015动能定理.ppt

1、1,第十四章 动能定理,2,本章重点、难点 重点 力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。 难点 动力学普遍定理的综合应用。,动 力 学,本章重点、难点 重点 力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。 难点 动力学普遍定理的综合应用。,本章重点、难点 重点 力的功和物体动能的计算。 质点系的动能定理和机械能守恒定律的应用。 难点 动力学普遍定理的综合应用。,3,141 力的功 142 动能 143 动能定理 144 功率 功率方程 145 势力场 势能 机械能守恒定理 146 动力学普遍定理的综合应用,第十四章 动能定理,4,与动量定理和动量

2、矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。,14-1力的功,力的功是力沿路程累积效应的度量。,力的功是代数量。时,正功；时,功为零；时,负功。 单位：焦耳（）；,一常力的功,动 力 学,5,二变力的功,动 力 学, 力的元功,（自然形式表达式）,6,三合力的功 质点M 受n个力 作用合力为则合力的功,动 力 学,（直角坐标表达式）,（矢量式）,7,四常见力的功 1重力的功,质点系：,质点系重力的功，等于质点系的

3、重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。,质点：重力在三轴上的投影：,动 力 学,即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。,8,2弹性力的功 弹簧原长，在弹性极限内 k弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。,弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。,动 力 学,9,作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。,若m = 常量, 则,注意：功的符号的确定。,如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直转轴,4作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功

4、。M点轨迹已知。,动 力 学,10,正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移, 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功, 滚动摩擦阻力偶m的功,5摩擦力的功 动滑动摩擦力的功,若m = 常量则,动 力 学,11,五质点系内力的功,动 力 学, 可变质点系, 内力元功之和不等于零, 不变质点系, 刚体平动, 内力元功之和等于零, 刚体作一般运动（含平面运动）, 内力元功之和等于零,12,动 力 学,只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。,六理想约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约

5、束称为理想约束。 1光滑固定面约束,2活动铰支座、固定铰支座和向心轴承,13,3刚体沿固定面作纯滚动 4联接刚体的光滑铰链（中间铰）,5柔索约束（不可伸长的绳索）,拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。,动 力 学,14,14-2动能,物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强 弱的又一种度量。,瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。,动 力 学,二质点系的动能,一质点的动能,质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点系的动能。即：,15,动的动能之和。,动 力 学,对于任一质点系：（ 为第i个质点相对质心的速度）, 柯尼希定理, 柯尼希定理, 刚体的动

6、能, 平动刚体的动能, 定轴转动刚体的动能,质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运,16,（P为速度瞬心）,动 力 学, 平面运动刚体的动能,平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕质心的转动动能之和。,17,14-3动能定理,一、质点的动能定理,两边点乘以，有,动 力 学, 质点动能定理的微分形式,质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功。,18,动 力 学, 质点动能定理的积分形式,在该路程上所作的功。,二、质点系的动能定理, 质点系动能定理的微分形式,对质点系中的一质点 ：,在任一路程中，质点动能的变化，等于作用于质点上的力,19, 积分形式的质点系动能定理,对整个质点系，

7、有,动 力 学,质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有力的元功 之和。, 质点系动能定理的积分形式,质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于 质点系上所有的力在相应路程中所作功的和。,20,动 力 学,在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的 形式, 理想约束条件下质点系的动能定理, 微分形式, 积分形式,在理想约束的条件下，质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有主动力的元功之和。,在理想约束的条件下，质点系在某一段路程中始末位置 动能的改变量等于作用于质点系上所有的主动力在相应路程 中所作功的和。,例1 图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。

8、设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？,解： 研究OA杆；,由,动 力 学, 计算主动力的功；, 运动分析计算动能；, 根据动能定理求解：,22,例2 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止),动 力 学,解： 取系统为研究对象；, 计算主动力的功；, 运动分析计算动能；,23,动 力 学, 根据动能定理求解：,上式求导得：,24,例3行星齿轮传动机构, 放在水平面内。

