GB 4086.1-1983 统计分布数值表 正态分布

中华人民共和国国家标准

UDC$11.13(083.5)

统计分布数值表

正态分布

Tablesforstatisticaldistributions

Normaldistribution

GB4086.1一83

本标准包括统计学中常用的正态分布的三种数值表，它们的名称、表距和精度如F

正态分布密度函数表。=。(0.01)4.996位小数

正态分布函数表u=0(0.01)4.996位小数

正态分布分位数表P二0.5(0.001)0.9996位小数

本标准所指的正态分布是标准正态分布。表中的分位数对应于下侧概率。

虽然表中给出6位小数，但是在使用中需要取几位，要由实际问题决定。

在应用中不能满足要求时，可参考附录的处理方法。

国家标准局1983一12一21发布1984-10一01实施

GB4086.1一83

1正态分布密度函数表

。八

功(“)

一又叮下

0.000.010.020.030.040.050060.070080.09

0.398942

0.396953

0.391043

0.381388

0.368270

0.398922

0.396536

0.390242

0.380226

0.366782

0.398862

0.396080

0.389404

0.379031

0.365263

0.398763

0.3宁55a5

0.388529

0.377801

0.363714

0.398623

0.395052

0.387617

0.376537

0.362135

0.398444

0.394479

0.386668

0.375240

0.360527

0.39a225

0.393868

0.385683

0.373911

0.358890

0.397966

0.393219

0.384663

0.372548

0.357225

397668

92马i1

0.00.10.2帕0.4

0.352065

0.333225

0.312254

0.289692

0.266085

0.350292

0.331215

0.310060

0.287369

0.263688

0.344818

0.325062

0.303389

0.280344

0.256471

0.342944

0.322972

0.301137

0.277985

0.254059

0.341046

0.320864

0.298872

0.275618

0.251644

0.339124

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0.296595

0.273244

0.249228

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0.205936

0.182649

0.160383

0.139431

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203571

180371

.158225

137417

:06121

0.337180

0.316593

0.294305

0.270864

0.246809

0.222653

0193865

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0.153948

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0.129518

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0.120009

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0.057304

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0.0439840.0430670.0421660.0412800.0404080.0395500.0387070.0378780,15}e乙-

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003695002707

001964001411001003

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0.001901

0.001364

0.000969

0.014305

0.010997

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0.006301

0.004705

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衍钊4.7娜招

本表对于“给出正态分布密度函数}5(u)的数值。

例:对于u=3.08,诱(u)=0.003475.

GB4086.1一83

2正态分布函数表

。。)丁“

中

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人表对丁。给出}态分布函数中‘川的数伙

例:又寸lu二133，小〔训二。.洲82封。

GB4086.1一83

3正态分布分位数表

一(万lJua.V2ne

^du二p

、、~

0.0000.0020.0030.0040.0050.006

0.0070.0080.009

0.000000

0.025069

0.050154

0.075270

0.100434

0.005013

0.030084

0.055174

0.080298

0.105474

0.007520

0.032592

0.057684

0.082813

0.107995

0.012533

0.037608

0.062707

0.087845

0.113039

0.015040

0.040117

0.065219

0.090361

0.115562

.017547

042626

:{;{;

