计算传热学第3讲数学模型与求解区域的离散化.ppt

1、计算传热学第3讲,数学模型与求解区域的离散化 Discretization of Mathematical Models and Computation Domain,作业与阅读要求,阅读：陶文铨数值传热学第2章 作业：P44 题23，题24 作业：P46 题211,本讲主要内容,求解区域的离散化 Taylor级数展开法 控制方程的离散化Taylor级数法 控制方程的离散化控制容积法 控制方程的离散化变物性的情况 控制容积法 Taylor级数法 交界面参数的计算 四个基本原则 源项的线性化,三个关键环节,建立恰当的数学模型 Proper Mathematical Modelling 对求解区域

2、进行离散化处理 Discretization of Computational Domain 对数学模型进行离散化处理 Discretization of Mathematical Model,3-1求解区域的离散化,3.1.1求解区域的界定： 有限区域（finite domain）： 求解区域（Computational domain）实际区域 无限区域（infinite domain）： 求解区域实际区域 界定原则：计算结果不敏感原则，亦即，求解区域的大小对计算结果没有明显的影响。 例子：,求解区域的界定：例子,流动问题的出口界面：,求解区域的界定：例子,无穷大区域的“无穷远界面” 半无限

3、大介质中的稳态导热,求解区域的界定：例子,无穷大区域的“无穷远界面” 无限大介质中的非稳态导热,求解区域的界定,对称区域：对称问题的求解区域,3.1.2 求解区域的离散化,什么是求解区域的离散化 将求解区域划分为若干个互不重合的子区域（CV) 不重合 子区域（sub-region) 控制容积（control volume) 确定节点在子区域中的位置 给出节点位置坐标 节点所代表的区域及其大小 方法： 用一组正交的网格线（可以是曲线）将求解区域进行分割,求解区域的离散化：方法一,外节点法或节点-控制容积法 网格线的交点作为节点 节点所代表的求解区域（控制容积） 由两节点间中心位置的对称界面围成的

4、区域。 例子：二维矩形区域,求解区域的离散化,节（结）点：网格线的交点 控制容积（节点所代表的求解区域）：两节点中间界面所围成的区域。 节点的分类： 相邻接点：坐标轴方向上相差一个步长的节点 内部节点：所有相邻节点都属于求解区域的节点 边界节点：至少有一个相邻节点不属于求解区域 节点的命名 研究对象点：P（i,j) 相邻节点：按方位关系或位置坐标,P(i,j),N(i,j+1),S(i,j-1),W(i-1,j),E(i+1,j),求解区域的离散化,确定区域离散化的要素 节点位置坐标 控制界面位置 节点间距 控制容积的大小,求解区域的离散化：方法二,内节点法或控制容积-节点法 先划定控制容积（

5、节点所代表的求解区域） 节点：控制容积的几何中心 例子：二维矩形区域,3.1.3求解区域的离散化： 方法比较,边界节点所代表的求解区域（控制容积）不同： 外节点法：半个控制容积 内节点法：容积为0的控制容积 节点在控制容积中的位置不同 外节点法： 控制界面始终位于两节点中间位置上：导数计算准确 不能保证节点始终位于CV的几何中心上 内节点法： 节点始终位于CV的几何中心上：非稳态项计算准确 不能保证控制界面始终位于两节点中间位置上,求解区域的离散化：方法比较,当网格划分足够细时，两者没有本质区别 内节点法： 边界节点处理较简单 边界相邻节点：要特别注意处理方法，与其它内部节点有所不同 历史及习

6、惯的原因：内节点应用较广泛 内节点法在边界相邻节点处始终是非均匀网格 可能会产生较大的误差,求解区域的离散化：网格参数,一维为例,网格参数：名称与定义,(x)w(x)+w(x)-w 节点WP之间的距离 (x)e(x)+e(x)-e 节点PE之间的距离 (x)+w 控制界面w节点P之间的距离 (x)-e 节点P控制界面e之间的距离 x (x)+w (x)-e 控制容积 w ， e 左、右控制面,网格参数：各参数之间的关系,外节点法 (x)+w (x)w ； (x)-e (x)e x (x)w (x)e 内节点法 (x)+w (x)-e x,3.2 Taylor级数展开法,控制方程离散化的方法：

7、Taylor级数法 多项式拟合法 控制容积法 。 Taylor级数法和控制容积法最为重要 Taylor级数法的基本思路 借助Taylor级数展开给出各阶导数的差商表达式 将方程中的各阶导数用相应的差商表达式代替 整理化简,3.2.1 Taylor级数展开法等步长,参照前图，等步长时， x (x)w (x)e 各阶导数的表达式 向后差分：用于时间偏导数和对流项的处理,向前差分：,3.2.1 Taylor级数展开法等步长,三点中心差分格式：主要用于扩散项的处理,3.2.2 Taylor级数展开法非均匀步长,将E在P点做Taylor展开,非均匀步长,将W在P点做Taylor展开,非均匀步长：一阶导数

