高三数学大一轮复习讲义 8.2空间几何体的表面积与体积 理 新人教A版

1、8.2空间几何的表面积和体积2014高考会如上所述结合1 .三视，调查几何体积的表面积、体积2 .作为解答问题中的一个问题，结合空间线面关系调查几何体积的修正算法复习备考必须这样做1 .记住公式，理解公式的意义2 .结合几何的结构特征，用公式解决一些修正计算问题1 .柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱s侧=2rhV=Sh=r2h圆锥s侧=rlV=Sh=r2h=r2圆台s侧=(r1 r2)lV=(S上s下) h=(r r r1r2)h柱形垂直角s侧=ChV=Sh正角锥s侧=ch V=Sh正棱台s侧=(c c)h V=(S上s下) h球s球面=4R2V=R32 .几何表面积(1)棱柱、棱锥、

2、棱锥台的表面积为各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆锥台的侧面展开图分别为矩形、扇形、扇环状的这些个的表面积与侧面积和底面面积之和相等难点原本疑点清源1 .几何图形的侧面积和总面积此外，优选地，相对侧的面积公式的存储与几何的侧面展开图一起进行，特别地，留心了基于几何的侧面展开图的平面图的特征来解决问题2 .等积法等积法是以在已知的条件下得到几何图形(或几何图形)的面积(或体积)为前提，利用等积法求出几何图形的高度或几何图形的高度，特别是求出三角形的高度和三棱锥的高度，是通过具体地绘图而得到的三角形(或三棱锥1 .圆柱的底面积为s，侧面展开图为正方形时，该圆柱的侧面积为答案4S设解析圆柱的底面半径为

3、r，则r=、另外，侧面展开图为正方形，圆柱的高度h=2圆柱侧=4S。2 .以下是几何的三个视图(尺寸长度单位为m ) : 几何体积为_m3。答案4解析该空间几何为三棱锥，该三棱锥的高度为2，底面为一边的长度为4，这一边的高度为3的二全等三角形，其体积为V=432=4。3 .表面积为3的圆锥，其侧面展开图为半圆，该圆锥的底面直径为答案2假设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r .则分析为l2 r2=3，l=2r，r=1，即圆锥的底面直径为2。4 .如果一个球与一个立方形的每个面接触，并且立方形边的长度为a，则球的表面积为回答a2分析从题意可知，球的半径R=。s球=4R2=a2。5 .如所参考的，在p

4、rism的长度为4的立方形ABCD-a1b-1c-1 d 1中，p的值等于或大于A1B1另一方面，如果PB1=A1B1，则多面体PBB1C1C的体积为答案解析-四角锥PBB1C1C的底面积为16，高PB1=1，VPBB1C1C=161=。问题型空间几何的表面积示例1如果空间几何图形的三个视图如图所示，则该几何图形的表面积为()A.48 B.32 8c.488足球俱乐部思考启发：首先用三视角确定空间几何的结构特征，然后求表面积答案c解析3视图中已知的该几何的直观图如图所示，该几何的下底面是边的长度为4的正方形，上底面是长度4，宽度2的矩形，两个梯形侧面与底面垂直，上底长度为2，下底长度为4，高度

5、为4，另一侧面是矩形，宽度为4，长度=.s表=4224(1)以三视点为载体调查几何的表面积的研究，重要的是能恰当地分析给出的三视点，从三视点能发现几何中各要素间的位置关系和数量关系(2)多面体的表面积为各面面积之和的组合体的表面积必须注意重叠部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆锥台的侧面是曲面，修正侧面积时需要将该曲面展开为平面图形进行修正，表面积是侧面积和底面圆面积之和一个几何的三个视图(单位： cm )为_cm2，如图所示。回答4 12在分析中，该几何是四角柱、半圆柱、半球的组合，四角柱的上表面和半球重叠的部分以外的面积是12-12=2-，四角柱不重叠的表面积是2- 122 22 2=12-，半

