高一数学上学期期末复习 专题04 初等函数(II)三角函数导学案

1、第四讲基本初等函数（II）一、基础知识整合（一）三角函数的概念1任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的图形我们规定：按_方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_(2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角是第一象限角可表示为；是第二象限角可表示为；是第三象限角可表示为；是第四象限角可表示为(3)非象限角如果角的终边在_上，就认为这个角不属于任何一个象限终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作|2k，kZ；终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作

2、_；终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作_；终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作_；终边在x轴上的角的集合可记作_；终边在y轴上的角的集合可记作_；终边在坐标轴上的角的集合可记作_(4)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S_.2弧度制(1)把长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度_，l是半径为r的圆的圆心角所对弧的长(2)弧度与角度的换算：360_rad，180_rad，1_rad0.01745rad， 反过来1rad_57.305718.(3)若圆心角用弧度制表示，则弧长公式l_；扇形面积公式S扇_3任意角的三角函数(1)任意角的三角函

3、数的定义 设是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r0)，则sin_，cos_， tan_ (x0)cot(y0)，sec(x0)，csc(y0)三角函数定义域sincostan(3)三角函数值在各象限的符号 4三角函数线如图，角的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OMx_，MPy_，AT_.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角的、，统称

4、为三角函数线5特殊角的三角函数值角030456090120135150180270360角的弧度数sincostansin15，sin75，tan152，tan752，由余角公式易求15，75的余弦值和余切值（二）三角函数同角关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式：_；(2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒等式2三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容：x函数sinxcosxtanxsincostancotcot2(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式

5、可概括为：奇变偶不变，符号看象限其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称_“符号看象限”是把当成_时，原三角函数式中的角所在_原三角函数值的符号注意：把当成锐角是指不一定是锐角，如sin(360120)sin120，sin(270120)cos120，此时把120当成了锐角来处理“原三角函数”是指等号左边的函数(3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：3sincos，sincos，sincos三者之间的关系(sincos)2_；

6、(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_；(sincos)2(sincos)2_.（三）三角函数图象和性质1“五点法”作图(1)在确定正弦函数ysinx在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是，(2)在确定余弦函数ycosx在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是，2周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_3三角函数的图象和性质函数性质ysinxycosxytanx

7、定义域_图象值域_R对称性对称轴：_；对称中心：_对称轴：_；对称中心：_无对称轴；对称中心：_最小正周期_单调性单调增区间_；单调减区间_单调增区间_；单调减区间_单调增区间_奇偶性_（四）三角函数图象变换1用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.xxyAsin(x)0A0A02.图象变换(0) 路径：先向左(0)或向右(0)或向右(0，0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式yAsin(x)，x0，)，其中A0，0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个

8、简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x称为相位；x_时的相位称为初相【答案】（一）三角函数的概念1(1)旋转逆时针顺时针零角(2)非负半轴或|2k0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“x(0)”视为一个“整体”；A0(A0)时，所列不等式的方向与ysin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反)四、强化训练提高1.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数

9、是() A. B. C. D. 【答案】A【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60，即分针转过的角的弧度数是.2.( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】.故选：C3.若，则（）A B C D【答案】B【解析】由得，则，故选B.4若， 是第三象限的角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，因此5.已知,则（ ） A B C D【答案】A【解析】由题设,则,故,所以 ,与联立解之可得,故,应选A.6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A BC D【答案】D【解析】由图象得，所以由 得，故选D.7为了得到函数，的图象，只需把函数

10、，的图象上所有点 的（ ）A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 C.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【答案】C【解析】函数，的图象横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到函数 ，的图象，选C.8.已知函数的图象如图所示，若，且， 则的值为 （ ） A. B. C. 1 D. 0【答案】C【解析】由题意得， ，则，又，即， 解得，所以，令，即， ， 解得该函数的对称轴为，则，即， 所以，故选C.9.先将函数的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平移个单位， 则所得图像的对称轴可以为（ ） A B C

11、D【答案】D【解析】将函数的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半得，再向左平移个 单位得，令，即， 当时，故选D10.将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数 的图象上，则（ ） A.，的最小值为 B. ，的最小值为 C.，的最小值为 D.，的最小值为【答案】A【解析】由题意得，故此时所对应的点为，此时向左平移个 单位，故选A.11.已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单 位长度后所得的函数图象过点，则函数（）（A）在区间上单调递减 （B）在区间上单调递增（C）在区间上单调递减 （D）在区间上单调递增【答案】B【解析】依题, ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），

12、因为，故选B12已知函数的图象关于直线对称且，如果存在实数， 使得对任意的都有，则的最小值是（ ） A4 B6 C8 D12【答案】C【解析】由题设可知,或,由此可得或,解之得或,故应选B13.函数的值域是_.【答案】【解析】当在第一象限时， :当在第二象限时， :当在第三象限时， :当在第四象限时， :函数的值域是.14.已知A是角终边上一点，且点的坐标为，则_ 【答案】 【解析】由题意，因此15.函数（，）的图象如图所示，则_，_【答案】，.【解析】由题意得，又， 故填：，.16.函数 的最大值是_【答案】1【解析】，令， ，此时对称轴为 的最大值是故答案为：117.已知函数的图像与（为常

13、数）的图像相交的相邻两交点间的距离为，则_【答案】【解析】由题意得18.已知函数，若存在满足，且 （， ），则的最小值为_【答案】【解析】 对任意 ，都有 ， 要使 取得最小值，尽可能多让 取得最高点，考虑 ， ，按下图取值可满足条件， 最小值为 ，故答案为 .19.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1），即， 则原式.（2），即， 原式.20.设函数的最小正周期为，且（1）求和的值；（2）给定坐标系中作出函数在上的图像，并结合图像写出函数的单调递减 区间（直接写出结果即可，不需要叙述过程）；（3）若，求的取值范围【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3)【

14、解析】试题分析：(1)由三角函数的性质结合题意可得，；(2)结合(1)中函数的解析式绘制函数的图象即可；(3)求解三角不等式可得的取值范围是试题解析：(1)由已知条件可知故又由得即(2)函数的单调递减区间(3)由(1)知令得即得即21.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象，写出变换过程;（3）若，求的值.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】分析：（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得，由五点作图的第三点求；（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案试题

15、解析:（1）.（2）法1：先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.法2：先将的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，所得图象即为的图象.（3）由,得：，而.22.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每 个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）若入住客栈的游客人数与月份之间的关系可用函数（，）近似描述，求该函数解析式；（2）请问哪