龙贝格求积公式.ppt

1、（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长 ；,（2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计；,（3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大；,（4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。,三、积分步长的自动选取：,注意事项：,基本思想：,将积分区间逐次分半,终止法则：,前后两次近似值的误差小于已知精度,主讲人：,具体过程（以复化梯形公式为例）,1、首先将区间 n等分：,2、再将区间 2n等分，即步长减半：,上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。,3、终止条件：,由复化梯形公式的余项知,由此得到近似关系式,误差控制条件,对于复化Simpson公式、

2、Cotes公式可以类似得到,对于复化梯形公式,加速 收敛,应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化 Simpson值、复化Cotes值与精确值的比较,Romberg积分法/*Romberg Integration Method */, Romberg积分思想,由上节分析知，用复化梯形公式计算积分值,的误差大约为：,令,由复化梯形公式知,梯形加速公式：,上述公式说明：,Romberg积分公式正是由此思想产生,Romberg 值序列,Simpson加速公式：,Cotes加速公式：,类似于梯形加速公式的处理方法，得到：,通过上述3个积分值序列求积分近似值的方法， 称之为Romberg积分法。,4个积分

3、值序列：,梯形值序列,Simpson值序列,Romberg值序列,Cotes值序列,Romberg积分法的一般公式,其中,Romberg积分表,用龙贝格方法计算积分的步骤为： （1）：准备初值，先用梯形公式计算积分近 似值： （2）：按变步长梯形公式计算积分近似值： 令 计算： （3）：按加速公式求积分（为便于编程，写 为下列形式）,梯形加速： 辛普生加速： 柯特斯加速： （4）：精度控制 当 时终止计算 并取 为近似值，否则，将步长折半，转 （2）执行。实际计算时的加工流程图7.4.1示：,例7.4.2 用龙贝格算法加工例7.4.1得到的近似值 解：用算法图7.4.2计算结果见表7.4.1,

4、表中 k表示二分次数 ：,例3：利用Romberg 积分法式计算积分 要求精确到小数点后面7位。,解：,根据Romberg 积分法计算得,具体结果见下表,例3：取e=0.00001,用龙贝格方法计算积分,解：由题意 f(x)=4/(1+x2) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2 由梯形公式得 T1=1/2f(0)+f(1)=3 计算f(1/2)=16/5 用变步长梯形公式得 T2=1/2T1+f(1/2)=3.1 由加速公式得 S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333,求出f(1/4) f(3/4) 进而求得 T4=1/2T2+1/2f(1/4)+f(3/4) =3.131176471 S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628 C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648 计算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)进而求得 T8=1/2T4+1/4f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8) =3.138988495 S4=1/3(4T3-T4)=3.141592503 C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095 R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784,把区间再二分，重复上述步骤算得 T16=3.140941613 S8=3.1