高三数学大一轮复习讲义 第2章 函数的单调性与最值学案 苏教版

1、学案五函数的单调性和最大值导学目标：1.了解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.定义判断函数的单调性，用函数的单调区间和单调性求出函数的最大值自主整理1 .单调性(1)定义：一般而言，如果函数y=f(x )的定义域被设定为a，并且对于区间I内的任意两个值x1，x2，x1f(x2 )，则f(x )在区间I中变成单调_。假设单调性定义的等效形式是x1，x2a，b，那么(x1- x2) (f (x1)-f (x2) ) 00 f (x )在(a，b )上是单调的。(3)单调区间：如果函数y=f(x )在某个区间是单调递增函数或减函数，则函数y=f(x )在区间I具有单调性，将单调增加区间和

2、单调减法区间统称为函数y=x (a0)在(-)、()上单调。 单调为0，单调函数y=x (a0)单调增加为。2 .最大值一般而言，假设函数y=f(x )的定义域为a，并且如果存在x0A，那么对于任何x-a都存在f(x)f(x0) (或f(x0) )自我检测如果函数y=ax和y=-都是(0，)且是减函数，那么y=ax2 bx是(0，)且是2.(2011连云港模拟)设f(x )为(-，)上的关增函数，设a为实数，则有f(a2 1)_ .3 .下列函数为(0，1 )且增函数为： _ _ _ _ _ _ (填充编号) :y=1-2x； y=； y=-x2 2x； y=5。如果f(x)=x2 2(a-1

3、)x 4是区间(-，4 )上的减函数，则实数a的可取值的范围是在x-0，5的情况下，函数f(x)=3x2-4x c的值域是点一函数单调性的判定与证明初探示例1通过使用函数f(x)=(ab0)来获得f(x )的单调区间并且描述在该单调区间中f(x )的单调性。已知在变化转换1中，f(x )是在r中定义的增函数，并且关于x-r讨论f(x)0，并且f(5)=1，F(x)=f(x )和f(x )探索点二函数的单调性和最大值例2已知函数f(x)=、x1，)。在(1)a=的情况下，求出函数f(x )的最小值。(2)对于任意的x1，)，f(x)0始终成立，尝试求出实数a的可取值的范围.在变形转变2中，已知函

4、数f(x)=x-在(1，)上是增函数，求出实数a的可取值的范围.点3探索抽象函数的单调性对于任意x，y-r，例3函数f(x )总是f(x) f(y)=f(x y )，在x0的情况下，f(x)0，f(1)(1)求证据： f(x )在r上是减函数(2)求出2)f(x )在-3，3 中的最大值和最小值。在变形迁移3中，已知当在区间(0，)中定义的函数f(x )满足f()=f(x1)-f(x2)，并且x1时，f(x )为0。求出(1)f(1)的值(2)判断2)f(x )的单调性如果(f(3)=-1，则求解不等式f(|x|)-2。分类讨论和数形结合思想求出例(14点) f(x)=x2-2ax-1的区间

5、0，2 中的最大值和最小值。【解答数字大板块】解f(x)=(x-a)2-1-a2，对称轴为x=a.2点在a 0的情况下，从图可以看出，f(x)min=f(0)=-1，f(x)max=f(2)=3-4a.5分(2)在0a 1的情况下，从图可以看出，f(x)min=f(a)=-1-a2，f(x)max=f(2)=3-4在(3)12的情况下，从图可以看出，f(x)min=f(2)=3-4a，f(x)max=f(0)=-1。总之，在(1)a0的情况下，f(x)min=-1，f(x)max=3-4a。在0a 1的情况下，f(x)min=-1-a2，f(x)max=3-4a。12点，f (x )最小值=3

6、-4a，f (x )最大值=-1. 14分钟【突破思维障碍】(1)因为二次函数单调的区间由图像的对称轴决定，所以只要决定对称轴和区间的关系即可(2)是否应该分为a 0、0a2、a2三种情况进行讨论？ 为什么会有四种情况呢？ 这是因为，如果抛物线的对称轴在与区间 0，2 对应的区域中，则在顶点获取最小值，但最大值可能为f(0)，并且最大值可能为f(2)。函数的单调性判定和单调区间决定的常用方法如下(1)定义法(2)导函数法(3)画像法(4)单调性的演算性质如果函数f(x )、g(x )在区间I中具有关单调性词，则在区间I中具有以下性质。(1)f(x )具有与f(x) C相同的单调性。在af(x

