高一数学等比数列的前n项和

1、高一数学等比数列的前n项和【基础知识精讲】1.基础知识图表2.前n项和公式若数列an是公比为q的等比数列，则它的前n项和公式是也就是说，公比为q的等比数列的前n项和是q的分段函数，分段的界限在q=1处.当q1时，求等比数列前n项和Sn的方法一般是利用Sn的表达式的特点，首先在Sn=a1+a1q+a1qn-1两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求Sn-qSn把相同的项消去，达到简化的目的；最后从中解出Sn.这种方法(俗称“错位相减法”)很巧妙，而且对这类数列的求和具有普遍性，应该很好地掌握它.求等比数列前n项和的方法还有一些，下面再介绍其中的一种：当q=1时，Sn=

2、na1当q1时，Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-1)-a1qn =a1+qSn-a1qn =a1(1-qn)+qSn(1-q)Sn=a1(1-qn),Sn=.在具体运用等比数列前n项和公式时如果考虑不周常会出错.例如，求和：1+x+x2+xn，认为其和为是错误的.【重点难点解析】本节重点是等比数列前n项和公式及其应用.难点是求和公式的推导.等比数列前n项和公式要注意对公比q进行讨论，分q=1和q1两种情况.求等比数列前n项和的思想和方法在求一些特殊数列的前n项和中经常运用到.例1 设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求

3、公比q的值.分析 本题主要考查等比数列求和公式的基础知识，逻辑推理能力和运算能力.在求解中要全面考虑公式q=1和q1两种情况，否则就会造成失误.解法一：若q=1，则S3+S6=3a1+6a1=9a12S9,所以q1.依等比数列前n项和公式有+=,整理得q3(2q6-q3-1)=0.因为q0，所以2q6-q3-1=0,(q3-1)(2q3+1)=0.因为q1，所以q31,所以q3=-，q=-=-.解法二：因为S3+S6=2S9，所以2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+a9),此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9)，-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5

4、+a6)，由此解得q3=-,q=-.评析 在对等比数列前n项和公式的运用中，要注意充分运用整体代入的方法，如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)这一性质，使运算量减少，也避免了q的讨论.例2 设等比数列的首项为a(a0)公比为q(q0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q.解：由Sn=80,S2n=6560,故q1化简得有 知a0，q1，等比数列递增数列，故前n项中最大项为an.an=aqn-1=54将代入化简得a=q-1化简得3a=2q由，联立方程组解得a=2,q=3例3 等比数列an的前n和等于2，紧接其后的2n项和等于12，再

5、紧接其后的3n项和为S，求S.分析 本题主要考查等比数列前n项和公式的应用.本题实际为已知Sn=2，S3n-Sn=12，要求S6n-S3n的值.由等比数列知，前n项成等比数列，紧接其后的2n项也成等比数列，再紧接的3n项也成等比数列，可分别求和列方程.解：在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.设前n项和为S1，第2个n项和为S2=S1q，由式得q+q2=6，所以q=2或q=-3.将q=2代入式得S=112，将q=-3代入式得S=-378.例4 求数列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,(a0)的前n项和Sn.分析 要求数列前n项的和，必须先求出数列的通项公式.解：据题设

6、条件分析可知：an=an-1+an+an+1+a2n-2当a=1时，an=n,Sn=.当a1时，Sn=-.(1)当a1时，Sn=-=(1-an)(1-an+1)(2)当a=-1时，Sn=+n评析 由于通项公式本身是一个等比数列的求和，而公比是字母a，故必须分两种情况(a=1及a1)来讨论.在进一步求和时，由于又出现公比为a2的等比数列求和，故又得分a2=1及a21来讨论，由于a=1已讨论，因此本题应分a=1，a=-1，a1三种情况来讨论.【难题巧解点拨】例1 设等比数列an的公比与前n项和分别为q与Sn，且q1,S10=8.求的值.分析 一个条件不能确定a1与q.不妨将S10与S20用a1、q

7、表示出来，进行对比，兴许有点门道.解：=8,=8.评析 一些数列问题中的基本量难以确定或不能确定时，不妨设而不求，整体代换.其实，本题尚有以下巧解：S20=S10+a11+a12+a20=S10+q10S10=S10(1+q10),故=S10=8.例2 设等比数列an的前n项和为Sn，求证：S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).分析 从整体结构入手，寻找Sn、S2n、S3n之间的关系，作差计算，不仅简便，而且求解过程完备.解：设an的公比为q,则S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn)S3n=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q2n)S2n+S22n-Sn(S2n+S3n)=S2

