第7章弯曲变形.ppt

1、2020/7/28,简明材料力学 刘鸿文主编(第2版),主讲 徐元,2020/7/28,第七章 弯曲变形,7-1 工程中的弯曲变形问题,7-2 挠曲线的微分方程,7-3 用积分法求弯曲变形,7-4 用叠加法求弯曲变形,7-6 提高弯曲刚度的一些措施,7-5 简单超静定梁,2020/7/28,7-1 工程中的弯曲变形问题,2020/7/28,7-1 工程中的弯曲变形问题,2020/7/28,7-1 工程中的弯曲变形问题,梁弯曲变形的概念,挠度-梁的横截面形心在垂直于轴线方向的位移称为挠度，用w表示。 正负规定：图示坐标中上正下负,转角-梁的横截面相对于变形前后初始位置转过的角度，用表示。 正负规

2、定：逆时针为正，反之为负,2020/7/28,2020/7/28,挠曲线-梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲线，其表示式为,w =w(x),转角与挠度w的关系,即：横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率。,挠曲线轴,挠曲线的方程式,刚度条件:,7-2 挠曲线的近似微分方程,挠曲线公式简单推导,由前可知：,而在数学中有：,略去高阶无穷小，得到:,2020/7/28,挠曲线近似微分方程,积分后：,式中的积分常数C、D由梁的边界条件和连续条件确定。,7-3 积分法求梁的变形,2020/7/28,转角方程,挠曲线方程,2020/7/28,积分常数C、D 由梁的位移边界条件

3、和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,例7-1 图示悬臂梁 ，设弯曲刚度EI为常数。,2020/7/28,试建立梁的挠度与转角方程。,解：1）建立梁的挠曲线近似微分方程并积分,积分得,2020/7/28,2）确定积分常数,在固定端处，即 处，,在固定端处，即 处， ，,3）建立转角与挠度方程,4）计算最大转角与挠度,解：1）求A,B支座反力,2）写出梁的弯矩方程,积分后得到:,例7-2 试计算在均布载荷作用下,求 。,3）建立梁的近似微分方程,2020/7/28,2020/7/28,边界条件：,得转角和挠曲线方程,2020/7/28,例7-3 图示简支梁 。设弯曲刚度EI

4、为常数。,试计算梁的最大挠度。,解：1）计算支反力,2）建立梁的挠曲线近似微分方程并积分,段（ ）,2020/7/28,经积分得：,段（ ）,经积分得：,2020/7/28,3）确定积分常数,位移边界条件，即 处， ，,即 处， ，,位移连续条件，即 处， ，,得：,2020/7/28,4）建立挠度方程并求最大挠度,令 ，,得,代入上式得梁的最大挠度,当 时，,2020/7/28,补充实例 图示简支梁 。 设弯曲刚度EI为常数。,试计算梁的最大挠度。,解：1）计算支反力,2）建立梁的挠曲线近似微分方程并积分,经积分得：,（a）,（b）,2020/7/28,3）建立转角与挠度方程,在两端铰支座处

5、，即 处， ，,即 处， ，,将积分常数值代人(a),(b)式得,4）计算最大挠度,令 ，,得,2020/7/28,（1）对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程，只增加了(x-a)的项。,（2）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。,积分法的原则,7-4 用叠加法求弯曲应力,叠加法 当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个 独立作用时变形的叠加。,常见简单载荷作用下梁的变形 教材P162,2020/7/28,结构形式叠加（逐段刚化法 ）,解：均布载荷单独作用时，,集中力F单

6、独作用时，,例7.4 用叠加法求C截面的挠度,2020/7/28,例7-5有车床主轴简化的等截面外伸梁,求图中截面B的转角和端点C的挠度。,解:设想沿截面B将外伸梁分成两部分,AB受力如图。,F2单独作用引起截面B的转角为：,弯矩M引起截面B的转角为：,2020/7/28,端点C的挠度为：,BC段（悬臂梁），F1作用下截面C的挠度为：,M和F2共同作用时的转角,2020/7/28,C点的总挠度,2020/7/28,补充例题试利用叠加法，求图示简支梁挠度 wC 和转角A , B 。,解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。,2020/7/28,（1）正对称荷载作用下,（2）反对称荷载作用

7、下,在跨中C 截面处,挠度 wC等于零,但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零。,可将AC 段和BC 段分别视为受均布载荷作用且长度为l /2 的简支梁。,2020/7/28,可得到：,将相应的位移进行叠加, 即得,2020/7/28,实例：车床加工零件：卡盘夹紧工件、尾座顶针。,2020/7/28,7.6 简单超静定梁,两个平衡方程，三个未知力，这是一次超静定梁。,2、建立变形协调方程,1、建立静力平衡方程,2020/7/28,解出得,3、求弯矩进行强度、刚度计算,计算结果表明，在B点加支座，强度、刚度都有很大的提高。,用叠加法求解超静定梁的方法变形比较法,2020/7/28,例7-7车床床头箱（传动轴） 等截面三支座梁，试用叠加法求解。,解：解出C处约束，用未知力 表示。,2020/7/28,在F力单独作用下，查表得：,转角,挠度,2020/7/28,在FRC力单独作用下，查表得（仿照例7-5）得,把BC部分看作是整体转动了一个 角的悬臂梁。,2020/7/28,变形协调方程：,解出：,，计算支反力、强度和