高三数学大一轮复习讲义 2.4二次函数与幂函数 理 新人教A版

1、2.4二次函数和力函数2014高考就这样考1。求二次函数的解析表达式。2.求二次函数的范围或最大值，综合应用一次二次方程，一次二次不等式。利用力函数的图像和性质解决相关问题。复习准备考试要这样做。1.理解二次函数的三茄子解析表达式的特点和应用。要分析二次函数，需要掌握几个茄子核心部分，例如开放方向、对称轴、顶点、函数的定义域等。3.充分运用数形结合思想，掌握二次函数、力函数的性质。1.二次函数的定义和分析公式(1)二次函数的定义诸如F (x)=ax2 bx c _ (a 0)的函数称为二次函数。(2)二次函数分析公式的三种茄子形式正则表达式：f (x)=ax2 bx c _ (a 0)。顶部点

2、：f (x)=a (x-m) 2 n (a 0)。零点：f (x)=a (x-x1) (x-x2) _ (a 0)。二次函数的图像及其性质分析式F (x)=ax2 bx c(A0)F (x)=ax2 bx c(A0)图像正义站(-，)(-，)值班锻造在x上单调地减少。在x上单调地增加在x上单调地增加。在x上单调地减少奇偶校验如果B=0，则为偶数函数；如果b0，则为非奇偶校验函数顶点对称性图像信息线性x=-轴对称图3.力函数y=x(r)等函数称为力函数。其中x是参数，是常数。力函数的图像和特性(1)力函数的图像比较(2)力函数的性质比较请求困难的正本疑团1.二次函数的三种茄子形式(1)知道三点的

3、坐标时，要使用正则表达式。(2)当知道二次函数的顶点坐标，与对称轴相关，或与最大(较小)值相关时，经常使用顶点。(3)如果已知二次函数和X轴之间有两个交点，并且横坐标已知，则用0求出f(x)更方便。2.力函数的图像在(1) (0，1)中，力函数的指数越大，函数图像越接近x轴，在(1，)中，力函数的指数越大，函数图像越远离x轴。(2)函数y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1可以用作研究和学习力函数图像和特性的代表。(。1.如果已知函数f (x)=x2 2 (a-1) x 2是间距(-，3)中的减法函数，则实数a的范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案(-，-

4、2解析F(x)的图像的对称轴为x=1-a，开口为上方。1-a3，即a -2。2.已知函数y=x2-2x 3表示封闭间隙0，m的最大值为3，如果最小值为2，则m的范围为_ _ _ _ _ _ _ _。答案1，2解释Y=x2-2x 3的镜像轴为x=1。在M1中，y=f (x)是从0，m中减去的函数。ymax=f(0)=3，ymin=f (m)=m2-2m 3=2。m=1，无解决方案。当1m2时，ymin=f (1)=12-21 3=2，Ymax=f (0)=3。在M2中，ymax=f (m)=m2-2m 3=3，m=0，m=2，无解决方案。1m2。3.力函数y=(m2-3m 3) xm2-m-2的

5、图像未通过原点，则实数m的值为_ _ _ _ _ _ _ _。答案1或2由进行分析，解决方案m=1或2。检查后，m=1或2是适当的。4.(印校a板块教材案例改编)在图中，曲线是第一个象限中力函数y=xn的图像。已知n取2，4值、曲线C1、C2、C3、C4的n值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案2，-，-2分析可以根据函数图像是否通过原点来判断N的符号，然后根据函数凸凹性来确定N的值。5.函数f (x)=x2 MX 1的图像线x=1对称的充分条件是()A.m=-2b.m=2C.m=-1d.m=1答案a分析函数f (x)=x2 MX 1的图像的镜像轴为x=-，因为只有一个镜像轴-=

