目标函数由最大求最小，变量可负,标准形式:,例题: 将下列线性规划化为标准形,解: 令z=z， x1=x1，x3=x3x3，其中x30 ，x30； 该问题的标准形式为 :,3.1.2 线性规划求解方法,1.图解法（二维平面问题

18、） 2. 单纯形法（simplex method) 3.人工变量法（人造基） 4.改进单纯形法 5.对偶线性规划,1.图解法（二维平面问题）,图解法适合于二维、三维的线性规划问题，图解法有助于了解线性规划的基本原理。 先给出可行域，令f(x1,x2)=0在可行域内平移，直接得出最优解 （p56例3-1，图3-2；p56例3-2 ，图3-3 ）,图解法例题1,用图解法求解,以上条件在图形中形成的区域为阴影部分（即OABC区域） 构成了凸多边形（凸集，满足于约束条件的可行域） 虚线表示z=2 x1+3x2 ， 在可行域中寻找目标函数的最优解，先设z=0，然后平行上移，直到最大值，得出在B点（4，2

19、），计算z=2 x1+3x2 =14,约束条件： 3 x1+6 x224代表直线AB左下方的半平面； 2 x1+ x210代表直线BC左下方的半平面； x1，x20 是指第一象限；,用图解法求解,maxz=2x1+x2,目标函数变化,有无限多个最优解,图解法例题2,maxz=2x1+2x2 x1 x21 s. t. x1+ 2x20 x1，x20,无最优解,图解法例题3,2. 单纯形法（simplex method),（1）丹塞(Dantzig) 1947年提出的。 （2）思路 从可行域中寻求出一个初始基本可行解，检验目标函数值是否最优，若不是设法求另一个基本可行解，使这个可行解的目标函数优于

20、前一个基本可行解的目标函数，使目标函数值逐渐增大，直到达到最大值，或判别出无最优解为止。 （由一基本可行解出发，逐步改进目标点数值，直至求到最优解）,（3）步骤 求初始解可行解,列出初始单纯形表; 最优性检验: 检验数 0，表中的基可行解为最优解，计算结束，否则转为下一步; 从一个基可行解转换到相邻的目标函数更大的基可行解，列出新的单纯形表。 确定调入基的变量，检验数 确定调出基的变量，离基变量的最小比值 基变量变换，得到一个新的基 重复2，3步,单纯形法基本概念,（1）确定初始基本可行解：从约束函数中观察到存在m个线性无关的单位向量，令 非基变量xN=（x1。x2xm）T=（0，0， 0）

21、T， 得到基变量xB=（bm+1，b2bn）T，得到xN=（0，0， 0， bm+1，b2bn ） T为基可行解。 （2）最优解检验：检验数 0，表中的基可行解为最优解， 检验数的求法 用检验数做最优解的检验原因：定理2个 最优解判别定理 无有限最优解判别定理 （3）单纯形表：设计单纯形表 （4） 基变换 ： 确定调入变量，一般选检验数j 0中的最大者，即maxj0=k对应的这一列的非基变量xk作为调入变量； 确定调出变量，离基变量的最小比值，遵守规则（最小比值规则） 对应的这一行的基变量xi为调出变量。 （5）主元素：调入变量与调出变量的交叉点处的元素。,原方程可改写为：,写成增广矩阵的形式

22、,利用矩阵的初等行变换，将c1 c2cm消为0，得单纯形表。,单纯形法例题,+0 x3+0 x4,变标准形,1.变标准形,取松弛变量为x3，x4基变量, x1，x2为非基变量, 建立初始单纯形表,最优解检验数1=2, 2=3,3= 4 =0,令非基变量 x1=x2=0,得到初始可行解X=（0，0，24，10）T目标函数值z= 0,写成增广矩阵 3x1+ 6x2+x3+0 x4=24 2 x1+x2+0 x3+x4=10 z+2x1+3x2+0 x3+0 x4=0,2. 因基变量检验数 1 和 2大于0, 取max1, 2=3 ,2=3 对应的非基变量为x2作为换入变量, 3.确定换出变量: 4

23、.1=4对应于变量x3这一行,所以x3为换出变量: x2所在列与x3所在行的交叉点为6,作为主元素,检验数值,-z值,基变量系数,基变量,值,1 =2-（0 3+ 0 2）=2 2 =3-（06+ 01）=3,1=24/6=4 2=10/1=10,增广矩阵 3x1+ 6x2+x3+0 x4=24 2 x1+x2+0 x3+x4=10 z+2x1+3x2+0 x3+0 x4=0,4.以6 为主元素进行变换,把这一列变成单位向量,将x2换到原基变量x3的位置,得到新的单纯形表,令非基变量x1=0，x3=0,得到新的基本可行解X=（0，4，0，6）T， 目标函数值z= 12,此时，最后以行的检验数都

