高中数学第一章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3.1直线与平面垂直课件新人教B版必修2.ppt

1、1.2.3空间中的垂直关系,第一课时直线与平面垂直,1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质,并能利用以上定理和性质解决空间中的垂直问题.,1,2,1.直线与平面垂直的定义及性质,1,2,【做一做1】 如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,则这条直线与这个平面的位置关系为() A.平行B.相交C.垂直D.不确定 答案:D,1,2,2.直线与平面垂直的判定定理与推论 (1)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. (2)推论1:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于平面,那么另一条直线也垂

2、直于这个平面. 推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 名师点拨 利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的,因为“任意一条直线”是不方便研究的,因此根据确定平面的条件,找到两条相交直线便可确定一个平面,这样易于判断直线和平面垂直,即“线不在多,相交就行”.,1,2,【做一做2-1】 在正方体ABCD -A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是() A.平面DD1C1CB.平面A1DCB1 C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB 答案:B,1,2,【做一做2-2】 已知是平面,a,b是直线,且ab,a平面,则b与平面的位置关系是() A.b平面B.b平面 C.b平面D.b与平

3、面相交但不垂直 答案:B,1,2,3,1.对直线与平面垂直的理解 剖析:(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直,它和“所有直线”表达的含义相同. (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式. (3)如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和这个平面内的任意一条直线垂直,如若a,b,则ab.简述之,即“线面垂直,则线线垂直”,这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法.,1,2,3,2.若一条直线垂直于平面内的无数条直线,这条直线与平面垂直吗? 剖析:不一定.如图,直线B1C1与平面AC内的直线AB垂直,且在平面ABCD内与AB平行的所有直线都与B1C1垂直

4、,但直线B1C1平面ABCD.,1,2,3,因此以下两个命题均是错误的,需要引起重视. 命题:如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面; 命题:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面.,1,2,3,3.教材中的“思考与讨论” (1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行?为什么? (2)如何定义两平行平面的距离? 剖析:(1)垂直于同一条直线的两个平面平行. 已知:AA,AA,求证:.,1,2,3,证明:如图,设经过直线AA的两个平面,分别与平面,相交于直线b,b和a,a. 因为AA,AA, 所以AAa,AAa. AA,a,a都在平面内,由平面几何知

5、识:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行. 所以aa, 所以a(线面平行的判定定理). 同理,b. 又因为ab=A,所以.,1,2,3,(2)我们可以这样定义两平行平面的距离. 由问题(1)可知,对于两个平行的平面,一定存在着与它们都垂直的直线,设为l,这样的直线l称为两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的公垂线段,如图,如果AA,BB都是平面与的公垂线段,那么AABB.根据两个平面平行的性质定理,有ABAB,所以四边形AABB是平行四边形,故AA=BB.由此我们得到,两个平行平面的公垂线段都相等.因此,我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离

6、.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例1】 判断下列说法是否正确? (1)若直线l垂直于平面的两条平行直线,则l; (2)若直线l与平面不垂直,则l与内的任何直线不垂直; (3)若直线l垂直于圆的两条直径,则l与该圆所在平面垂直; (4)与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行; (5)过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解:(1)不正确.当直线l与平面内的两条平行直线垂直时,不一定有l,还可能有l或l. (2)不正确.当直线l与平面不垂直时,l可以与平面内的某些直线垂直. (3)正确.圆的任何两条直径都是相交的,由判定定理知结论正确.

7、 (4)不正确.与一个平面的垂线垂直的直线可以与该平面平行,也可能直线在该平面内. (5)正确. 反思 要善于根据线面垂直的定义、判定定理、性质定理对一些结论的正确性作出判断,要重视常见空间模型的运用.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练1】 给出以下说法:若直线l垂直于平面的任一条直线,则l;若直线l垂直于一个梯形的两条边,则它必与该梯形所在平面垂直;若直线a平面,直线b,则必有ab. 其中正确说法的序号是. 解析:由线面垂直的定义知正确;由于梯形的两条边不一定相交,还可能平行,因此l不一定垂直于,错误;容易判断也是正确的. 答案:,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【

8、例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心,求证:B1O平面PAC. 分析:要证明B1O平面PAC,根据直线和平面垂直的判定定理,只需证明B1O垂直于平面PAC内的两条相交直线.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设其棱长为2a, 因为B1B平面ABCD,且AC 平面ABCD, 所以B1BAC.又O是正方形ABCD的中心, 所以ACBD,所以AC平面BB1D1D. 因为B1O 平面BB1D1D,所以B1OAC.,所以B1OPO. 又因为POAC=O,所以B1O平面PAC.,题型一,题型二,题型三

9、,题型四,题型五,反思 1.正方体是最常见的几何体,正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系,它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一. 本题抓住了特殊几何体正方体及特殊点P的位置关系,运用勾股定理的逆定理,通过计算证明了直线和直线垂直,再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直. 2.证明直线与平面垂直时,一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直,如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的,得到错误的结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练2】 已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PA=PC,PB=PD.若O是AC与BD的交点,求证:P