7、)的情况下，af(x )和af(x )具有相同的单调性，在af(x )的情况下，af(x )和af(x )具有相反的单调性。当f(x )不总是等于零时，f(x )具有相反的单调性。在g(x )和g(x )都是增加(减法)函数的情况下，g(x )和g(x )是增加(减法)函数。在g(x )和g(x )都是增加(减法)函数时，g(x )和g(x )都总是大于零时，是增加(减法)函数。 在两者都总是小于零的情况下，是减法(增加)函数(满分： 90分)一、填空问题(各问题6分，合订48分)1.(2010泰州模拟)“a=1”是“函数f(x)=x2-2ax 3在区间1，)中被增函数定”的_ .2.(200

8、9天津改编)如果已知函数f(x)=f(2-a2)f(a )，则实数a的可取值范围是3.(2009宁夏、海南改编) a、b、c三个个数中的最小值用mina、b、c表示。 假设f(x)=min2x，x 2，10 -。如果f(x)=-x2 2ax和g(x)=在区间 1，2 中都是减函数，则a的可取值的范围是已知在5.r中定义的增函数f(x )满足f(-x) f(x)=0、x1、x2、x3R、x1 x20、x2 x30。(2011淮安调查)函数y=-(x-3)|x|的增加区间是.假设7.f(x )为递增函数，下列结论必须正确： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (填写编号

9、)。y=f(x)2是增量函数。y=是减函数y=-f(x )是一个减函数。y=|f(x)|是一个增函数。8.(2011苏州质量检验) 00成立。(1)判断并证明1)f(x )在-1，1 上的单调性(2)解不等式： f(x )3.4.a-3五. -c，55 c班级活动区域例1解题指南对于给出具体解析式的函数，为了判断或证明某区间的单调性问题，可以结合定义(基本步骤是取点、制作差、变形、判断)来求解.导函数可以利用导函数来求解.有些函数可以变换为两个以上的基本初等函数解在定义域内任意取x1，x2，并且取x10y=f(x2)-f(x1)=-=。ab0，b-a0，b-a (x2- x1) 0，此外，x(

10、-、-b)(-b、)，x1f(x1)、f (x2)-f (x1)= f (x2) - f (x1) = f (x2) f(x )是r上的增函数，f(5)=1。在x 5的情况下，在05的情况下为f(x)1；如果是x1x15，则为f(x2)f(x1)1，一个f，两个f，一- 0，一个F(x2)F(x1)。总的来说，F(x )在(-，5 )中为减函数，在(5，)中为增函数。例2在解(1)a=的情况下，f(x)=x 2，设为x1，x21，)且x10，f(x1)-f(x2)0、f(x1)0始终成立，与x2 2x a0等价。假设y=x2 2x a，x-1，y=x2 2x a=(x 1)2 a-1增加了，在

11、x=1时，ymin=3 a，仅在ymin=3 a0时，函数f(x )始终成立，所以a-3方法f(x)=x 2，x1，)，当a0时，函数f(x )的值始终为正，满足主题，并且当a0时，函数f(x )增大。在x=1时，仅在f(x)min=3 a、f(x)min=3 a0时，函数f(x)0始终成立，因此a-3方法3区间1，)中f(x)=0总是成立，这与x2 2x a0总是成立等价。即，a-x2-2x总是成立。另外，a-x2-2x始终成立。a必须大于函数u=-x2-2x，x1，)的最大值。a-x2-2x=-(x 1)2 1。在x=1时，u取得最大值-3、a-3。变形迁移2解设备10，即a-x1x2总是

12、成立。11、-x1x2-1。a- 1，a可取值的范围为-1，)。例3解题指南(1)针对抽象函数的问题，根据问题设定和求出的结论，适当取特殊的值来说明抽象函数的特征，证明f(x )是单调递减函数，优先方法用单调性的定义来证明解(1)方法1函数f(x )对于任意x，y-r总是f(x) f(y)=f(x y )。如果x=y=0，则f(0)=0。假设y=-x，则可以获得f(-x)=-f(x )。用r取x1x2的话，x1-x20、f (x1)-f (x2)=f (x1)-f (x2)=f (x1- x2)。此外，x0时为f(x)0、x1-x20，f(x1-x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)-f(x2)f (x1- x2x2)-f (x2)=f (x1- x2)-f (x2)-f (x2)=f(x1