高三数学大一轮复习讲义 8.7立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直 理 新人教A版

1、8.7立体几何中的矢量法()证明平行和垂直2014高考会就像这样，1 .利用线、线面、面的关系来调查空间向量的运算2 .能够用向量法来证明线面的平行或垂直3 .使用向量法来解决立体几何中的一些探索性问题复习备注这样做1 .能够理解直线的方向矢量和平面的法向量的直线，直线和平面，能够用矢量语言表现平面和平面的垂直和平行的关系3 .能够用矢量法证明关于直线和平面的位置关系的几个定理(包括三垂线定理)4.立体几何问题研究中的矢量方法的1 .直线上直线或点的位置用矢量表示(1)给出定点a和矢量a，再给出实数t，以a为起点矢量=ta，此矢量方程式称为直线l的残奥仪表方程式，矢量a称为此直线的方向矢量。(

2、2)对于任何确定的点o，点p在直线l上的充足条件是存在唯一的实数t，满足等式=(1-t) t，称为空间直线的向量残奥仪表方程式。2 .用向量证明空间中的平行关系(1)假设直线l1和l2的方向矢量分别为v1和v2，则l1l2 (或l1和l2重叠) v1v2。(2)假设直线l的方向向量是v，并且与平面平齐的两个非共轭向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，并且v=xv1 yv2。(3)设直线l的方向矢量为v，平面的法向量为u时，则l或lvu(4)当将平面和的法向量分别设为u1、u2时，成为u1 u2。3 .用向量证明空间中的垂直关系(1)如果把直线l1和l2的方向矢量分别设为v1和v2，则l

3、1l2v1 v2=0。(2)设直线l的方向矢量为v，平面的法向量为u，则lvu(3)如果把平面和的法向量分别设为u1和u2，则u 1u2u2=0。难点原本疑点清源利用空间向量解决立体几何中的平行问题(1)只要证明两条直线平行，并证明这些个两条直线的方向向量是共线向量即可，但注意说明这些个两条直线不是共线(2)证明线面平行的方法；证明直线的方向矢量与平面的法向量垂直，但说明直线不在平面内证明在平面内找到矢量和已知直线的方向矢量；共线也必须说明直线不在平面内利用共面定理证明直线的方向向量和平面内的两个非共面向量是共面的。 在云同步中留心直线不在平面内1 .两个不重叠直线l1和l2的方向矢量分别为v

4、1=(1，0，-1)、v2=(-2，0，2 )，l1和l2的位置关系为答案是平行的分析v2=-2v1、v1v2，或者l1和l2不重叠。2 .已知=(1，5，-2)、=(3，1，z )、=(x-1，y，-3)且BP平面abb回答，-，4解析是从题意知道的，、)所以也就是说解，x=，y=-，z=4。3 .已知的a=(-2，- 3，1 )，a=(-2，0，4 )，c=(-4，- 6，2 )的结论是正确的()ac、bc B.ab、acC.ac，ab D .以上是错误的答案c分析c=2a，另外，ab=(-2，- 3，1 ) (2，0，4 )=-404=0，ab。4 .如果平面和垂直，那么接下来可以设置这

5、些个的两个平面的法向量是()a.n1=(1，2，1 )，n2=(-3，1，1 )b.n1=(1，1，2 )，n2=(-2，1，1 )c.n1=(1，1，1 )，n2=(-1，2，1 )d.n1=(1，2，1 )，n2=(0，-2，-2)答案a解析2个平面为垂直时，其法向量也为垂直，只有选择项a中的2个向量为垂直5 .如果平面和的法向量分别是n1=(2，- 3，5 )和n2=(-3，1，1，-4)，那么()A. B.C.、相交但不垂直d .以上不正确答案c用题型1空间向量证明平行问题如例1图所示，在立方形ABCDA1B1C1D1中，m、n分别为C1C，B1C1的中点.求证： MN平面A1BD。思