24、是负数或零，即i 0，目标函数已不再增大，那么最优解x=（4，2，0，0）T， 目标函数值z= 14,说明: 例题以maxz =cx, Ax =b, x0为标准型时，以检验数j0(j=1,n),为最优判别准则 若以minz =cx, Ax =b, x0为标准型时以检验数j0(j=1,n),为最优判别准则选择换入变量时，取j=cjzj0 确定换入变量.,5.检查所有的检验数1 =1/2, 3 = -1/2 ,2= 4 =0, max1, 3=1/2 0,取x1为换入变量, 计算得x4为换出变量，通过矩阵变换,得到新的单纯形表,单纯形法求(最大值)步骤框图,3. 人造基,规划中当约束方程中至少有一

25、个为“=”或“”时，松驰变量无法给出一个初始基本可行解，需引入人造基变量。 不是为了满足约束条件有不等式变成等式而加的，而为了能应用单纯形法来迭代并求极值而引进的，有人为引进的意思的。 步骤： 问题化为标准形式 “” “”约束方程左边加一个非负变量 对初始基本解应用人造基变量 按单纯形法进行求解,3.2 整数规划(integer programming）,3.2.1 定义 至少一个变量限定为非负整数整数或混合整数线性规划。 3.2.2 求解方法 1. 圆整法按非整数求解，最优解取整。 问题：圆整解并非直正整数规划最优解。（见p71例题） 2. 割平面法压缩可行解集合，割掉部分可行域。 a、按非

26、整法应用单纯形式求解； b、若最优解为整，则完成，若非整转c； c、引入一个附加约束，割去部分可行域，重复上述a,b。 （见p72例题3-13）,3.3 非线性规划(Nonlinear Programming）,3.3.1 定义 目标函数或约束条件中有一个或多个为非线性函数时的规划问题。 科学研究和工程技术中多数是非线性规划问题。 例如：opti f（x1，x2 xn） s.t. gi（ x1，x2 xn）（=，）0 xj 0 f 和gi至少有一个函数为非线性函数。 类型：无约束最优化法： 有约束最优化法,如果无约束条件，求f（x，y）的最小值，称为无约束最优化问题,举例： 某市有n个工厂排放

27、污水，拟集中于污水处理厂。已知工厂j的污水排放量为Qj，单方水每公里的费用为cj，确定污水处理厂的位置，使总输水投资最小。 解：设污水处理厂位置为（x，y），则 从工厂j到污水处理厂的输水费用为 n工厂的总输水费用,3.3.2 无约束最优化方法,1. 含义 无约束NP问题为minf（X）， XEn也就是求n元目标函数f（x）在n维空间En上的的最小值。 2.方法 （1）解析法：在构造算法时，利用目标函数的一阶导数（梯度）或二阶导数 （海森矩阵） （2）直接法：只比较目标函数的大小，构造下降迭代算法 3.存在最优解充要条件,1. 最速下降法（梯度法、登山法）,（f(x)在x(h)处一阶逼近） 若

28、目标函数写成操作变量的函数 P=F(x1，x2，xm )，那么 P 与 xh 构成 m+1 维空间。若以图形表示函数，就为曲面，曲面的最高点（或最低点）即极值点 所谓“登山”即从曲面上任意点（初始解）出发向峰点逼近的过程。 设 minF（X） XRn 函数在点处的梯度为： 沿着法线方向上升最快（等高线），反之，沿负梯度的方向，即为下降最快的方向 S（k）= f（X（k） （负梯度的方向）,Dm,起点、终点 Dm 必须满足（3.31）式，或由该式协调，然而， 都是未知的，需要有一种方法解决这一问题。,（2）快速登山法,或,（1）搜索矢量与步长 搜索矢量：表示从出发点前进的矢量，步长则表示求前进步

29、幅大小。 若以矢量表示出发点、到达点，则与搜索矢量的关系可表示为,（3.31）,登山方向矢量,使符合由出发点以最大梯度前进 符号“”，求极大用“”，求极小用“”。,步长k的求法：确定为一个常数，试算，但需要检验 公式计算： Xm先给定一个初始点 X（0）,并且 xh 在方向移动距离为, 为任意常数，相当于步长,最速下降法步骤： a. 选取初值X（0）及精度 ； b. 令k=0； c. 计算f（X（k），并令 Dm= f（X（k）； d. 如果 f（X（k）2，最优解迭代终止，X*即为所求，否则进行下一步； e. 用公式求步长k f. 计算 ，k=k+1，转向c,几点说明： 步长很重要，P 曲面

