（吴享平）从一题错解到一题多解.doc

1、数学通讯2012年第期（上半月）。辅教导学。 从一题错解到一题多解 谈解题思维的“展 联 变 迁 移”吴享平福建省厦门第一中学 xyx=-1y=tO2图1-3ab在一次高三月考中有如下一道考题，题目：已知函数f（x），若ab-1,且f(a)=f(b),求ab+a+b的取值范围。一、错解探因我们在评卷中发现，有部同学解法如下：错解：如图1，由f(a)=f(b),且ab-1得：且整理得，由式两边同加上2ab得，+（a+b）-1,记u=ab+a+b，将式代入得 又由可得，于是，令y=a+b,则y u，关于y的抛物线开口朝上，对称轴为y=-2,所以u在区间上递减，代入端点值可得，即的取值范围为（2，1

2、）. 以上解法，初步看起来几乎无懈可击，实质上是错误的，原因何在呢？事实上，只要我们认真分析不难发现，以上解法错误的根源在“又 ”这一步，因为，该题的两个变量a，b不是“自由变量”，而是“相互控制，互相牵扯”的两个变量,如b=2时，a的值由完全确定（即a=）,而a无法在区间上自由取值，同样，当a取定一个值时，b的值也被完全确定，所以，以上解法所得的范围比正确范围更大，结果是错的。2、 扣住错因，“展”开探究，获得正确解法由以上解法过程可知，只要能回避a,b两变量的这一相互控制关系而求得a+b的正确范围，就可获得正确结果，受此启发，展开探究，我们可以得出如下一种正确解法解1.令f(a)=f(b)

3、t, （由图1得，），即，又由此可解得：，由，令y=a+b,则y u，关于y的抛物线开口朝上，对称轴为y=2,所以u在区间上递减，代入端点值可得，即的取值范围为（1，1）.解法1.把f(a)=f(b)令成t，巧妙地将变量a,b的变化统一为t的变化，回避了变量a与b之间的“相互控制，互相牵扯”，从而获得正确结果。以上解法把思维锁定在先求a+b的范围，再求ab+a+b的范围上，固而，解法过程显得呆滞和古板。若能进一步打开思维，展开联想，我们不难得到如下一系列解法。3、 “联”想图形，借形引路，获得快速解法 我们认真观察图形（如图1）知，f(a)=f(b)=t,当t从0变大到2的过程中，b与a的距离

4、(即b-a)就会从0逐渐变大到2（即1（3），于是，可以很直观地得到，受此启发，不难想到：若能将ab+a+b用b-a来表示，那么问题便可迅速获解。 解法2:由图1可得，又由式得 ， 所以很快便知。4、 “变”通思维，整体出发，获得巧妙解法 如果能变通思维，通过等式把a,b中的一个用另外一个来表示，再代入u=ab+a+b,从而转化为一元变量的函数，这样也就避免了两个变元的牵扯，转化为求一元变量的函数值域问题了，由此联想，可得如下解法 解3：由得：，又由得： 即的取值范围为（1，1）. 我们经常会发现许多双变元问题，均可考虑利用条件等式转化为单变元问题，注意到变量的取值范围，便可巧妙地将问题得以解

5、决，这种思想方法是解决多变元问题的常规思想方法，受“双元化单元”思想的指引，联想到上面解1的代换策略，很快可将双变元a,b统一用单变元t来表示，于是不难得到如下解法 解4:由得：，令f(a)=f(b)=t,则0t2，即t,可得： 又 由0t2 得1u1,即的取值范围为（1，1）.5、 “迁”动思维，灵活联想，获得多种解法 如果我们把由题设得到的式子，进行移项配方便可得到 （）.TAOabb=-1a=-1图2 由式“迁”动思维，联想到解析几何中的圆方程，于是可得如下（数形结合）解法 解5：如图2，点（其中）的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的（不含端点），即逆弧AT(T为切点），设y=a+b,则b=

6、-a+y表示与直线b=-a平行的直线系，由线性规划得，以下同解1，略。 由式“迁”动思维，联想到同角三角函数的基本关系式“”，于是可得如下（三角代换）解法 解6：由式可设，又 于是可让，由，所以ab+a+b的取值范围是（1，1）. 由式“迁”动思维，联想到基本不等式“和为定值，可求积的最大值.”，于是可得如下（不等式）解法 解7：（又），即的取值范围为（1，1）.六、解后反思，巧“移”问题，变式训练，获得通法 平时解题时，我们要养成解决问题后进行反思的好习惯， 这样有利于锻炼思维品质，激发思维的灵活性与广阔性，从而达到提升解题能力的目的。 解2我们是根据图形观察而得到的，当t从0变到2时，b与

7、a的距离(即b-a)就会从0逐渐变大到2（即1（3），于是又惊喜地发现从而得出巧解。然而，我们应该反思到，由于根据图形得出结论 ，有其直观性与快捷性的一面，给人以简捷巧妙之感，但缺乏深层性与严密性，也有一种偶然碰巧之感。若能把从图中得出的范围深加探究，并抓住图形展示给我们的这一现象，去寻求它的代数依据，追根溯源，弄清实质。我们不难得到如下更加严密的论证，并且为破解这类问题开辟出又一条崭新的大道。 我们已经在解2中得到：，做到这里，有人肯定会反应，这里已经可以用代数方法得到论证了，即，当t从0变到2时，在（0，2）上递增，然而，这种说法还是停留在解释说明的层面上（与从图形中发现这一现象没什么两样

8、），而不是严密的论证。要严密的论证它除了单调性定义外，我们还有一种很好的工具可用，那就是导数，想到求导，这就为我们解决该类问题开辟了一条广阔的道路。 事实上，记在于是问题得以解决。 受此启发，我们不难得到从而求出a+b的取值范围，便可得如下又一解法 解8，在（0，2）上递减,将区间端点代入很快可得：。又由a+b=，于是可得a+b的取值范围为，以下同解1，略。 不仅如此，我们可以“趁热打铁”，抓住题目结论，提出“在题设条件下，能否求得关于变量a,b的一切线性式的取值范围呢？”这样的疑问，巧“移”问题，展开变式训练，进行思维拓展。如： 变式题：已知函数f（x），若ab-1,且f(a)=f(b),求3a+2b的取值范围。 分析 接上面知：u3a+2b=，记 类似地，我们可以将该题的结论推广到：求“关于a,b的所有线性式”的取值范围，即在题设条件下，形如ma