6、圆柱不重叠的表面积问题型双空间几何体积如例2图所示，已知e、f分别为棱镜长度为a的立方形求出ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点、四角锥C1B1EDF体积思考启发：构想1 :先求出四角锥C1B1EDF的高度及其底面积，再用四角锥的体积公式求出其体积构想2 :将四角锥c1-b1edf化为两个三棱锥B1C1EF和DC1EF，然后求四角锥c1-b1edf的体积。解法是将A1C1、B1D1与点O1连接，将B1D、EF连接，通过O1将O1HB1D与H.EFA1C1连接，将A1C1平面B1EDF、a1c 1平面B1EDF从c 1到平面B1EDF的距离是从A1C1到平面B1EDF的距离。平面b1

7、d平面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDF=B1D，O1H平面B1EDF，即O1H是角锥的高度。b1o1h -b1DD 1，O1H=a。VC1B1EDF=S四边形B1EDFO1H=EFB1DO1H=aaa=a3。方法2连接ef、B1D当设从B1到平面C1EF的距离为h1、设从d到平面C1EF的距离为h2时，成为h1 h2=B1D1=a。从标题的意义来看，vc1-b1edf=vb1-c1ef vd-c1ef=SC1EF(h1 h2)=a3。为了求出几个不规则几何体积和两个几何体积的比，大多需要分割法。 在求一个几何被分割成两部分的体积之比时，如果一部分是不规则的几何，可以从几何整体的体积中减

8、去规则的几何体积来求体积(2012课标全国)已知三棱锥S-ABC的顶点都在球o的球面上，ABC一边为1的正三角形，SC为球o的直径，如果SC=2，则该角锥的体积为()甲乙丙丁。答案a由于棱镜项目S-ABC和棱镜项目O-ABC底面都是ABC、o是SC的中点，所以棱镜项目S-ABC的高度是棱镜项目O-ABC的高度的2倍，三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC的体积的2倍。在三棱锥O-ABC中，其棱长都为1，如图所示，SABC=AB2=、高OD=、VS-ABC=2VO-ABC=2=。问题类型3几何的展开和折叠问题如例3 (1)图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC和BD相交于o，切取AO

9、B，将剩馀的部分沿着OC、OD折叠，将OA、OB重叠，则为a、b，以c、d、o为顶点的四面体片的体积为(2)有长3 cm、底面直径2 cm的圆柱形铁元素管，在铁元素管上用1根金属丝绕2圈，将金属丝的两端点落在圆柱同一母线的两端，金属丝的最短长度为_ cm。思考启发： (1)考虑折叠几何的形状和数量的关系；(2)可以利用圆柱的侧面展开图答案(1) (2)5解析(1)折叠的四面体片如图所示OA、OC和OD两者都是垂直的，并且OA=OC=OD=2，体积V=SOCDOA=(2)3=。(2)展开圆柱侧面和卷绕在其上的金属丝，在平面上得到矩形ABCD (图)，从题意来看，BC=3 cm、AB=4 cm、点

10、a和点c分别是金属丝的起伏、停止位置，因此，线段AC的长度为金属丝的最短长度.AC=5(厘米)，铁丝的最短长度是5 cm(1)为了探讨有关折叠日式榻榻米的问题，必须明确折叠前后的两图形(折叠日式榻榻米前的平面图形和折叠日式榻榻米后的空间图形)的各要素间的位置和数量的关系、怎样的变化、怎样的不变。(2)研究几何表面上两点的最短距离问题，总是选择合适的母线或棱展开，转化为平面上两点之间的最短距离问题如图所示，已知一个多面体的平面展开图由1边长为1的正方形和4边长为1的正三角形构成，该多面体的体积为答案解析图，四角锥的高度h=、V=Sh=1=。转换思想在立体几何核算中的应用典型例： (12点)如图所