8、n+S2n(1+qn)2-S2n(1+qn)+(1+qn+q2n)=S2n+S2n(1+qn)2-S2n1+(1+qn)2=0S2n+S22n=Sn(S2n+S3n).评析 本题的结论是等比数列的又一性质：(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.例3 已知数列an满足条件：a1=1,a2=r(r0)，且anan+1是公比为q(q0)的等比数列.设bn=a2n-1+a2n，求数列bn的前n项和Sn.分析 =q=q=q.解：=q an+2=anq，=q,且q0,b1=1+r0bn是首项为1+r，公比为q的等比数列，评析 解题的关键是等比数列bn的

9、发现，只要紧抓等比数列的定义来分析，就能使隐含着的条件显露出来，促成问题的快速解决.【课本难题解答】课本第133页练习第4题：当q=1时，S7=7a1，S14-S7=14a1-7a1=7a1S21-S14=21a1-14a1=7a1，从而S7(S21-S14)=(S14-S7)2当q1时，S7=;S14=;S21=;可得S7(S21-S14)=(S14-S7)2.也可以这样证明：S14-S7=(a1+a2+a14)-(a1+a2+a7)=a8+a9+a14=a1q7+a2q7+a7q7=(a1+a2+a7)q7=q7S7同理可得S21-S14=q14S7因此S7(S21-S14)=(S14-S

10、7)2可类似证明Sk,S2k-Sk,S3k-Sk成等比数列.【命题趋势分析】1.数列内容在高考试题中占比重较大，等比数列的前n项和多次出现在中难题上.因此，对数列的综合问题要引起重视，注意应用题的练习，提高数学建模能力.2.灵活应用通项公式与前n项和公式是高考考查的重点，同时要注意运用函数的观点揭示分析和解决有关等比数列的综合题.3.在历届高考试题中等比数列的定义、通项公式、前n项和公式经常融进各种类型的题目中.我们要在熟练掌握，灵活应用上下功夫，同是，还要注意等差、等比数列的综合运用.4.等比数列是最基本的数列.等比数列的定义是研究等比数列的性质和判定，推导前n项和公式的出发点和依据；通项公

11、式与前n项和公式联系着五个基本量：a1,q,n,an,Sn，任知其中三个量，可以求得另外两量是本章中最基本的、经常遇到的、必须熟练解决的基本问题.5.等比数列前n项和公式的推导方法“错位相减法”要予以重视，在求由等差、等比数列组成的积数列的和时也要应用此方法.6.在解等比数列求和有关问题时，根据问题的实际，有时需分q=1和q1两种情况分类讨论.【典型热点考题】例1 设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn+1.分析 只需证明SnSn+2S2n+1.解：Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1 S2n+1-SnSn+2=Sn+1(a1+qSn)-Sn(a1

12、+qSn+1) =a1(Sn+1-Sn)=a1an+10SnSn+2S2n+1 log0.5(SnSn+2)log0.5S2n+1. log0.5Sn+1.评析 由a10，q0及qSnSn+2=qSn(a1+qSn+1)a1qSn+1+q2SnSn+1=qS2n+1，亦可推得SnSn+2S2n+1.例2 设等比数列an的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.分析 由条件式建立一个关于q的方程.解：若q=1,则S3+S6-2S9=-9a10，与题设矛盾，故q1.从而，依题意得+=,整理得q3(q3-1)(2q3+1)=0,q0,q1 2q3+1=0, q=-.评析 解题过程中运用

13、了分类讨论的思想.例3 设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有自然数n，an与2的等差数列等于Sn与2的等比中项.(1)写出an的前3项.(2)求an的通项公式(写出推理过程).(3)令bn=(+),nN求证：b1+b2+bn-n=.解：(1)当n=1时，有=,而S1=a1=.a1=2.当n=2时有=,而S2=a1+a2=2+a2=a2=6或a2=-2(舍)当n=3时，有=而S3=a1+a2+a3=8+a3=.a3=10.故前3项为2，6，10.(2)由题意有=(nN+) Sn=(an+2)2.由此知Sn+1=(an+1+2)2. an+1=Sn+1-Sn=(an+1+2)2-(

14、an+2)2整理得 (an+1+an)(an+1-an-4)=0而 an+1+an0an+1-an=4 an为等差数列，其中a1=2，d=4an=a1+(n-1)d，an=4n-2(3)令cn=bn-1，则b1+b2+bn-n=c1+c2+cn且cn=(+-2)an=4n-2,an+1=4n+2cn=(-1)+( -1)=-b1+b2+bn-n=c1+c2+cn =(1-)+(-)+(-) =1-b1+b2+bn-n=评析 已知an与Sn的混和递推关系，一般有两条途径可供转化.均是利用当n2时，an=Sn-Sn-1，一条路可转化为关于an与an-1的递推关系，另一条路是转化为关于Sn与Sn-1