8、（2阶精度）,将（1）通乘(x)w/(x)e ,得到，,非均匀步长：一阶导数（2阶精度）,将（2）通乘(x)e/(x)w ,得到，,非均匀步长：一阶导数（2阶精度）,（3）（4）得到,非均匀步长：一阶导数（2阶精度）,从上式可以解出，,非均匀步长：一阶导数（2阶精度）,略去二阶及二阶以上无穷小量，,非均匀步长：一阶导数（2阶精度）,定义,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,基本思路、方法同前 为方便推导，在（5）中令，,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,方程（5）就变形为，,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,将（10）代入方程（1）,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,将（10）代入方程（2）,非

9、均匀步长：二阶导数（2阶精度）,（11） (x)2w(x)w+ (x)e，得,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,（12） (x)2e(x)e (x)w，得,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,（13）（14），得,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,从式（15）解得，,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,将式（9）()P的表达式代入（16），整理化简得到，,非均匀步长：二阶导数（2阶精度）,最后得到，,3.2.2 Taylor级数展开法非均匀步长,更高精度的格式可以用类似的方法得到 格式截断误差（truncation error) 阶数愈高，精度愈高 精度愈高，表达式愈繁 一般只用到二阶精度格式 几

10、点说明 当Lx1时，非等步长格式一律退化为等步长格式 格式精度（截断误差）与计算精度 网格密度相同的情况下，高精度格式，计算精度也高 高阶精度的计算工作量大大增加 加密网格，可以弥补低阶格式的不足，得到同样精度的结果 工程上：二阶精度格式,3.2.3 Taylor级数展开法 控制方程的离散化,方法： 用“差商”代替“导数” 例题：一维稳态扩散问题,Taylor级数法：例题,参照前面的节点组，对于节点P，,Taylor级数法：例题,将二阶导数的差商表达式代入（21）,Taylor级数法：例题,进一步整理得到，,3.3 控制方程离散化的控制容积法,定义：将控制方程在控制容积上积分从而得到离散化方程

11、的离散化方法 具体步骤： 将控制方程在控制容积上积分； 假定适当的分布函数（distribution function） 阶梯分布 线性分布,控制容积法：阶梯型分布函数,控制容积上均匀分布（为一常数） 控制容积代表点（节点）处的值为分布值：,阶梯型分布函数,精确解,阶梯分布,控制容积法：线性分布函数,节点间线性分布,线性分布函数,精确解,线性分布,分布函数,梯形分布主要用于 计算控制容积上待求变量的值 源项，非导数项 非稳定项 线性分布主要用于 待求变量的梯度值 控制界面处待求变量值,3.3 控制方程离散化的控制容积法,具体步骤： 将控制方程在控制容积上积分； 假定适当的分布函数（distri

12、bution function） 阶梯分布 线性分布 将分布函数代入并完成积分，整理化简，得到离散化方程,3.3 控制方程离散化的控制容积法,例题：一维稳态扩散问题,控制容积法：例题,将方程（20）在控制容积Pxw , xe上对积分，,控制容积法：例题,代入方程（26），得到,控制容积法：例题,假定节点间待求变量线性分布，则，,控制容积法：例题,将（29）代入（28），,将（30）通乘(x)e ，并引入Lx的定义,控制方程的离散化,与Taylor级数法对比【方程（22）】，可以发现，两种方法得到的结果并不一致,这说明，数值解不是唯一的 不同的方法将得到不同的结果 近似方法的共性,3.4 关于两

13、种方法的进一步说明,差分方程（difference equation)或离散化方程（discretization equation)不尽相同 均匀网格时，由于， x (x)w =(x)e ，Lx=1 两种方法的结果一致，都是二阶精度 用外节点法划分网格，由于 (1 Lx)(x)w (x)e = (x)w (x)e (x)e = x (x)e 两种方法的结果一致，都是二阶精度 用内节点法划分网格：CV法不能给出二阶精度的结果,3.4 关于两种方法的进一步说明,例题：一维稳态扩散问题,它有分析解：,关于精度等级的说明 二阶格式应该对该问题给出精确解,例题：一维稳态扩散问题,数值计算时： S1，L7