11、示，在垂直角柱ABC-abc 中，底面是边的长度为3的等边3方形，aa=4，m是aa的中点，p是BC上的点，从p开始沿着棱柱侧面设从棱cc到m的最短路径长度为，设该最短路径与cc的升交点为n，麻烦你了。(1)该三角柱侧面展开图的对折角线长度(2)PC和NC的长度(3)三棱锥CMNP的体积审查问题的视点(1)侧面展开图从哪里剪下来弄平(2)MN NP最短在展开图上呈现怎样的形状(3)三棱锥由谁来做到底好呢？规范解答解(1)这个三角柱的侧面展开图因为一边的长度分别是4和9的矩形，所以对折角线的长度=.2点(2)将该三角柱的侧面沿棱bb展开，如下图所示，当设PC=x时，则成为MP2=MA2 (AC

12、x)2。MP=、MA=2、AC=3，x=2，即PC=2。另外，因为是NCAM，即=。NC=.8分(3)SPCN=CPCN=2=。在三棱锥MPCN处，从m到面PCN的距离为：即，h=3=。vc-mnp=vm-pcn=hspcn=.12分温暖注意(1)解决空间几何表面上的最大值问题的根本思维方法是“展开”，展开空间几何的“面”后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最大值问题(2)如果已知的空间几何是多面体，根据问题的情况，可以将该多面体沿着有多面体的棱或两个面的交线展开，将一个平面上不存在的问题转换为一个平面上如果是圆柱、圆锥，则沿母线展开，可以将曲面上的问题转换为平面上的问题(3)本问题的容易出

13、错的点是，不知道从哪个侧边切离并弄平，不能正确地描绘侧展开图，缺乏的从空间图形向平面图形的转换意识方法和技巧1 .对于用基本概念和公式直接求棱柱、棱锥、棱锥台和球表面积的问题，应结合它们的结构特征和平面几何知识加以解决2 .应注意将空间问题转化为平面问题3 .要求几何体积，注意分割和补形。 不规则几何通过分割或补形转换为规则几何求解4 .有些几何表面上的最短距离问题通常利用几何展开图解决失误与防范1 .几何的展开、折叠问题，必须抓住前后两个图形之间的连接，找出其中量的关系2 .与球有关的组合体的问题，一个是内切，一个是外接，在解决问题时很好地分析图形，明确接点和接点的位置，确定要素间的数量关系

14、，适当的截面图，例如球与正方形内接，接点在正方形的各面的中心，正方形的棱长与球的直径相等的球与立方形外接，立方形的a组专业基础培训(时间： 35分，满分： 57分)一、选择题(各问题5分，修订20分)1. (2012课标全国)如图所示，网格纸的小正方形边长为1，粗线描绘了三个视图，因此该几何体的体积为()A.6 B.9 C.12 D.18答案b解析结合三视知识求三棱锥的体积从题意可以看出，该几何图形为三棱锥，其高度为h=3，对应的底面面积为S=63=9。V=Sh=93=9。2 .已知高度为3的垂直角柱ABC-abc 的底面是边的长度为1的正三角形(如右图所示)三棱锥b-ABC的体积为()甲骨文

15、。C. D答案d分析vb-abc=bbsabc=312=。3 .正六角柱的高度为6、底面边的长度为4时，其总面积为()a.48 (三) b.48 (三二)C.24() D.144答案a分析s底=642=24，s侧=646=144，s全=S侧2S底=144 48=48(3)。4. (2012北京牌)如某三棱锥的透视图所示，该三棱锥的表面积是(-)A.28 6 B.30 6C.56 12 D.60 12答案b解析根据几何的3个视图描绘其直观图，利用直观图的图形特征求出其表面积从几何图形的3个视图可以看出，该三棱锥的直观图如图所示其中AE平面BCD、CDBD、CD=4、BD=5、BE=2、ED=3、AE=4。AE=4，ED=3，AD=5。再有CDBD、CDAE，CD平面ABD，已故CDAD，AC=且SACD=10。对于RtABE，AE=4并且BE=2，因此AB=2。在RtBCD中，BD=5、CD=4，因此，SBCD=10，BC=。在ABD的情况下，由于AE=4，BD=5，因此SABD=10。在ABC中，AB=2，BC=AC=、因为AB边缘上的高度h=6，所以SABC=26=6。因此，该三棱锥表面积为S=30 6 .二、填空问题