3.1 概率论与数理统计 (复旦大学出版社) 南京财经大学朱玲妹老师课件

1、1 二 维 随 机 变 量,返回目录,设 E 是一个随机试验,它的样本空间,在许多实际问题中,往往涉及两个或两个以上的随机变量.,如股票指数与银行利率；,我们关心这些随机变量之间的关系,有必要把它们作为一个整体来研究.,是定义在 S 上的随机变量,(X,Y) 称为定义在 S 上的二维随机向量或二维随机变量.,国民生产总值与固定资产投资额及通货膨胀率等.,称为(X,Y) 的分布函数,或称为 X 和 Y的联合分布函数.,F (x, y)的函数值是(X,Y)落入图中阴影部分区域的概率.,定义 设(X,Y)是二维随机变量，二元实函数,X 和 Y 的联合分布函数的性质：,10 F (x, y) 是x 和

2、y 的不减函数；,F (x, y)是每个变量的右连续函数；,4对任意实数 a, b, c, d,1. 二维离散型随机变量,二维随机变量(X,Y)的所有可能取值只有有限对或可列对时,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,称为二维随机变量(X,Y)的分布律,或称为X与Y 的联合分布律.,(X,Y)的取值为,分布律可用表格的形式表示为：,(X,Y)的联合分布函数,例1 10件产品中有4件次品,6件合格品,每次任取一件, 连取两次.用X i 表示第i 次取到的次品数(i =1,2),分别就不放回和有放回两种抽样方式,求(X1 ,X2 )的联合概率分布.,解: (X1 ,X2 )可取(0,0),(0,1

3、),(1,0),(1,1)四个值.,(1) 不放回抽样,(2) 有放回抽样,事件“X1=i ” 与“X2=j ”相互独立,例2 从分别标有号码1,2,2,3,3,4的六个球中任取三个球,X,Y分别表示其中的最小号码与最大号码,求:,解: (1)X 的可能取值为1,2,3,(1) (X,Y) 的联合分布律;,(2) P X+Y 5及联合分布函数值F(1,3).,Y 的可能取值为2,3,4,(X ,Y) 的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),2. 二维连续型随机变量,设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数F (x, y),若存在非负函数 f (x, y)

4、, 对任意实数 x, y,均有,称 (X,Y) 为二维连续型随机变量, f (x, y)为(X,Y)的概率密度,或称为X与Y 的联合概率密度.记为,密度函数的性质:,(3) G 是平面上的一个区域,则,(4) 在 f (x, y)的连续点(x, y)处,例3 设随机向量,D 是平面上的有界区域,确定的值,并求,解:,(SD区域D的面积),(SD1为区域D1的面积),此概率与D1的形状及位置无关.,称(X,Y) 服从区域D 上的二维均匀分布.,例4 设随机向量,求:,解:,解：,例5 二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度,(3) (X,Y) 的联合分布函数.,求: (1) A;,设 E 是一个

5、随机试验,它的样本空间,称为n 维随机变量(X1, X2, Xn)的分布函数,或随机变量X1, X2, Xn的联合分布函数.,思考题：,设随机变量U 在区间-2,2上服从均匀分布,求 X与Y 的联合分布律.,思考题答案：,练习题：,1.设二维随机向量(X ,Y)的联合分布函数是F(x , y)， 则必有,2. 设二维随机向量(,)的分布函数为,则常数A,B 分别为( ),4. 将三个球随机地放入四个盒子, X,Y 分别表示第一、 二个盒子中球的个数,求X与Y 的联合概率分布.,3. 设(,)的联合密度函数为,为(,)的联合分布函数,则,(1) 1 (2) 0.25 (3) 0.125 (4) 0.0625,6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,求下列概率：,5. 六个乒乓球中有四个新球,第一次取两个球,用后放回,第二次又取两个球, X, Y 分别表示第一,二次取到新球个数,求( X,Y ) 的联合分布.,7. 设随机向量,求: (1) A;,求: (1) 分布函数;,练习题答案：,1. (4) ；2. (3) ; 3. (4) ；,4.,5. 解:,6. (1) 15/64， (2) 0， (3) 1/2， (4) 1/2,7.,* 设参加高考的考生考出正常水平的概率是,超常发挥的概率是,未能考出水平的概率是 (+ = 1),且设考生与考生之间发挥情况