6、1，即m=-2。问题类型1寻找二次函数的解析公式。已知示例1二次函数f(x)满足f (2)=-1、f (-1)=-1，f(x)的最大值为8。思维启蒙：使用待定系数法确定二次函数，有三种茄子形式可以根据条件灵活运用。解决方法设置f (x)=ax2 bx c (a 0)、按照问题的意思有解决方法，应该得到。所需的二次函数求解表达式为f (x)=-4x2 4x 7。方法2设置f (x)=a (x-m) 2 n，a 0。f(2)=f(-1)、抛物线对称轴为x=.m=。根据问题函数，最大值为n=8。y=f(x)=a2 8。f (2)=-1，-a2 8=-1，解a=-4。f(x)=-42 8=-4x 2

7、4x 7。方法3表明，两个f (x) 1=0因为X1=2，x2=-1，所以f (x) 1=a (x-2) (x 1)，a0。即f (x)=ax2-ax-2a-1。函数还具有最大ymax=8，即=8牙齿。求解时，得到a=-4或a=0(舍去)。函数分析公式为f (x)=-4x2 4x 7。探索提高二次函数有三种茄子形式的解析表达式，根据具体情况，应选择“是”、“对称”、“最大”。关闭，可以选择顶点；与二次函数的零点相关，可以选择零点表达式。正则表达式可以用作二次函数最终结果已知二次函数f(x)同时满足条件。(1)f(1 x)=f(1-x)；(2)f(x)的最大值为15。(3) f (x)=0的两个

8、立方体的和为17 .求F(x)的解析公式。根据条件设定f (x)=a (x-1) 2 15 (A0)。即f (x)=ax2-2ax a 15。创建F (x)=0，即ax2-2ax a 15=0。x1 x2=2，x1x2=1。相反，x x=(x1 x2) 3-3x1x2 (x1 x2)=23-32=2-，2-=17时，a=-6。f(x)=-6x 2 12x 9。问题二次函数的图像和性质示例2已知函数f (x)=x2 2ax 3，x-4，6。(1)当a=-2时，取得f(x)的最大值。(2)求实数a的值范围，以便y=f (x)成为间隔-4，6中的单调函数。(3)当a=1时，求f(|x|)的单调间隔。

9、思维启发：(1)和(2)可以根据对称轴和区间的关系直接解释，(3)要先把函数做成分段函数，然后找出单调区间，注意函数定义领域的限制作用。分析(1) a=-2时，由于f (x)=x2-4x 3=(x-2) 2-1，x-4，6，f (x)从-4，2单调递减，2，6单调递增。f(x)的最小值为f (2)=-1，f (-4)=35，f (6)=15，因此f(x)的最大值为35。(2)函数f(x)的图像洞口向上上升，镜像轴为x=-a，因此需要将f(x)从-4，6变为单调函数必须有数，-a -4或-a 6，即a -6或a4。(3)当a=1时，f (x)=x2 2x 3，f(| x |)=x2 2 | x

10、| 3，对于牙齿，定义字段为x-6，6。和f (x)=，f(| x |)的单调递增间隔为(0，6)。单调的递减间隔为-6，0。探索增量(1)在二次函数的封闭区间中，最大值主要是固定轴固定区间、固定轴移动区间、轴固定区间移动，任何类型解决的关键是调查对称轴和区间的关系。包含参数时，应根据对称轴和间距的关系进行分类和讨论。(2)二次函数的单调问题主要根据二次函数图像的对称轴进行分析、讨论和解决。如果在函数f (x)=2x2 MX-1牙齿间距-1，下增加，则f (-1)的范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案(-，-3)分析-抛物线洞口上方，镜像轴x=-、-1，m4。此外

11、，f (-1)=1-m -3，f(-1)(-，-3)。问题型三次函数的综合应用示例3 (2012次模拟)次函数f(x)=ax2 bx c (a 0)满足f (x 1)-f (x)=2x，f (0)的情况(2)在间距-1，1中，不等式f (x) 2x m牙齿常数的情况下，求出实数m的值范围。思维启发：(1)对于f (0)=1，可以得到c，如果f(x 1)-f (x)=2x项成立，可以求出a，b，来确定f(x)的解析表达式解决方案(1)为f (0)=1，c=1。f(x)=ax2 bx 1。另外，f (x 1)-f (x)=2x，a(x 1)2 b(x 1)1-(ax2 bx 1)=2x，也就是说，

