高一数学上册 二次函数综合问题例谈 沪教版

1、二次函数综合实例二次函数是中学代数的基本内容之一，简单明了，内涵和外延丰富。作为最基本的初等函数，它可以作为研究函数的单调性、奇偶性、最大值等性质的材料，建立函数、方程和不等式之间的有机联系；作为抛物线，我们可以讨论它们与其他平面曲线的关系。这些垂直和水平的联系使得围绕二次函数解决无穷无尽的灵活数学问题成为可能。同时，二次函数的内容与现代数学的发展密切相关，是学生在高校深造的重要知识基础。因此，从这个意义上说，二次函数在高考中频繁出现也就不足为奇了。学习二次函数可以从两个方面入手：一是解析公式，二是图像特征。从解析公式中，我们可以进行纯粹的代数推理，而这种代数推理和论证的能力反映了一个人的基本

2、数学素养；从图像特征来看，实现数与形的自然结合是可能的，这是中学数学中一种非常重要的思维方法。本文将从这两个方面研究一些涉及二次函数的综合问题。1.代数推理因为二次函数的解析表达式简单明了，容易变形(一般表达式、顶点表达式、零点表达式等)。)，在求解二次函数问题时，我们经常使用它的解析表达式，通过纯代数推理来推导二次函数的相关性质。1.1二次函数的通式中有三个参数。解决问题的关键在于通过三个独立的条件“确定”这三个参数。示例1:已知满足1并且获得了值范围。分析：在本主题中，给定的条件不足以确定参数的值，但应该注意的是，所需的结论不是一个确定的值，而是与条件相对应的“值的范围”。因此，我们可以把

3、1和当作两个独立的条件，先用和来表示它们。解决方法：从，可以解决：(*)将以上两个公式代入并整理出来,。再一次的，嗯。例2假设，如果，试着证明：对任何人来说，都有。分析：同上，可以用来表达。解决方案：，。当时，当时，总而言之，这个问题已经被证明了。1.2利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点公式例3:如果设置了一个二次函数，则满足方程的两个根。当时，这一点得到了证明。分析：当两个方程已知时，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，进而得到函数的表达式。证据：从问题的意义来看。,，那时，再一次，综上所述，给出的问题已经得到了证明。1.3接近顶点对称轴，二次函数的最大值和判别式显式力例4

4、已知函数。(1)将图像向右平移两个单位，得到函数，并求出函数的解析表达式；(2)函数及其图像关于直线对称，得到函数的解析表达式；(3)假设已知的最小值是并且是实数的值域。解决方案：(1)(2)让一个点在图像上，关于这个点的对称点是，Q点在图像上，所以,因此.也就是说，(3)。那好吧。这个问题被转化为：平等被建立，也就是说，对亨成立了。(*)因此，必须有。(否则，如果，的二次函数的开口是向下的，并且当它足够大时，必须有；当时，很明显不能保证(*)。)这时，由于二次函数的对称轴，问题等价于，也就是说，解决办法是：此时，获得满足条件的最小值。数字和形状的组合二次函数的象是一个抛物线，它具有许多优美的

5、性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征来解决与二次函数相关的问题可以使其变得简单直观。2.1二次函数的像是关于直线对称的，这种特殊关系也反映了二次函数的对称性。例5:设一个二次函数，tw2.2二次函数的图像具有连续性，并且由于二次方程至多有两个实数根，所以在区间中必然存在唯一的实数根。例6给定二次函数，让方程的两个实根求和。(1)如果函数的对称轴为，验证：(2)if、的值范围。分析：该条件实际上给出了的两个实根之间的间隔，因此可以考虑使用上述图像特征进行等价变换。解决方案：如果，那么两个根是和。(1)从和可用，即这两个公式加在一起，所以；(2)可用。同样的数字。，相当于或，也就是说

6、，或者得到答案或者。2.3由于二次函数分别在区间和区间上是单调的，函数在闭区间上的最大值和最小值必须在区间的端点或顶点处得到；封闭区间中函数的最大值必须在区间的端点或顶点处获得。例7:二次函数是已知的，在那时，有，然后，有。分析：研究的性质，最好是得到它的解析公式，在这个意义上，参数应该尽可能用已知的条件来表示。要确定三个参数，只需要三个独立的条件，可以考虑这个主题。这样做有两个好处：第一，表达式更简单；第二，由于它恰好是给定条件的端点和中点，它可以更好地利用这些条件来控制二次函数的范围。为了考虑区间上函数值的取值范围，应该只考虑最大值，即应该考虑区间的端点和顶点的函数值。解决方案：从问题的含义来看，。随着时间的推移，有些东西是可