.118085

0.020054

0.045135

0.070243

0.095396

0.120610

0.022562

0.047644

0.072756

0.097915

0.12引35

100273510060195砂翻

00侧M0001

巡002507协闷077784吟

以0.氏0.氏

050051域脚洲

加肠80弱汉

741必肠590

氏已氏氏氏

0.125661

0.150969

0.176374

0.201893

0.227545

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204452230118

0.130716

0门56042

0.181468

0.207013

0.232693

0.1357740.1383040.140835

0.1611190.1636580.166199

0.1865670.1891180.191671

0.2121370.2147020.217267

0.2378470.2404260.243007

43367

219245

份0.1585800.184017︸0.235269

氏0.氏0.氏

叭弘夕哭叨

已0.认0.以

0.253347

0.279319

0.305481

0.331853

0.358459

0.255936

0.281926

0.308108

0.334503

0.361133

0.258527

0.284536

0.310738

0.337155

0.363810

0.261120

0.287147

0引3369

0.339809

0.366489

0.2637

0.2897

0.3160

0.3424

0.3691

0.268909

0.294992

0.321278

0.347787

0.374543

0.271508

0.297611

0.323918

0.350451

0.377234

0.274110

0.300232

0.326561

0.353118

0.379926

0.148434

0.173829

0.199336

0.224973

0.250760

0.276714

0.302855

0.329206

0.355787

0.382622

八UCU门八曰分门

咨勺︵日，乃‘01

lzon了Olr

060061喊脓洲

0.385320

0.412463

0.439913

0.467699

0.495850

0.388022

0.415194

0.442676

0.470497

0.498687

0.390726

0.417928

0.445443

0.473299

0.501527

0.393433

0.420665

0.448212

0.476104

0.504372

0.401571

0.428895

0.456542

0.484544

0.512930

0.404289

0.431644

0.459326

0.487365

0.515792

0.401011

0.4石439了

0.462113

0.490189

0.518657

0.409735

0.437154

0.464904

0.493018

0.521527

眯蹦姗068娜

祝呢外

0.524401

0.553385

0.582842

0.612813

0643345

0.527279

0.556308

0.585815

0.615840

0.646431

0.530161

0.559237

0.588793

0.618873

0.649524

0.533049

0.562170

0.591777

0.621912

0.652622

0.683961

0.715986

0.748763

0.782365

0.816875

0.396142

0.423405

0.450985

0.478914

0.507221

0.535940

0.565108

0.594766

0.624956

0.655727

0.687131

0.719229

0.752085

0.785774

0.820379

0.855996

0.892733

0.930717

0.970093

1.011034

1.053744

1.098468

1.145505

1.195223

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1.365806

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.371856

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481727

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.538836

568051

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628006

.658838

.541737

0999

0.544乙42

0.573952

0.603765

0.634124

0.665079

0.547551

0.576910

0.606775

0.637192

0.668209

0.550466

0.579873

0.609791

0.640266

0.乙了1346

0.700.710720.73074

0.674490

0.706303

0.738847

0.772193

0.806421

0.677640

0.709523

0.742144

0.775575

0.809896

0.690309

0.722479

0.755415

0.789192

0.823894

0.693493

0.725737

0.758754

0.792619

0.827418

0.696685

0.729003

0.762101

0.796055

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0.69988'4

0.732276

0.765456

0.799501

0.834499

0.703089

0.735558

0.768820

0.802956

0.838055

0750.76077078079

0.841621

0.877896

0.915365

0.954165

0.994458

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1.080引9

1.126391

1.174987

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1.554774

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0.919183