12、2ax a b=2x，因此，f (x)=x2-x 1。(2) f (x) 2x m等于x2-x 12x m，即x2-3x 1-m0。在-1，1中，要使牙齿不等式恒定，只需函数gg(x)=x2-3x 1-m从-1，1单调递减。g(x)min=g(1)=-m-1，从-m-10获得的m-1。因此，满足条件的实数m的范围为(-，-1)。二次函数，二次方程，二次不等式统称为“三次二次”，它们经常结合在一起。二次函数又是“三次二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿在一起。所以是关于2的。二次函数的问题、数形的结合、与图像的密切联系是探索问题解决思维的有效方法。用函数思想研究。方程，不等式(尤其是常数成立)问

13、题是高考命题的热点。(2012烧酒模拟)已知函数f (x)=x2 MX n的图像溢出点(1，3)和f (-1 x)=F (-1-x)对所有实数都成立，y=g (x)和y=f (x)函数的图像关于原点对称。(1)求f(x)和g(x)的解析公式。(2)如果f (x)=g (x)- f (x)是(-1，1)的加值函数，则得出实数的值范围。解决方案(1)f(x)=x2 MX n、-f(-1 x)=(-1 x)2m(-1 x)n=x2-2x 1 MX n-m=x2 (m-2) x n-m 1，F (-1-x)=(-1-x) 2 m (-1-x) n=x2 2x 1-MX-m n=x2 (2-m) x n

14、-m 1。另外，f (-1 x)=f (-1-x)，m-2=2-m或m=2。另外，f(x)的图像超过了点(1，3)，3=12m n，即m n=2，n=0，f(x)=x2 2x，Y=g (x)和y=f (x)的图像围绕原点对称。-g(x)=(-x)2 2(-x)，g (x)=-x2 2x。(2)f(x)=g(x)-f(x)=-(1)x2(2-2)x， 1 0时，F(x)的对称轴为x=、另外，f (x)是(-1，1)中的附加函数。或。-1或-1 0。 1=0，即=-1，则f (x)=4x显然是(-1，1)中的增量函数。摘要的范围为(-，0)。问题4力函数的图像和性质示例4已知力函数f(x)=xm2

15、-2m-3(mn *)的图像围绕y轴对称，从(0，)缠绕求数量，满意(a 1)-(3-2a)-a的值范围。思维启发：从力函数的特性中得到平方指数M2-2M-30，组合M为整数，力函数为偶数得M的值。解函数从(0，)中减小。m2-2m-30，了解-13-2a0或0a 13-2a或a 103-2a .理解A-1或f (a-1)中的实数a值范围。解决方案(1) m2 m=m (m 1)，m-n *，m和m 1中的一个是偶数，m (m 1)是偶数。函数f(x)=x(m2 m)-1(mn *)的定义字段为0，是定义字段的附加函数。(2)函数f(x)通过点(2)、=2(m2 m)-1，即2=2 (m2 m

16、)-1。m=-2m=2。m=1或m=-2。另外，mn *，m=1。从F (2-a) f (a-1)获得解1a。a的范围为1，。分类讨论思想在二次函数中的应用例如：(14分钟)将a设置为“实数”，函数f (x)=2x2 (x-a) | x-a |。(1)如果f(0)1，则得出a的值范围。求(2) f(x)的最小值。(3)函数h (x)=f (x)、x(a，)、直接编写(无需提供计算步骤)不等式h(x)1的解集。求心制视觉(1) A的值范围是求A的不等式，解不等式就行了。(2)找f(x)最多因为F(x)可以变成分段函数，所以分段函数的最大值是分段后组合在一起的较小值。(3)讨论a讨论的时候要找到适当的分类标准。规范答案分析(1) f (0)=-a |-a