03_幂级数展开.ppt

1、思考：,3.1 复级数,第三章 复变函数级数,复数列的极限,复数列 另有 如果任意0，存在正数N()使得|n-|N时成立， 那么称为复数列n当n时的极限，记作 此时也称复数列n收敛于.,例： n = (1+ni)/(1-ni), 收敛,n = n cos in=nchn，发散,例： n = (-1)n + i/(n+1),例： n = e-n i/2,1. 复数项级数,复数列 ，其中 ，则 称为复数项无穷级数.,对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充要条件.,前n项和 称为级数的部分和. 若部分和复数列 存在有限极限，则称无穷级数 收敛，而这极限值称为该级数的和, 即 记作 若部分和复数

2、列 无有限的极限，则 级数发散 。,定理4.1.1 柯西收敛准则 对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充分必要条件. 级数(4.1.1)收敛的充分必要条件是对于任意给定的,存在自然数N使得 当,时，,(4.1.4) 其中,为任意正整数.,定理4.1.1 柯西收敛准则 对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充分必要条件. 级数(4.1.1)收敛的充分必要条件是对于任意给定的,存在自然数N使得 当,时，,(4.1.4) 其中,为任意正整数.,柯西收敛准则 级数 收敛的充要条件： 对于任意给定的0，存在自然数N使得，当nN时， ，其中p为任意正整数. （？如果p=1？）,定理 如 收敛，那

3、么 也收敛，且不等式 成立。相应地，称原级数 绝对收敛; 否则称为条件收敛。,例：,若已知两绝对收敛级数 则两级数的柯西乘积绝对收敛,是定义在区域D上的复变函数序列， 则称表达式 为复变函数项级数（简称复函数项级数）.,如果对于D内某点z0，数项级数 收敛，则称该点为 的一个收敛点，若级数在区域D内的每一点都收 敛，则称该级数在区域D内收敛; 收敛点的集合称为 的收敛域. 若级数 发散，则称点z0为级数的发散点，发散点 的集合称为 的发散域.,2. 复变函数项级数,如果级数 在D内处处收敛，则其和一定是z的函数， 记为S(z)，称为 在D内的和函数.,复数项级数 收敛的充要条件是区域D内的各

4、点z对于任意给定的0，存在N(z)存在，使得对任意正整 数p，当nN(z)时，,如果对于任意给定的0，存在一个与z无关的自然数N， 使得对于区域D内(或曲线L上)的一切z均有，当nN(z)时， (p为任意正整数) 则称级数 在D内 (或曲线L上)一致收敛.,如果对于某个区域B(或曲线l)上所有点z，复变项级数 各项的模 而正的常数项级数 收敛，则复变项级数在B(或曲线l)上绝对且一致收敛。,3.2 幂级数,阿贝尔(Abel)定理 如果级数 在点 收敛, 那么对满足|z|z0|的z，级数必发散.,例：若幂级数 在z0=0处收敛，问在z=3处的敛散性?,？收敛半径 ？,例：,讨论：在收敛圆上，|z

5、|=1,讨论：在z=0， z=2,在z=0点:,在z=2点:,收敛,课堂练习：page51例,例：求幂级数1+t+t2+tk+的收敛圆，t为复变数.,例：求幂级数1-z2+z4-z6+的收敛圆，z为复变数.,例：,幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛。,设幂级数 的收敛半径为R，那么 (i)它的和函数，即 是收敛圆内的解析函数. (ii)幂级数在其收敛圆内可逐项求导或逐项积分，且逐项求导或逐项积分后的新级数与原级数具有相同的收敛半径.,设f(z)在区域D内解析，在区域D内以z0为圆心作圆。,3.3 泰勒级数,泰勒(Taylor)展开定理 设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点，f

6、(z)可展为泰勒级数 其中 , CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆。 注： 1) f(z)在z0解析， f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域半径R=？ 2) 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，且唯一 3) f(z)在z0解析 f(z)在z0的邻域内可以展开成幂级数,间接法：,3.5 洛朗级数展开,级数在环域R2|z-z|R1内绝对且一致收敛。 环域R2|z-z|R1称为级数收敛环, 如果R2R1内, 级数处处发散.,例：,洛朗展开定理 设f(z)在环域R2|z-z0|R1的内部单值解析，则对环域内上任一点z点，f(z)可展为幂级数 其中 , 积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内

7、圆一周的任一闭合曲线。,正幂项(含常数项)为函数f(z)在z0点洛朗级数的解析部分(或正则部分)；负幂项为函数f(z)在z0点洛朗级数的主要部分。,例： 在以z=0为中心的0|z|+的圆环域内展开。,解:（直接法）,（间接法）,例： 在0|z|1; 1|z|2; 2|z|+的圆环域内展开,课堂练习和测试,3.5 单值函数的孤立奇点,孤立奇点 函数f(z)在z0处不解析，但在z0的某去心邻域0|z-z0|内处处解析，称z0为函数f(z)的孤立奇点。 例: 1/z, exp1/z, f(z)=1/(sin(1/z) 讨论z0=0,可去奇点 如果洛朗级数中不含z-z0的负幂项，那么孤立奇点z0为f(

8、z)的可去奇点。 f(z)=a0+a1(z-z0)+an(z-z0)n+ (0 |z-z0| |z-z0| ) 例: sinz/z ,讨论z0=0,可去奇点的判定定理 （1）在奇点的去心邻域内的洛朗级数中无主要部分; （2） （3）f(z)在z0的去心邻域内有界； 以上任何一条均可作为判别奇点是否为可去奇点的判断标准，也可作为可去奇点的定义.,极点 如果洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m, 则称孤立奇点m级极点。 f(z)=a-m(z-z0)-m+a-m+1(z-z0)-m+1+a0+a1(z-z0)+an(z-z0)n + (0 |z

9、-z0| ) 显然, 例: f(z)=(z-2)/(z2+1)(z-1)3, 讨论z=1, z=i,例: f(z)=(ez-1)/z2 ?,例: f(z)=z(z-1)3, z=0, z=1; f(z)=z3-1 ?,例: f(z)=1/sinz,本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项，那么孤立奇点z0为f(z)的本性奇点。 f(z)=+a-m(z-z0)-m+a0+a1(z-z0)+an(z-z0)n + (0 |z-z0| ) 有: zz0, 极限不存在 例: exp1/z,讨论z0=0, i) z沿正负实轴, ii) z按i/2n (n=1,2,3,),函数在无穷远点的性质 如果函数f(z)在无穷远点的去心邻域R|z|+内解析，那么称为函数f(z)的孤立奇点。 令t=1/z，则f(z)=f(1/t)=(t)，显然，(t)在0|t|1/R内解析. 规定： 如果t=0是(t)的可去奇点、m级极点或本性奇点，那么， 就称点z= 是f(z)的可去奇点、 m级极点或本性奇点。,例： f(z)=z/(z+1), (1|z|) f(z)=z+1/z, (z= ) f(z)=sinz, (z= ) f(z)=(z2-1)(z-2)3/(sin z)3,函数f(