9、 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加速度。,解： 取整个系统为研究对象；,动 力 学, 计算主动力的功；, 运动分析计算动能；,25,动 力 学,得：,将式对t 求导 ,得：, 根据动能定理求解：,例4两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。,解： 取整个系统为研究对象, 计算主动力的功；,26,动 力 学, 运动分析计算动能；, 根据动能定理求解：,27

10、,14-4功率 功率方程,一功率 力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重 要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。,作用力的功率：,力矩的功率：,功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。,动 力 学,28,二功率方程,由 的两边同除以dt 得, 起动阶段（加速）：即 制动阶段（减速）：即 稳定阶段（匀速）：即,动 力 学, 功率方程, 功率方程,质点系的动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系所有 力的功率的代数和。, 讨论,29,动 力 学, 机器稳定运行， 时的机械效率,是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。,三机械效率, 定义 有效功率（有用功率与系统动能变

11、化率 之和）与输 入功率之比称为机械效率。,30,14-5势力场、势能、机械能守恒定律,一势力场 1力场 若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。,质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、 弹性力等。,2势力场 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。,动 力 学,31,二势能 定义 在势力场中, 质点从位置M 运动到任选位置M0, 有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。,M0作为基准位置，势能为零，称为

12、零势能点。势能具有相对性。,是位置坐标的单值连续函数，称为势能函数。,将上式求微分，则有：,动 力 学,32,1.重力场 质点： 质点系：,质点系的势能：,即：有势力在各坐标轴上的投影等于势能函数对于相应坐标 偏导数的负值。, 几种势能计算,动 力 学,等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。,33,有势力的功等于质点系在运动中的始末位置的势能之差。,三有势力的功 在M1位置：,M2位置：,M1M2：,动 力 学,2. 弹性力场 取弹簧的自然位置为零势能点 3. 万有引力场 取与引力中心相距无穷远处为零势能位置,34,设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力) 作 用，则,对非保守

13、系统，设非保守力的功为W12 , 则有,四机械能守恒定律 机械能：系统的动能与势能的代数和。,质点系只在有势力作用下运动时，其机械能保持不变。这 样的系统称为保守系统。,动 力 学,35,初瞬时：,任一瞬时：,动 力 学,例1 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角 和质心的位置表达）。,解：由于 ，故质心C铅垂下 降。而约束反力不作功, 主动力为有 势力，因此可用机械能守恒定律求解。,36,动 力 学,由机械能守恒定律：,将 代入上式，化简后得：,有：,37,14-6动力学普遍定理及综合应用,动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定

14、理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。,动 力 学,动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普 遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。,一动力学普遍定理及综合应用含义,38,动 力 学,求解过程中,要正确进行运动分析, 列出正确的运动学补充方程。,已知主动力和运动初始条件

15、,约束反力,系统的运动,约束反力,系统的运动,动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。,质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。,二普遍定理综合应用三方面的问题,动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。,质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。,已知主动力和运动初始条件,39,三综合应用举例 例1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度

16、。,动 力 学,40,解：由于不求系统的内力，可以不拆开。 研究对象：整体； 分析受力如图；,动 力 学, 计算主动力的功；, 运动分析计算动能；,41,动 力 学,讨论 动量守恒定理动能定理求解。 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。, 根据动能定理求解：,例2 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角 ，摩擦系数f ，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。,42,解： 选系统为研究对象,运动学关系：,动 力 学, 计算主动力的功；, 运动分析计算动能；, 根据动能定理求解：,43,动 力 学,上式两边对求导，得：,例3 重150N的均质圆盘与重60N

17、、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。,解：（1）取圆盘为研究对象,圆盘平动。,44,代入数据，得,动 力 学,取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：,（2）用动能定理求速度。,45,（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。,杆质心 C的加速度： 盘质心加速度：,（4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。,代入数据，得,动 力 学,46, 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在 一般位置进行分析。,例4 基本量计算 (动量,动量矩,动能),动 力 学,47,例 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，