10、O平面ABCD. 证明:因为O是AC与BD的交点,又ABCD是菱形, 所以O是AC的中点,也是BD的中点. 又因为PA=PC,PB=PD, 所以POAC,POBD. 又ACBD=O,所以PO平面ABCD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例3】 如图,已知矩形ABCD,过A作SA平面ABCD,再过A作AESB于点E,过E作EFSC于点F. (1)求证:AFSC; (2)若平面AEF交SD于点G,求证:AGSD. 分析:要证明线线垂直通常先证明线面垂直.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明:(1)因为SA平面ABCD,BC平面ABCD,所以SABC. 因为四边形ABCD为矩形

11、,所以ABBC. 又因为SAAB=A,所以BC平面SAB.所以BCAE. 因为SBAE,SBBC=B,所以AE平面SBC.所以AESC. 又因为EFSC,AEEF=E,所以SC平面AEF.所以AFSC. (2)因为SA平面ABCD,所以SADC. 又因为ADDC,ADSA=A,所以DC平面SAD. 所以DCAG. 由(1)知SC平面AEF,AG平面AEF, 则SCAG.因为DCSC=C,所以AG平面SDC. 故AGSD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思 线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的,证线线垂直的常用思路如下:,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练3】

12、在空间四边形ABCD中,若AB=AC,DB=DC,求证:BCAD. 证明:取BC的中点M,连接AM,MD. AB=AC,DB=DC, AMBC,DMBC. 又AMMD=M, BC平面AMD.AD平面AMD, BCAD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例4】 如图,在多面体ABCDEF中,G为底面正方形ABCD的中心,AB=2EF=2,EFAB,EFFB,BFC=90,BF=FC,H为BC的中点.求证: (1)FH平面EDB; (2)AC平面EDB.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析:(1)证明E与底面中心G的连线和FH平行即可; (2)先证FH是平面ABCD的垂线,再说

13、明ACBD与ACEG即可得证.,所以四边形EFHG为平行四边形. 所以EGFH.又因为EG平面EDB, 所以FH平面EDB.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)由四边形ABCD为正方形,则ABBC. 因为EFAB,EFFB, 所以ABFB.因为FBBC=B,所以AB平面BFC. 所以ABFH. 又因为BF=FC,H为BC的中点,所以FHBC. 因为ABBC=B,所以FH平面ABCD. 因为FHEG, 所以EG平面ABCD.所以ACEG. 又因为ACBD,EGBD=G, 所以AC平面EDB.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思 有关平行、垂直的综合问题,关键要理清几何体的有

14、关线段的长度及位置关系,然后再根据目标逐一寻找关键要素,如第(1)问中关键是求一平行线,第(2)问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC. 求证:(1)MNAD1; (2)M是AB的中点. 证明:(1)四边形ADD1A1为正方形,AD1A1D. 又CD平面ADD1A1,CDAD1. A1DCD=D,AD1平面A1DC. 又MN平面A1DC,MNAD1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)如图,连接ON,在A1DC中,A1O=OD,A1

15、N=NC. ONCDAB. ONAM, 又MNOA,四边形AMNO为平行四边形. M是AB的中点.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,易错点:忽视分类讨论致错 【例5】 已知:线段AB的中点为O,O平面. 求证:A,B两点到平面的距离相等. 错解:如图,过点A,B作平面的垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1,BB1分别是点A,B到平面的距离.又在RtAOA1和RtBOB1中,AO=BO, B1OB=AOA1, 所以RtAOA1RtBOB1, 所以AA1=BB1,即A,B两点到平面的距离相等.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,错因分析:一是忽略了AB的情况说明,二是认为AOA1和B

16、OB1为对顶角而相等,其实应说明B1,O,A1共线才行. 正解:(1)当线段AB平面时,显然A,B到平面的距离均为0,相等. (2)当AB平面时,如图,分别过点A,B作平面的垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1,BB1分别是点A,B到平面的距离,且AA1BB1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,所以AA1与BB1确定一个平面,设为,则=A1B1.因为OAB,AB,所以O. 又因为O,所以OA1B1. 所以AA1A1O,BB1B1O. 因为AOA1=BOB1,AO=BO, 所以RtAA1ORtBB1O.所以AA1=BB1, 即A,B两点到平面的距离相等.,1,2,3,4,5,1.在正方体

17、ABCD-A1B1C1D1中,与AC1垂直的平面是 () A.平面DD1C1CB.平面A1B1CD C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB 答案:D,1,2,3,4,5,2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A.平行B.垂直 C.相交不垂直D.不确定 解析:如果一条直线垂直于三角形的两条边,那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面,因而必与第三边垂直. 答案:B,1,2,3,4,5,3.下列命题: 平行于同一平面的两条直线平行; 垂直于同一平面的两条直线平行; 平行于同一条直线的两平面平行; 垂直于同一条直线的两平面平行. 其中正确的有() A.和B.和 C.和D.和 答案:A,1,2,3,4,5,4.如图,AB是O的直径,PA平面O,C为