30、复杂时要选小些，曲面简单时可大些； 当存在两个以上极值时，一旦到达其一就不能前进，为此应选择几个出发点； 到达是极值点还是鞍点，落入鞍点就无法解脱； 变步长方法： 一次成功，下次取3倍步长； 一次失败，下次取1/2步长。,为什么搜索失败？ 如从1点出发，因步长太大，超越极值点 步长小些为好，视 P 增加情况而定。 01 ，步长太大, 改向，说明步长不当 如极值为极大, 改向， 即表示有问题 01，P 增长不多,要判别平坦或越过。,梯度法例题,用梯度法求：f(X)=(x1-1)2+(x2-1)2的极小值， 取初值：X（0）=（0，0）T，=0.1 解 ： (1)求目标函数的一阶偏导数 f(X)=

31、2(x1-1) ，2(x2-1)T 那么 f(X（0）)=（-2，-2）T (2)检验 (3)继续迭代，求步长k 先求海森矩阵,所以X（1）为极小点,因为,步长k,则,f(X)=2(x1-1) ，2(x2-1)T,2. 二阶梯度法（ x(h)处的二阶逼近）,如果将最速下降法的搜索方向可看作对目标函数的一种线性逼近或一阶逼近，那么，二阶梯度法则可认为是F(X)在X(k)点处的二阶逼近。 将F(X)在其某个近似极小点X(k)处进行二阶Talor 级数展开，有,二阶梯度法迭代程序,.3 有约束非线性规划 1. 线性逼近法 非线性目标函数、线性约束：将目标函数在可行域的任一顶点X(0)处展开变为线性函

32、数求解线性规划问题。 设目标函数是非线性的，约束条件为线性的，其数学模型为,（3.39）,式中,约束条件构成的可行域,是凸多面体。若F(X)为二次函数，这就是所谓二次规划。 由线性规划的理论可知，其可行点的集合为一凸多面体，它有有限个顶点。现取R的任一顶点 ，将目标函数F(X)在X(0)处展开：,这样，就将F(X)近似表达成X的线性函数L(X)，求以下线性规划问题,（3.40）,上述线性规划的最优解等价于求下述线性规划的最优解。,由此，非线性最优化问题在X(0)初始点就变成线性规划问题，若其最优解为Y(0)，则Y(0)一定在约束凸集的顶点。 线性逼近法迭代步骤为：,（3.40a）,a. 令k=

33、0；给定原问题式（3.39）可行域某一个可行点X(0)和允许误差； b. 求线性规划 的最优解。,c. 检验是否满足收敛准则,如满足，则X*= X(k) ，迭代终止；否则，执行d； d. 求一维极值问题,e.,令 k=k +1，转向b。,2. 罚函数法 建立一新的函数，将有约束非线性规划转化为无约束问题求解。,由最优解 计算：,构成,对不满足约束时函数 值越大（求极小）（其中Mk为任意大的正数“罚因子”）则偏离最优（小）值越远，以示惩罚；当满足约束时，其值为“0”，无惩罚。 对于引入函数 ，当X不在可行域时，取正值构成罚函数，因而也称为外点罚函数法。,外点法 对引进函数 ，当X不在可行解集合时

34、，取正值以构成罚函数。,内点法 罚函数为 式中 为内点罚函数。,若 rk0时，极小值点为最优解。 例3-18 说明，内、外点罚函数法应用。,3.4 动态规划（Dynamic Programming）,有些问题是时间而变化（或随空间位置的变化）的活动过程，这样一个系统的最优决策含有多阶段决策。称为动态规划(简称DP）。 3.4.1 基本概念 1. 阶段：若干互相联系阶段。 2. 状态与状态变量：xk 出发位置：本段起点，前段终点，一阶段含多个状态。 描述状态的变量：可为一个数、数组、向量等。 3. 决策与决策变量：uk(xk) 某阶段状态给定后，从该状态演变到下阶段某状态的选择。 描述决策的变量

35、称为决策变量。 4. 策略：ui(xi) 决策函数的集合 5. 指标函数和最优指标函数：Vk,n 最优fk(xk） 随空间位置的变化的举例：水质规划、投资分配,3.4.2 动态规划方法的应用 河流水污染控制系统规划 资源分配问题 1. 河流水污染控制系统规划 河流系统分析：以河流水污染控制系统规划说明应用（逆序法求解） 一条河流可分为多个河段串联系统，如下图。 前一级的输出即为后一级输入。,为第i级的m维决策向量（如：Q，等）,n,为第i级的n维状态向量（如：BOD，COD， TOC，DO，SS等）,第i级的状态方程 n维状态向量函数 求满足每一级状态方程约束条件下，使目标最优的决策序列： 以费用为目标， 则规划问题写为：,以Streeter-Phelps水质模型为例，状态变量：BOD5 ，DO，决策变量为各河段污水处理程度：目标为总费用，即在各沿程i为何值时（满足各段水质约束条件下），总费用为最小？ 逆序法从最后一级开始（下图）,此时：状态变量xi为：Li，Oi 决策变量ui为：