四、 弹性力学有限元法基本原理(三).ppt

1、第一节空间问题的有限元讨论了有限单元法求解弹性力学平面问题和轴对称问题的基本原理和列式，以及一些高精度二次元元素. 包括轴对称在内的二维问题具有非常重要的意义，但工程实际上，更多的问题是复杂的三维问题，不能求得理论解。 上述有限元位移法的基本原理可以自然地推广到三维问题中。 首先，以空间常失真四面体片单针织面料为例研究三维有限元结构原理。第四单元弹性力学有限单元法的基本原理(三)、一、常失真四面体片单元、一、位移模式、该单元的几何和局部结节点号如图4-1所示。 在三维问题中，每个节点具有3个位移分量，每个小区有4个节点的修正12自由度。 由于是图4-1的空间四面体片单元，所以将单元内的各位移分

2、量设为x、y、z坐标的一次多项式，使用3节点三角形单元中的同样的内插过程，进行广义的坐标置换，该单元得到将节点位移设为广义的坐标的位移模式2、单元失真表示公式中的失真沉积基质为612，因为失真沉积基质和三维问题有6个失真分量。 应变沉积基质的元素是常数，因此也称为常应变尤针织面料。 3、单元刚度沉积基质，由三维弹性力学问题的离散总势表示式得到三维单元刚度沉积基质，考虑应变沉积基质为常数，4、单元等效结节点力的修正方法，二、六面体单元的介绍，平面问题的矩形单元在空间问题中展开的是六面体单元， 一般情况下，单元格几何必须限制为平行于整个笛卡尔坐标系的长方体，以便可以按顺序喀呖声8个结节点和20个结

3、节点，并在整个坐标系中创建单元格列表达式。 因此，该单元的极限与二维问题的矩形单元相同。图4-2六面体单元、两个形式的单元移位多项式中包含的项，分别可以采用根据形状函数的性质直接建构内插函数的方法。 或从对应的二维单元展开，用形函数的性质来验证。 为了突破这些单元的几何限制，获得实用的单元，需要引入等残奥圈套转换。2节等参于尤针织面料、问题的提出，2是尤针织面料几何上的制约。 单独使用矩形或长方体单元不能模拟任何形状的几何，也不能过渡网格中的单元大小。 所有的这些个单元都是直线边界，处理曲边界几何的误差很大。 的双曲馀弦值。 从前面介绍的各种2、3维单元格可以看出，这些个单元格有两个限制。 第

4、一是单元格的精度，显然单元格的节点数越多，单元格的精度越高。 因此，在这一点上，矩形尤针织面料优于简单三角形尤针织面料，六面体尤针织面料优于四面体片尤针织面料的任意四边形、任意六面体单元的位移模式和形状函数的结构不能沿袭之前建构简单单元时采用的整体坐标多项式位移函数的插值方法， 必须用所谓的等残奥圈套变换确立单元局部坐标，用相同的内插函数在单元内插单元节点的全体坐标和节点位移，这样的UE针织面料称为等残奥圈套UE针织面料。 等残奥圈套针织面料的提出对有限单元法在工程实践中的应用具有重要意义。 解决上述不符点的方法是突破矩形单元和长方体单元的几何制约，制成平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果

5、进一步追加边中间节点，也可以制成弯曲边四边形和曲面六面体高精度单元。 另一方面，等残奥圈套小区的概念，图4-3是一个4节点任意四边形小区(Q4 )，小区具有8个自由度。 将矩形单元格放松心情到四个节点的任意矩形单元格可以获得很多好处。但是，在制作单元位移模式时产生了新的问题：1)单元中没有矩形单元那样的简单直接的局部坐标系2)x，y坐标系中的双线性位移模式(位移沿边界二次变化，不满足泡泡纱的特性)不能照原样使用。 对于图4-3 4节点中的任何四边形单元及其父单元，必须在任何四边形单元中创建新的非正交局部坐标系- (图)，以便每边有一个局部坐标为常量(1)。 在-坐标平面内，原始的任意四边形单元