0.958124

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1.040732

1.084823

1.131131

1.180001

1.231864

1.287271

1.346939

1.411830

1.483280

1.563224

.848787

885290

.923014

.962099

.002712

0.852386

0.889006

0.926859

0.966088

1.006864

0.859617

0.896473

0.934589

0.974114

1.015222

0.863250

0.900226

0.938476

0.978150

1.019428

0.866894

0.903991

094之3了6

0.982203

1.023651

0.870550

0.907770

0.946291

0.986271

1.027893

0.874217

0.911561

0.950221

0.990356

1‘03夕飞54

加:81那

045050

.089349

.135896

.185044

.237235

1.049387

1.093897

1.140687

1.190118

1.242641

1.058122

1.103063

1.150349

1.200359

1.253565

1.062519

1.107680

1.155221

1.205527

1.259084

1.066938

1.112321

1.160120

1.210727

1.264641

1.071377

1.116987

1.165047

1.215960

1.270238

10了583了

1.121677

1.170002

1.221227

1.275874

产q仁少︷，‘.自︹户︺

n八口U人乙﹄朽八0卜凡目

氏乐氏色以

1.293032

1.35引74

1.418654

1.490853

1.571787

1.298837

1.359463

1.425544

1.498513

1.580467

1.引0579i.引65191.3225051.3285391.334622

1.3722041.3786591.3851721.3917441.398377

1.4395引1.4466321.4538061.461056{468384

1.5141021.5220361.5300681.5381991.546433

1.5981931.6072481.6164361.6257631.635234

:90阴.93

94外贴卯蛇弧

1.654628

1.762410

1.895698

2.074855

2.365618

1.664563

1.774382

1.911036

2.096927

2.408916

16了4665

}.786613

1.926837

2.120072

2.457263

1.684941

1.799118

1.943134

2.144411

2.512144

1.695398

1.811911

1.959964

2.170090

2.575829

1.706043

1.825007

1.977368

2.191286

2.652070

1.716886

18弓8424

1.995393

222乙212

2.747781

1了2了934

1.852180

2.014091

2卜2571'^

2.878162

1.739198

1.861-6

2.03弓520

之之宁0弓68

3.ub.._,,c

0.氏认认以

本表对于下侧概率P?,,出I[分布的分位数“，

例:对f户0.95,I!P

,1ln自.翎、t，“，一“

.f448,1

。。例:“〕·-一“.281,552

与双侧概率“相应的分位数为v。。例:对

a二0.0s,“

‘4,s964

GB4086.1一83

附录A

计算方法

(参老件)

及}咐

A.1

这里给出本标准三种数值表的计算方法。在木标准所列数表不能满足要求时，可参一Y这些算法

录R的程序进行计算，或者使用插值方法作粗略计算。

定义与记号

木标准所指的iL态分布是标准正态分布，其密度函数是

功(。)二1。一欲

V2兀

叨(一u<,-

分布函数是

$(u，二丁“

与一「侧概率n对应的分位数up满足如下方程:

Fl-v2z

或

功(“)duo

e一=d“二b,

必(up)

A.2计算方法

A.2.1正态分布密度函数的计算

A.接按定义计算。

A.2.2正态分布函数的计算

用连分式逼近:

0(u)二{

当0气u气3时有

户二0.

1一G(“)，

G{lul)，

当“>0,

当“戈Do

G‘“，二合

劝(u)u

5u2

，一不

3时有

G(u)

功(。}

1

2一

3

一

5u+"

式的精度取决于实际计算时连分式的项数。

23正态分布分位数的计算

斌A

当

GB4086.1一83

使用A.3的迭代方法计算，初始值由下式给出:

up=sign。一合)、/y(2.0611786

5.7262204

y+11.640595

)，

y二一ln(4P(1一PC

上式的相对误差小于4.9X10一“。

A.3分位数的迭代计算

首先，寻找一个分位数的近似公式，并据此算出与下侧概率P对应的分位数x。作为初始值。

其次，根据分位数所满足的方程，使用基于二阶台劳(Tavlor)展)I,的迭代求根法算出精度较

高的分位数x。过程如下:

为方便，把分位数所满足的方程记为

F(x〕二0,

井记

x二xo+40

在x。附近对F(x)作一阶台劳展开

0=F(x)=F(xo+刀)

NF(xo)+尸(xo)4+尸“(x,)

解之得

422。

4二

一F'(x,)1V(F'(x,))'一2F(xo)F"(xo)

F"(x,)

或等价地有

4二

2F(xo)

一F'(xo)+\l(F'(xo))“一2F(xo)F"(xo)。

由问题的意义，4只应取实根。因此当根号内取负值时，改令

或等价地

4=

刀二

尸’(x)

F"(xo)

一2F(xo)

F'(x,)

此外，根号的正负号选择应保证{4{较小。亦即当尸(x)>0时，J式中分子的根号取正(或分毋

根号取负);当F'(x)`0时，J式中分子的根号取负(或分母根号取正)。

求出J后，用x。十刀代替原来的x0,重复上述过程，直至{刀}小于允许误差。

GB4086.1一83

录B

程序

(参考件)

B.1说明

这里给出用于木标准实际计算的两个FORTRAN语言子程序。它们是

NORFD

NORXD

用于计算正态分布的分布函数，

用于计算正态分布的分位数。

程序使用的计算方法见附录Ao

虽然本标准印出的数表只取6位小数，但程序的计算精度通常可达切’。。

B.2程序

C

C~二二二二二二二二二‘=升二二二二二二二二二二二二二二=二二二二‘二二毕二二二二二二二二介二二二介介二二二监二二二二二二二

C

SUBROUTINENORFO(U.P)