6、想启发：线面平行，也可以利用判定定理寻找可以证明线平行的平面法向量证明方法1如图所示，将d作为原点，将DA、DC、DD1所在直线分别作为x轴、y轴、z轴来制作空间直角坐标系，将立方形的角锥长度设为1，m、n、d (0，0，0 )、a1(1，0，1 )、b (1，1，0 )，所以=、设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z )。n=0且n=0假设x=1，得到y=-1，z=-1.n=(1，-1，-1)。另外，n=(1，-1，-1)=0，n，又是mn平面A1BD，平面A1BD。方法=-=-=(-)=、另外，mn和DA1不是共线，此外，Mn平面A1BD、a1d平面A1BD，平面A1BD。要想探索在向量

7、中证明线面平行的方法(1)证明该直线的方向矢量与有平面的法向量垂直(2)证明该直线的方向向量与平面内的某直线的方向向量平行(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的2个不共线的向量线性表现(4)正题容易出错的地方：仅证明MNA1D，忽略mn平面A1BD。如该图所示，平面PAD平面ABCD、ABCD为正方形，PAD为垂直角三角形，且PA=AD=2、e、f、g分别为线段PA、PD、CD的中点。寻求证据： PB平面EFG。证明平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形，以ab、AP、AD两垂直、a为坐标原点，制作如图所示的空间直角坐标系Axyz，a (0，0，0 )，b (2，0，0 )，c (2，2，

8、0 )，d (0，2，0 )，p (0，0，0 )e (0，0，1 )，f (0，1，1 )，g (1，2，0 )。=(2，0，-2)、=(0，- 1，0 )、=(1，1，-1)，设为=s t，即，(2，0，-2)=s(0，- 1，0 ) t (1，1，-1)，解得到了s=t=2。=2 2，又-、不共线、共面Pb平面EFG，Pb平面EFG。用题型2空间向量证明垂直问题如例2图所示，正三角柱ABCA1B1C1的所有prism长度都为2，d为CC1的中点.求证： AB1平面A1BD。如果将证明方法平面A1BD内的任意直线m的方向矢量从m .共面定理，则存在实数、，使得m= 。如果设为=a、=b、=

9、c，则明显它们不是共面的，将|a|=|b|=|c|=2、ab=ac=0、bc=2作为空间的一个基础。分别为：=a c、=a b、=a-c，m= =a b c，m=(a-c )=4-2-4=0。故m，结论得到了证明方法2如图所示，取BC的中点o，连接AO因为ABC是正三角形，所以AOBC在正三角柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1。取B1C1的中点O1，以o为原点，为x轴、y轴、z轴作成空间直角坐标系，b (1，0，0 )，d (-1，1，0 )，a1(0，2，2 )，a (0，0，)和b1(1，2，0 )。平面A1BD的法向量被设置为n=(x，y，z )

10、、=(-1，2，2 )、=(-1，2，1，0 )。由于n、n，故乡假设x=1，则y=2，z=-，因此，n=(1，2，- )是平面A1BD的法向量，并且，因为=(1，2，- )所以=n所以。故AB1平面A1BD。在探索证明面的平行与垂直的问题中，既可以使用几何法，也可以使用向量法。 使用向量法的关键是建构向量，使用共线向量定理或共面向量定理和两向量的垂直判定定理。 如果能建立空间垂直角坐标系，其证明方法灵活方便如该图所示，可知在直三角柱ABCA1B1C1中，ABC是等腰垂直角三角形，BAC=90，AB=AA1、d、e、f分别是B1A、C1C、BC的中点。(1)DE平面ABC(2)B1F平面AEF

11、。证明(1)如图所示，创建空间直角坐标系Axyz，设定AB=AA1=4，a (0，0，0 )，e (0，4，2 )，f (2，2，0 )，b (4，0，0 )，b1(4，0，0 )将AB的中点设为n，连接CN，n (2，0，0 )，c (0，4，0 )，d (2，0，2 )，(-2，4，0 )、=(-2，4，0 )，日本电脑公司，此外，NC平面ABC、de平面ABC。已故DE平面ABC。(2)=(-2，2，2，-4)，=(2，-2，-2)，=(2，2，0 )。=(-2)2 2(-2) (-4)(-2)=0，=(-2)2 22 (-4)0=0。、即B1FEF、B1FAF，另外，AFFE=F，B1