15、的递推关系.如本例就是转化为an的.又如：已知数列an的前n项和满足S1=4，当n2时，an=，试求an的通项公式.读者不妨去试一试!在(3)题中，数列求和的方法是裂项法.例4 已知等差数列an的第二项a2=5，前10项之和S10=120.若从数列an中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n项，按原来顺序组成一个新数列bn，且这个数列的前n项之和为Tn，试比较Tn+1与2Tn的大小.解：设an的公差为d,则 an=3+(n-1)2=2n+1数列bn=22n+1Tn=n+2(21+22+23+2n) =n+2=2n+2+n-4Tn+1-2Tn=(2n+3+n-3)-2(2n+2+n-4)=5-n

16、当n5，nN时，Tn+12Tn，当n=5时，Tn+1=2Tn当1n5时，即n=1,2,3,4时，Tn+12Tn.【知识验证实验】计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是123+122+021+12013，那么将二进制数转换成十进制数的形式是(B)A.217-2 B.216-1C.216-2D.215-1【知识探究学习】某县位于沙漠地带，人与自然进行长期的斗争，到1998年底全县土地面积的绿化率已达40%，从1999年开始，每年将出现这样的局面，即到前一年年末还存在沙漠面积的20%将被绿化，与此同时，由于各种原因，到前

17、一年年末已被绿化的面积的5%又将重新被沙化.设全县土地面积为P，1998年底的绿化面积为a1，经过n年后绿化面积为an+1.(1)求a1，a2，a3；(2)求证：an+1-p(an-p);(3)求an.解：(1)由题意a1P40%0.4P.a2a1+(P-a1)20%-a15%0.5Pa3a2+(P-a2)20%-a25%0.575P(2)一般有an+1an+(P-an)20%-an5%an+P an+1-Pan-P(an-P)(3) an-P是以a1-P-P为首项，为公比的等比数列， an-P-P()n-1. anP-P()n-1.【同步达纲练习】一、选择题1.在等比数列an中，S4=2,S

18、8=6,a17+a18+a19+a20等于( )A.32 B.16 C.35 D.1622.已知等比数列an的公比q=，且a1+a3+a5+a99=60，则a1+a2+a3+a4+a100等于( )A.100B.80C.60D.403.一个等比数列，它的前n项和Sn=abn+c，其中a、b、c为常数且a0，b0且b1，则a、b、c必须满足( )A.a+b=0B.b+c=0C.a+c=0D.a+b+c=04.等比数列an的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30等于( )A.70B.90C.100D.1205.一个等比数列an的首项为a1=2，公比q=3，从第m项到第n项(mn)的

19、和为720，则m的值为( )A.3B.4C.5D.66.数列an是由实数构成的等比数列，Sn=a1+a2+an，则数列Sn中( )A.任一项均不为0B.必有一项不为0C.至多有有限项为0D.或无一项为0，或有无穷多项为07.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低，现在的价格是8100元，则15年后，价格降低为( )A.2200元B.900元C.2400元D.3600元8.数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+2n-1的前n项和Sn等于( )A.2nB.2n-nC.2n+1-n-2D.n-2n9.一个等比数列an共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an+1为(

20、 )A.B.C.20D.11010.已知等比数列an中，an=23n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为( )A.3n-1B.3(3n-1)C.D. 二、填空题1.已知lgx+lgx2+lgx10=110,则lgx+(lgx)2+(lgx)10= .2.在等比数列an中，若Sn=93,an=48，公比q=2，则n=.3.S=1+a+a2+a3+a10=.4.等比数列首项为2，公比为3，从前项的和开始大于100.三、解答题1.已知等比数列an的首项a10，公比q0.设数列bn的通项bn=an+1+an+2(nN+)，数列an、bn的前n项和分别为An与Bn，试比较An与Bn的大小.

21、2.已知数列an为等差数列，公差d0，其中, 恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+kn的值.3.设数列an的前n项和Sn=2an-4(nN+)，数列bn满足：bn+1=an+2bn，且b1=2，(1)求通项an.(2)求bn前n项的和Tn.【素质优化训练】1.设数列an的前n项和Sn=3n-c，求证：c=1是数列an为等比数列的充要条件.2.数列an为等比数列，项数为偶数且各项为正数.如果该数列所有项的和为偶数项的和的4倍，且a2a4=9(a3+a4).问数列lgan的前多少项的和最大?【生活实际运用】1.某种果树至少要培植五年才可以开始采果，有一农户于1988年初利用边角地种植了一批这种果树，1993年开始采果，当年的产量为156千克，1994年至1998年连续5年每年的产量平均比上一年增加50%还多34千克，从1999年起，由于管理等方面的原因导致产量开始下降，且平均每年比上一年减少10%，据估计这种情况还会继续下去.(1)1998年，该农户采得这种水果多少千克?(2)如果用Sn表示该农户从1993年起的n(nN)年内采得这种水果的总量，试求出用n表示的Sn的表达式，并据此计算，到20