6、为一边长为2的正方形。 则在此局部坐标系的x-y平面上创建的任何四边形单元与-平面上的正方形之间形成1-1对应的映射(每个点都是唯一的)。 平面上的正方形单元格称为基本单元格或父单元格。 x-y平面上的任意四边形单元称为实单元或子单元。 当然，父单元节点对应于不同的x，并且y坐标可获得具有不同大小、形状和方向的任何四边形的实际单元。 喀呖声创建局部坐标系或映射后，只需在-平面上的父单元格中描述实际单元格位移模式和力学特性。 因此，任意四边形单元的父单元中的位移模式(或者称为-坐标系中的位移模式)是与矩形单元同样的双线性函数： (I=1，2，3，4 )，其中，形函数为：上述位移模式为x， 如果为

7、了得到上述映射的数学式而不是对于y坐标的双线性函数，通过在实际单元中映射点的x、y坐标而得到父单元上的任意的点(、)，通常采用与位移插值相同的插值函数，从而得到下一个坐标转换式，证明该映射可靠地将父单元映射到实际单元，则需要实际上，上述映射是利用父用户针织面料描述实际用户针织面料力学特性的桥梁。 由于该坐标转换式采用与位移插值相同的节点或残奥仪表(形状函数)，所以被称为等残奥圈套转换。 在有限单元法中，采用等残奥圈套转换的所有单元统称为等残奥单元圈套单元。二、八结节点四边形等残奥圈套(Q8 )、以及建构上述四结节点任意四边形等残奥等圈套单针织面料的方法可以完全用于构建更复杂的等参数。 对于二维

8、问题，精度更高的单元是8结节点弯曲四边形单元，由于该单元的制作同样需要等残奥圈套转换，因此也是等残奥圈套单元。 该用户针织面料及其父用户针织面料如图所示。8结节点弯曲边四边形等残奥仪表及其父单元、局部坐标系中的(父单元中的)位移模式：该单元的父单元中的位移模式是包含完全二次式的不完全三次多项式。 内插基函数可以用线性函数的性质直接建构。 与图中的局部节点编号相对应，8个节点形函数：容易验证，上述形函数满足形函数的性质。等残奥圈套变换：位移插值公式：对应等残奥圈套变换将父单元的4条直线边界映射到实单元中的4条抛物线边界。 在上述形式函数中获得的位移在小区边界上呈现二次抛物线变化，并且由三个节点唯

9、一确定，因此在边界上满足协调性。 三、其他形式的等残奥圈套转换和等残奥圈套单元针织面料可利用等残奥圈套转换创建多种类型和形状的等残奥单元。 除了任意四边形单元外，二次元问题中的弯曲边三角形、上述空间六面体单元与四面体片单元可以解除几何制约，并且可以如图4-5所示采用等残奥圈套变换来制作单元列式。图4-5某一1、2维单元的变换、图4-5某一2、3维单元的变换、4、等参照变换的条件、等参照变换保证父单元与实际单元之间形成1-1对应的映射，数学条件是变换的雅可比行列式大于零。 为了保证这一条件，单元格几何必须满足一定的要求。 主要是单元格形状过度歪曲的情况下进行要不得定。边内的节点不能离开中间。五、

10、等残奥圈套单元的收敛性、等残奥圈套单元的协调性条件，只要单元公共边界具有完全相同的节点，由位移模式的形函数结构得到保证。 对于弹性力学问题的C0型单元，完全性要求等价于单元可以描述直线位移场(刚体位移和常应变)。 也就是说，如果在单元的每个节点处以完全线性多项式位移场，则通过位移插值方法获得的实际单元上的变形场也应该是相同的线性变形场。等残奥圈套针织面料的完全性采用等残奥圈套变换，证明等残奥单元在整体坐标系上的位移函数的性状态不直观，不太清楚其完整性。 然而，可以使用等残奥圈套单针织面料本身的形状函数的性质来证明。等残奥圈套单元各节点的位移与刚体位移或常失真位移场：对应，若单元的各节点(校正n