14、 内节点法划分网格 分成3个控制容积， x分别等于1，2和4。 5个节点 坐标分别为：0, 0.5, 2, 5和7,例题：一维稳态扩散问题,计算结果如下,例题：一维稳态扩散问题,例题：一维稳态扩散问题,结论： 对于非均匀网格，如果网格划分不当，那么控制容积法不是二阶精度的，它不能给出二阶精度的解。,例题：一维稳态扩散问题,问题的结症： 界面处导数的处理过于粗糙 当控制界面位于节点正中央时才能给出二阶精度的结果。,例题：一维稳态扩散问题,代入方程（28）。不过，这又回到了Taylor级数展开法。 为用Taylor级数法解决变物性问题提供了一个思路。,解决办法：提高控制面处导数的精度。 参见前面的

15、节点组，,例题：一维稳态扩散问题,我们忽略了例题的求解过程。务请大家把详尽的求解过程补充出来 用外节点法划分网格，重新求解该题。并与分析解比较。 给出该问题的分析解。,3.4 关于两种方法的进一步说明,在均匀网格的前提条件下， 控制方程中含非导数项 对非导数项积分采用线性分布 CV法能得到较Taylor法更精确的结果。 例如：对于下面的问题，,3.4 关于两种方法的进一步说明,均匀网格，外节点法，源项也采用线性分布，则可以得到较Taylor法更为准确的结果。 不具有普遍意义。,3.4 关于两种方法的进一步说明,外节点法，均网格，源项线性分布,3.4 关于两种方法的进一步说明,内节点法，非均网格

16、，源项线性分布,3.4 关于两种方法的进一步说明,结果如下,3.4 关于两种方法的进一步说明,3.4 关于两种方法的进一步说明,这两个例题说明： 应用控制容积法时，采用均匀网格是至关重要的 采用内节点法划分网格无法实现均匀网格划分 解决在非均匀网格条件的控制容积法具有重要意义。 文献当中的非均匀网格格式仅仅针对对流项。,3.4 关于两种方法的进一步说明,CV法着眼于控制容积上流的平衡，在CV尺寸的选择上更加灵活 Taylor法着眼于节点上的微分平衡 CV需要假定待求变量的分布函数 Taylor法不需要分布函数 共同点：用节点上待求变量的数值作为控制容积上待求变量的代表 CV法中的分布函数仅存在

17、于推导过程之中 结论：CV法与Taylor级数法同属于有限差分法的范畴,3.4 关于两种方法的进一步说明,关于Control volume method或Finite volume method与Taylor级数展开法关系的争论 有人将之归为不同的方法 殊途同归：起点不同，落脚点完全一样 主要差分格式几乎都可以用Taylor级数展开法得到 二阶Taylor级数：相当于3点上按抛物分布 二阶CV：节点间按线性分布,3.4 关于两种方法的进一步说明,Taylor级数法、控制容积法精度上并无实质上的优劣之分，但是，CV法 简捷 物理概念清楚 得到广泛应用（尤其是在Numerical Heat Tra

18、nsfer中）,特别提示,要尽可能采用均匀网格 相邻节点间距不宜相差过大（小于1.5为宜） 如有可能，优先考虑采用外节点法（节点-控制容积法）划分网格。,3.5 变物性问题控制容积法,定义：物性参数与待求变量有关的问题 基本方法同前 例题：,其中是待求变量的已知函数，即,变物性问题控制容积法,将方程（37）在控制容积P上积分，,变物性问题控制容积法,假定节点间待求变量按线性分布，则,代入方程（40)，得到,变物性问题控制容积法,整理后得到，,其中，,变物性问题控制容积法,符号意义： 大写下标W、E和P表示在相应的节点处取值 小写下标w和e表示在相应的控制界面处取值 w和e分别表示在控制界面w和

19、e的数值 交界面参数（interface parameters) 注意：控制界面处的待求变量是未知的。,3.6 变物性问题Taylor级数法,均匀网格，则将方程（37）应用于节点P有，,变物性问题Taylor级数法,将(w,P,e)看作一个节点组，将(d/dx)视为待求变量，则有,变物性问题Taylor级数法,将(W,w,P)看作一个节点组，则有,变物性问题Taylor级数法,将(P,e,E)看作一个节点组，则有,变物性问题Taylor级数法,将（45）、（46）代入（44）,将（47）与控制容积法的方程（40）对比，不难发现，两种方法得到了相同的结果。,特别提示,对于一维问题，不论问题性质如

20、何，也不管采用什么样的离散化方法，其离散化方程的形式都一样，都可以表示为,问题不同，离散化方法不同，离散化方程中的系数不同,3.7 交界面参数的计算,交界面参数（interface parameters)：扩散系数等在控制界面处的取值 交界面参数一般是待求变量的函数 待求变量在控制界面处是未知的 节点上待求变量的数值已知 节点处对应参数的数值已知 交界面的位置已知 不能直接计算交界面参数 应该考虑的情况： 待求变量的函数 突变（discountinuities),交界面参数的计算,方法一：利用节点物性参数插值 方法A：算术插值，认定扩散系数与x成线性关系,当物性参数是x或待求变量的连续函数时能

