高三数学 教案08导数及应用

1、江西乐安一中高三数学 教案08导数及应用【同步教育信息】一.教学内容： 导数及应用二. 重点、难点： 1. 曲线的切线：如图，设曲线C是函数的图象，在曲线C上取点P（）及其邻近的点Q（，）。当点Q沿曲线C无限接近点P时（即），如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT叫曲线C在点P处的切线。设切线PT的倾斜角为，则当时，割线PQ的斜率的极限就是曲线在点P处的切线的斜率，即 注意：直线和曲线有惟一公共点时，不能将此直线叫曲线过该点的切线。如过抛物线顶点与其对称轴平行的直线就不是抛物线的切线。 2. 瞬时速度：已知做变速直线运动的质点的位移公式是，质点在任一时刻的瞬时速度是用的临近时间间隔的平均

2、速度当时间间隔时的极限来定义，即。 3. 导数的定义：如果函数在处的增量与自变量的比值（叫在到之间的平均变化率），当时的极限存在，则称在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为或。 若存在，则称在处左可导，此极限值称为在点处的左导数，记为。 若存在，则称在点处右可导，此极限值称为在处的右导数，记为。 存在的充要条件是： 若在区间（a，b）内的每一点的导数都存在，就说在区间（a，b）内可导，其导数也是（a，b）内的函数，又叫做的导函数，记作或。函数的导函数在时的函数值就是在处的导数。 4. 导数的几何意义：若在处可导，则就等于曲线在点P（）处的切线的斜率，相应地，切线方程为。【例题分析】

3、例1. 若，则_。 解：根据导数的定义，（此时，时，）， 小结：注意中的形式的改变，在此题中即为。此题还可以写成或等形式，关键是形式的改变没有改变导数的实质。 例2. 求证：在处连续但不可导。 证明：可表示为 显然在区间（）及（）内是连续的。 又 故是的连续点，因此在内连续，但，而 不存在，即在处不可导 如图，当时，上每点处的切线斜率都为-1，而时，上每点处的切线斜率都为1 小结：连续性是函数可导的必要条件。实际上，从可导的定义中已保证当时，。这就是连续的实质。 例3. 已知抛物线与直线，求抛物线在与已知直线的交点处的切线方程。 解：联立和得交点为P（3，5）、Q（-2，0） 又， 抛物线在P

4、（3，5）处的切线为；在Q（-2，0）处的切线为 小结：先求出交点，再求出导函数得到抛物线的导数，再分别求交点的导数值。【模拟试题】一. 选择题： 1. 若函数在可导，则错误的结论是（ ） A. 在处必有定义 B. 在处必连续 C. D. 2. 抛物线的切线中斜率为0的那条切线的切点坐标是（ ） A. （1，1）B. （-1，1）C. （0，0）D. （0，1） 3. 曲线在点（）处的切线方程是，那么（ ） A. B. C. D. 不存在 4. 函数的定义域为A，其导数的定义域为B，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点（3，3）处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6.

5、 函数，则在处（ ） A. 不连续不可导B. 连续但不可导 C. 连续且可导D. 不连续但可导二. 填空题： 1. 曲线在点P（1，0）处的切线方程是_。 2. 一质点的运动方程是，则时的瞬时速度大小为_。 3. 已知，则_。 4. 已知，则_。 5. 则_。 6. 曲线在点P（1，4）处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程是_。三. 解答题： 1. 求曲线的切线，使它与直线平行。 2. 求过原点与曲线相切的切线方程。 3. 若是（a，b）内可导的奇函数，又不恒为0，求证：必是（a，b）内的偶函数。【试题答案】一. 选择题： 1. D2. C3. A4. C5. D6. B二. 填空题： 1. 2. 4 3. 4. 0 5. -1 6. 或三. 解答题： 1. 令，故 曲线上任一点的切线的斜率为 由已知，即，因而，故切点为（1，-8），（-1，14），所以切线方程为和。 2. 设切点为，则 又