DOUBLEPRECISIONU,P

**PURPOSE**

DISTRIBUTIONFUNCTIONOFNORMALDISTRIBUTION

**ARGUMENTS

ONENTRY

U

ONRETURN

P

NORMALDEVIATE

LOWERPROBABILITY

**REOUIR印ROUTINES**

NONE

**ALGORITHM**

FORNEGATIVEU

P(U)，PP(ABS(U))

FORNON-NEGATIVEU

P(U)，1一PP(U),

FORU.GT.3

PP(U)二EXP(-U**2/2)/SORT(2*PAI)*(1/U+门/U.".2/U+.⋯

.".K/U+.)，(1)

FORU.GE.OANDU.LE.3

PP(U)=0.5一EXP(-U**2/2)/SORT(2*PAI)*(U/1一。U**2/3.-.

2*U**2/5一3*U**2/7.+二)，(2)

WHERE.".AND。一DENOTECONTINUEDFRACTION.

六LL﹄

C--一

INTEGERK

DOUBLEPRECISIONY.Y2.Z.FJ.S,B

DATAK/28/.S/一1.000/.8/3.000/

丫二0ABS(0)

Y2二Y+Y

Z，DEXP(-0.5DO*Y2)x0.398942280401432678口0

P=0.000

FJ=K

IF(Y.LE,B)GO7020

NORF0001

NORF0002

NORF0003

NORF0004

NORF0005

NORF0006

NORF0007

NORF0008

NORF0009

NORF0010

NORF0011

NORFOO12

NORFOO13

NORFOO14

NORF0015

NORF0016

NORFOO17

NORFOO18

NORFOO19

NORFOOZO

NORFOO21

NORFOO22

MORFOO23

NORFOO24

NORFOO25

NORFOO26

NOFF0027

NORFOO28

NORFOO29

NORFOO30

NORFOO31

NORFO032

NORF0033

NORFOO34

NORFOO35

NORF0036

NORFOO37

NORFOO38

NORF0039

NORFOO40

NORFOO41

NORF0042

GB4086.1一83

FORMULA(1)ISEMPLO丫E口FO尺LARGEU

NORF0043

NORF0044

NORF0045

NORF0046

NORF0047

NORFOO48

N(1RF004?

NORF0050

NORFOO51

NORFOO52

NORFOO5.3

NORFO054

NORFOO55

NORFOO56

N口RI005了

N口RF005吕

NORFOO59

NOFF0060

NORF0061

NORF0062

NOR10063

NORP0064

N(1RF0065

NORFO066

C既C

DO10I二1.K

P=F,/(Y+P)

FJ二FJ一1.ODO

10CONTINUE

P=Z/(Y+P)

GOTO40

20CONTINUE

FORMULA(2)ISEMPLOY印FORSMALLU

DO30I=1.K

P二FJ*YZ/(2.OD0*FJ+1.000+S*P

5二一5

FJ=FJ一1.ODD

30CONTINUE

P=0.500-Z*Y/(1.0口0一尸)

40CONTINUE

IF(U.GT.O.ODO)P=1.ODO一P

RETURN

ENO

GB4086.1一83

C

C二二=二升二二牛二井二==二=二二二于二二二二二~二二二二二升二二二二二介二二=

C

SUBROUTINENORXD(P.EPS.U,IER)

INTEGERIER

DOURLFPRFCISIOHP,FPS.U

,*PURPOSE**

PERCENTAGEPOINTOFNORMALDISTRIBUTION

**ARGUMENTS

ONENTRY

P

EPS

ONRETURN

U

IFR

LOWERPROBABILITY

REQUIR印PRECISION

PERCENTAGEPOINT

ERRORPARAMETER

IFR.NE.0INDICATESP.LF.0ORP.GE

**REQUIREDROUTINES**

NORFODISTRIBUTIONFUNCTIONOFNORMALDISTRIBUTION

**ALGORITHM**

FORP=0.5