12、F平面AEF。利用问题型三空间向量解决探索性问题如例3 (2012福建)图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，e是CD的中点(1)征求证据： B1EAD1；(2)棱AA1上是否存在少许p，DP平面B1AE？ 如果存在，求出AP的长度。如果不存在，则说明理由思想启发：用向量法建立空间垂直角坐标系，对于变换几何问题的存在性问题可以用修正算出结论(1)将a作为原点、的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向来制作空间直角坐标系(图)。假设AB=a，则a (0，0，0 )、d (0，1，0 )、d1(0，1，1 )、e、B1(a、0、1 )，因此=(0，1，1 )、=(a，0，1

13、 )、=。数字=-0 11 (-1)1=0，B1EAD1。(2)解假说在棱AA1上稍微存在p (0，0，z0)。设DP平面B1AE，此时=(0，-1，z0)。设平面B1AE的法向量n=(x，y，z )。n、平面B1AE、n、n、得到如果x=1，则获得了平面B1AE的法向量n=。要使用DP平面B1AE，只要有n、-az0=0，解z0=.另外，dp平面B1AE，存在点p，满足DP平面B1AE，此时AP=。提高对“是否存在”型问题的搜索的方法有：根据条件进行判断，进一步论证的方法；和利用空间向量设定假定存在点的坐标，根据条件化学基求出该点的坐标，即找到“存在点”，如果不能求出该点的坐标或者有不符点如

14、图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，各个棱的长度是底面边的长度的倍，p是棱SD上的点.(1)征求证据： ACSD。(2)如果是SD平面PAC，则求出在侧棱SC上是否存在点e，如果存在be平面PAC .则求出SEEC的值。 如果不存在，试着说明一下理由吧(1)如果证明连接BD，AC交流BD设为o，则ACBD从题意中了解SO平面ABCD。以o为坐标原点，分别以x轴、y轴、z轴正方向作成空间直角坐标系图。如果将底面边的长度设为a，则高SO=a，因此s、d是，b，c，=，=，则=0。已故OCSD .到ACSD。(2)在解棱SC上稍微存在e，制作BE平面PAC。理由如下从已知条件可知是平面PAC的法

15、向量然后=、=、=。设为=t，=t=、然后=0t=。即，SEEC=21时为。另一方面，BE不在平面PAC中，因此BE平面PAC。利用空间向量解决立体几何问题典型例： (12点) (2011大纲全国)如图所示，在四角锥S-ABCD中，BCCD、侧面SAB是全等三角形、AB=BC=2、CD=SD=1。(1)证明： SD平面SAB；(2)求出ab与平面SBC所成的角的正弦值。试验点分析本问题以四角锥为载体，研究了多面体的结构特征、线面垂直的判定以及直线与平面所成角度的修正计算解题策略的本问题有两个解题思路：利用通常的方法，由线的垂直来证明线的面是垂直的；利用所求出的线的面的角；利用空间向量，将线面变

16、换为两个向量的关系；利用平面的法向量来求出线面角规范解答(1)将c设为坐标原点，将放射性射线CD设为x轴的正轴，将放射性射线CB设为y轴的正轴，由此证明制作了图所示的空间直角坐标系C-xyz。假设d (1，0，0 )，则a (2，2，0 )、b (0，2，0 ). 2分假设S(x，y，z )是x0、y0和z0。=(x-2、y-2、z )，=(x，y-2，z )，=(x-1，y，z )，|=|得到=、所以x=1。|=1得到的y2 z2=1.另外，从|=2得到x2 (y-2)2 z2=4，即y2 z2-4y 1=0.联立6分于是，S(1，)，=(-1，-，)，=(1，-，)=(0，)。因为=0，=0，已故的DSAS、DSBS。另外，因为ASBS=S，所以SD平面SAB.8点(2)求解平面SBC的尺法向量a=(m，n，p )，成为a、a、a=0、a=0。另外=(1，-，)=(0，2，0 )、故乡取p=2就是a=(-，0，2 )另外=(-2，0，0 )、cosa=，因此，AB与平面SBC所成的角的正弦值为. 12点解后反省直线与平面的位置关系可以利用直线的方向矢量与平面的法向量的关系来判断(2)证明线面平行：证明直线的方向矢量与平面的法向量垂直，证明直线的方向矢量可以用平面内的2个非共线矢量来线性表示(3) 证明面平行：可证明两个平面的法向量为共线(4)证明线垂直：可