高三数学一轮 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数导学案 理 北师大版

1、4.1任意角、弧制及任意角的三角函数2014高考会是这样调查1 .三角函数的定义和应用2 .调查三角函数的符号3 .调查弧长式、扇形面积式复习备注必须这样做1 .理解任意角的概念，在坐标系中表示角识别2 .把握三角函数的定义。 这是三角函数的基础1 .角的概念(1)任意角：定义：角可以看作是平面内的一个放射性射线从端点周围的位置向另一个位置旋转的图形分类：角根据旋转方向分为正角、负角和零角(2)拥有与角的末边相同的所有角，包含角而构成的角的集合为S=|=k360 ，kZ。(3)象限角：定义：角的顶点和坐标原点重合，角的起始边和x轴的非负轴重合，角的终边在第几象限，该角如果第几象限角的终边在坐标

2、轴上，则该角不属于任何象限2 .电弧制(1)定义：将与半径长度相等的弧成对的圆心角称为1弧度的角，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。(2)以“弧度”为单位测量角的制度称为电弧制度。|=、l是以角为圆心角时的对圆弧的长度，r是半径.比，与取的r的大小无关，仅与角的大小有关。(3)角度控制与电弧控制的相互化： 180= rad、1=rad、1 rad=。(4)扇形的弧长公式： l=|r，扇形的面积公式： S=lr=|r2。3 .任意角的三角函数(1)任意角的末边和单位圆与点P(x，y )相交时，sin =y、cos =x、tan =.这3个三角函数的初始性质如下表所示。三角

3、函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号符号第四象限氮化合物r-核糖核酸r-三聚氰胺k，k-z系统-(2)三角函数各象限内的符号口战术为：一全正、二正弦、三正切、四侑弦4 .三角函数线如下图所示，假设角的末边和单位圆相交于点p，p为PMx轴，脚为m，a (1，0 )为单位圆的切线与的末边或末边的倒延长线相交于点t。三角函数线(I)(ii )任何人() ()有向线段MP是正弦线。 有向线段OM是侑弦线，有向线段AT为正切线难点原本疑点清源1 .对对角概念的理解必须正确(1)“小于90的角”容易等于“锐角”，“090的角”容易等于“第一象限的角”的同学不在少数。 其实锐角的集合是|090，第

4、一象限角的集合是。如果是cos 0、tan 0，则在第三象限，或者选择c。5 .已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，扇形的圆心角的弧度数为()甲组联赛C.1或4 D.2或4答案c分析以该扇形的半径为r，弧长为l，可以解开或者=4或=1。有关问题型一角的问题写出例1 (1)末边的直线y=x上的角的集合(2)如果角的终端和角的终端相同，则在 0，2内求出终端和角的终端相同的角(3)已知角是第一视角，尝试确定具有2、的象限.思考启发：通过定义用与终点边相同的角表示或判断的角，可以将角放置在坐标系中确定位置象限解(1)最终边的直线y=x上的角的集合是|=k，kZ。(2)与角的终端边相同的角的集

5、合可以表示为|= 2k，kZ，与所有角的终端边相同的角可以表示为= k，k-z。 0，2内的终端边和角终端边相同的角有、。(3)2k2k、k-z，在4k24k 、k0的情况下，r=5t，sin =-、cos =，谭=-；在t0的情况下，r=-5t、sin =，cos =-、tan =-。综合可知，sin =-、cos =、tan =-或者sin =、cos =-、tan =-。问题型三角函数线、三角函数值的符号例3 (1)如果是第二象限角，则尝试判断的符号(2)求已知的cos -、角的集合。思考启发：从所在的象限，可以确定sin 、cos 的符号。 可以利用三角函数线来求解三角不等式解(1)？

6、2 k2 k(k-z )，-100，的符号是负号。(2)如果将直线x=-交单位圆设为c、d两点，连接OC、OD，则由OC和OD包围的区域(图中阴影部分)成为角的终端的范围，因此满足条件的角的集合2 k2 k、kZ。(1)探讨熟练把握三角函数各象限中的符号(2)用单位圆求解三角不等式(组)的一般步骤：用边界值决定角的终点位置根据不等式(组)确定角的范围求交叉，在单位圆中寻找共同的部分写方程式(1)y=的定义域是回答，答案，答案。对sin x进行解析，直线y=交单位圆为a、b两点，OA，若为OB，由于OA和OB所包围的区域(图中阴影部分)在角度的末端的范围内，因此满足条件的角度的集合为x2 k，k

7、Z。如果(sin 20是已知的，|cos |=-cos ，则点P(tan ，cos )位于第几象限。解法从sin 20得到2k 22k 2 (kZ )、k 0 )，将所有圆的半径设为r。如果=60，R=10 cm，则求出扇形的弧长和具有该弧的弓形的面积(2)若扇形的周长为一定值C (C0)，则为几弧度时，该扇形具有最大面积？思考启发： (1)弓形面积可以从扇形面积和三角形面积中减去，(2)建立关于的函数设解(1)弧长为l、弓形面积为s弓时=60=、R=10、l=10=(厘米)、s弓=S扇-S=10-102sin=-=50 (cm2)。扇形周长C=2R l=2R R，r=，s扇=R2=2=另外，

8、仅在2=4、即=2情况下，扇形的面积具有最大值.研究提高(1)在弧度控制下，修正扇形面积和弧长比角度控制下方便、简单(2)根据扇形的面积，用电弧制把问题变换成与相关的不等式，或用二次函数求最大值的方法确定相应的最大值(l=R； S=lR； S=R2.其中r是扇形的半径，l是弧长，(02)是圆心角，s是扇形面积。(1)当半径为r的扇形，其周长等于有弧的半圆长度时，扇形的圆心角为多少弧度，扇形的面积是多少？(2)当扇形周长为20 cm扇形的圆心角等于多少弧时，该扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为 rad，则扇形的周长为2r r。主题意：2r r=r、=(-2) rad。扇形的面积S=r2=(-2)r2。(2)设扇形的半径为r，弧长为l，l 2r=20，即l=20-