11、个节点)的位移为：(I=1，2，3，n )，则单元内位移插值函数(任意的一点位移)为：明确的六、等残奥单元力学特性解析等残奥圈套单元的形函数矩阵、应变矩阵、应力矩阵都用自然坐标表示。 如果形函数参与应变矩阵以获得整个x、y和z坐标，则需要进行坐标转换。 有关单元刚度沉积基质、单元等效结节点载荷阵列修正运算的积分修正运算都是实际的单元区域的积分，需要积分变量置换，是自然坐标系下的父单元的积分，有标准化积分限制：上述积分修正运算由于被积函数复杂，不能精确积分，所以在等残奥仪表单元中采用数值积分，通常为平面四边形和空间六面体单元、7、等残奥圈套针织面料数值积分阶数的选择1、高斯数值积分的基本概念、结

12、论： n阶高斯积分式可以对2n-1次多项式求精确的积分，对一维高斯数值积分式：同样，对二维高斯积分：积分式对、方向最高次数2n-1的多项式求精确的值。 2 .选择积分步骤、用于确保小区刚性沉积基质的精确积分的基本考虑是确保积分函数的所有项的精确积分。 这种积分牛鼻子称为完全积分牛鼻子。根据该原理，具有规则形状的单元(|J|=常数)的完全积分牛鼻子是，二维四结节点、三维八结节点等残奥元分别是22、222积分二次元8节点、三次元20节点的等轴测残奥分别是33、333积分。 以二维单元刚性沉积基质的高斯数值积分为例，|J|常数需要增加积分次数。3、缩减积分方案，在实际应用中选择的积分步骤通常可以低于

13、被积函数的所有项正确积分所需的步骤数。 这个积分牛鼻子叫做缩约积分。 对于三次元连续统针织面料，在波形函数中以完全多项式次数p选择积分次数，即，n=p。 根据该原理，具有规则形状的单元(|J|=常数)的压缩积分牛鼻子是二维4结节点、三维8结节点等残奥参数分别为11、111积分的二维8节点、三维20节点等残奥参数分别为22、222积分。 在实际的修正算法中，我们发现通过采用缩约积分，比起更完全正确的积分，得到精度的情况更多。采用缩减积分的原因：第一，完全积分是通过被积函数中对应形函数的高次不完全项部分的精确积分所要求的。 但是，用位移模式决定校正计算精度的是完全多项式的次数，高次数的不完全多项式

14、部分无法提高精度，如果采用可能产生不良影响的低积分阶的缩约积分，则积分精度能够保证与完全多项式次数对应的被积函数的精确积分的要求， 这种情况下的压缩点被称为“最佳点牛鼻子”，在该情况下，不包括对更高阶非完全多项式的要求，并且等同于对形状函数进行了一些修改，并且在一定情况下改善了小区精度。 其次，在基于最小电势原理的有限元位移法中，位移解具有下限性质。 有限元修正计算模型的刚度大于实际结构。由于减少积分会降低模型的刚性，所以大多有助于修正计算精度的提高。 第三，当电势泛函数包含罚函数时，必须采用缩约积分，以保证对应于罚函数的刚性矩阵是奇异的。 4、在数值积分情况下，总刚度沉积基质非奇异1 )数值

15、积分条件下保证刚度沉积基质秩，单元刚度沉积基质数值积分修正公式：根据沉积基质秩基本规则，系统上有m个单元，系统独立自由度N=系统节点总自由度结构刚度运动自由度， 但是，在各单元刚性沉积基质采用数值积分的情况下，k的秩可能小于n，在消除了系统刚体位移后k也是特异的，方程不能求解，必须避免，这样消除了系统刚体位移后，可以保证k非特异和方程正常求解。 因此，数值积分也必须满足：这必须满足以下条件：上式是保证数值积分中k非奇异性的必要条件，不是一盏茶条件；2 )缩约积分时采用刚性沉积基质的专一性、缩约积分修正的单元刚性沉积基质常缺失，系统刚性沉积基质的奇异性物理上，如果利用缩约积分计算单元刚性沉积基质，则在单元发生非刚体位移图案的情况下，单元应变能为零时存在零能量图案(砂时修正图案)。 因此，在采用缩约积分时，必须检查总刚性沉积基质的非专一性：注意：在应用缩约积分线性针织面料时，即使满足上述条件，也不能保证总刚性沉积基质的非专一性。 实际的修正计算表明，在有限元模型中，特定的结节点位移约束和载荷的应用可能会扩展砂时修正模式。 一般情况下，此类单元格的一盏茶应使用密集的单元格网