21、够给出较好的结果 不能用于物性参数在交界面处方式突变的情况。,交界面参数的计算,方法一：利用节点物性参数插值 方法B：调和平均法 通过控制面的流的唯一性原则 节点W至节点P之间的流可以用w用下式计算：,交界面参数的计算调和平均法,通过控制容积W右控制面w的流应该按下式计算,其中，w是待求变量在控制界面w处的值未知,交界面参数的计算调和平均法,通过控制容积P左控制面w的流应该按下式计算,其中，w是待求变量在控制界面w处的值未知,交界面参数的计算调和平均法,显然，方程（49）、（50）和（51）给出的都是控制面w的流，应该给出唯一值。即：,联立上述方程，消去w，求得w，,交界面参数的计算调和平均法

22、,特点： 大多数情况下能够给出合理的结果 在突变界面上不能设置节点 在极端情况下可能会导致失效 文献中得到广泛应用,交界面参数的计算,方法2：Kirchhoff变换法 依据：对于变物性问题，在很多情况下可以利用Kirchhoff变换变换成常物性问题,可以证明：,交界面参数的计算 Kirchhoff变换法,节点待求变量之间的积分平均值 精度最高的插值方法 需要进行大量的积分计算,交界面参数的计算,方法3：待求变量插值法 选用合理的插值方法，计算待求变量在控制界面处的值 利用待求变量在控制界面处的值计算交界面参数。 最直接的插值方法：线性插值,交界面参数的计算,方法3：待求变量插值法 计算精度与K

23、irchhoff变换法相当 不需要积分运算 最好将节点布置在突变界面上 采用外节点法划分网络方便 是一种值得推荐的方法,数值算例,数值算例,问题A：单一介质，变扩散系数,问题B：复合介质，变扩散系数（本文方法突变面在节点上，调和平均方法突变面在控制面上）,问题C：复合介质，变扩散系数突变界面从x=1平移到x=1.0075，保证突变界面位于节点和控制面之间,问题D：同问题B，常物性复合材料（本文方法突变面在节点上，调和平均方法突变面在控制面上）,问题E：与问题C类似，常物性复合材料，突变界面从x=1平移到x=1.0075，保证突变界面位于节点和控制面之间,问题F：对流-扩散问题，变物性,问题G：

24、同问题A， 但0=0,问题H：同问题B，但0=0,问题I：单一介质，变物性，二维,问题J：复合介质，变物性，二维,特别提示,尽管调和平均法在文献中得到了广泛的应用，但它并不是一种非常有效的插值方法； 采用待求变量插值法或Kirchhoff变换法可以取得更好地结果； 调和平均法有可能给出错误的结果。,3.8 四个基本原则,不同的离散化方法会得到不同的离散化方程 合理的离散化方程应该起码满足下述3个方面的要求 数学上与原方程相容 物理上能给出合理的解 计算上能节约时间 Patankar从物理观点出发，提出了判定差分格式好坏的4个基本原则，具有重要指导意义,原则之一,控制界面上流的相容性原则 要求同

25、一时间通过同一控制面的流应该相等。,该原则要求：,但如果，,则违反相容性原则。,原则之二,系数同号原则：方程中相邻节点待求变量前的系数必须同号。 考虑源项等于0时的离散化方程,对于扩散系统，例如导热，某一点处温度的升高必然会导致其相邻区域的温度也升高，比如,E E ,但如果系数符号不一致，则会出现相反的情况。,原则之三,相邻系数之和原则 依据：对于线性微分方程，如果不考虑它的定解问题，那么如果为齐次方程的一个解，则（ +C)也必为方程的解。 离散化方程也必须反映这一事实。于是，,节点P的相邻节点待求变量前的系数,原则之三,相邻系数之和原则 更一般的，如果考虑源项和非稳定项的作用，必然有：,原则之四,负斜率源项原则 要求：源项的斜率必须小于等于0 依据：当源项是待求变量的函数时，即 SS（） 为了加速收敛过程，一般要对源项进行线性化除理，即把源项写成下面的形式， SSc+Sp 其中Sp是源项的斜率，该原则要求：,原则之四,由来 重复前面的离散化过程，对于一维稳态问题，可以证明，源项线性化的差分方程变为：,其中aE和aW的定义没变，但是，,注意到：aE0，aW0。但是，当Sp0时，有可能导致aP0，从而违反系数同号原则和相邻系数之和原则,特别提示,四