第十一章 拉谱拉斯变换[终稿].ppt

1、第十一章 动态电路暂态过程的复频域分析,时域法缺点：当电路贮能元件多；激励为时间的任意函数时，微分方程高阶且复杂，求解不易。,代数方程，求解容易。,故：,应用拉氏变换来进行电路分析称电路的复频域分析，有时称运算法。,11.1 拉普拉斯变换的定义,通常将t=0作为动态过程的起始时刻,-是为了使此积分能够计及时间函数f(t)在t=0时刻可能包含的冲激。后面有实例说明这种情况。,例：求（t）的象函数,11.1 拉普拉斯变换的定义,例：求（t）的象函数,11.1 拉普拉斯变换的定义,原函数的拉氏变换不要求，但要求记忆396表11-1，一些常见原函数的象函数。,11.2 拉普拉斯变换的基本性质,f(t)

2、 F(s),1. 唯一性,2. 线性性质,证明：,11.2 拉普拉斯变换的基本性质,3.微分性质,11.2 拉普拉斯变换的基本性质,4.积分性质,证明：,5. 延迟性质,11.2 拉普拉斯变换的基本性质,6. 卷积定理,证明：,11.2 拉普拉斯变换的基本性质,11.2 拉普拉斯变换的基本性质,部分分式法的作用，就是将比较复杂的象函数分解成为较为简单的部分分式，然后再查表求出原函数。,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,线性、时不变电路，响应为线性常系数微分方程，此微分方程的拉氏变换为有理函数。,m、n为整数,N(s)=0的根，称零点 D(s)=0的根，称极点,响应象函数的一般形式:,N(s

3、)、D(s)都是复变量s 的多项式,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,在真分式下讨论,1. 单极点,k1、k2、kn 是待定系数。,为求出k1，用（s-p1)乘以上式的两边，得到：,（1） D(s)=0有n个单根的情况,令s=p1，即可得出待定系数：,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,从而查表得出：,同理可以求得,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,用洛比特法则来确定ki的值如下,所以确定各待定系数的另一公式为,例：求象函数,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,解：,可以得出：,的原函数 f ( t )。,方法一,方法二,11.3 拉氏反变换的

4、部分分式展开法,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,（2） D(s)=0具有共轭复根的情况,由于D(s)是s的实系数多项式，所以D(s)=0若出现复根，则必然共轭成对。,若D(s)=0有一对共轭复根，,则有,由于F(s)是实系数多项式之比，故k1，k2必为共轭复数。,于是在F(s)有展开式中，将包含如下两项,在对应的原函数f(t)中将包含如下分量,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,解：,共轭复根成对出现,极点是一对共轭复数，则待定系数k1、k2也是共轭复数。,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,11.3 拉氏反

5、变换的部分分式展开法,2 . D(s)=0具有重根的情况,p1为D(s)=0的三重根，则使得的F(s)的展开式中包含如下与p1有关的3项，即,所以k11便可确定为,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,前式两边对s求导一次，则k12被分离出来，即,所以k12便可确定如下,同样方法可确定k13,因此,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,D(s)=0具有一个m阶重根时的分解式：,式中,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,解：,p1=-2为三重根，p=-为一重根,其中,查表：,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,当 n m 时，象函数F(s)为假分式,用代数中的除法，将N(s)除以D(s)，将

6、假分式化为真分式，然后再将真分式分解成部分分式，最终求出原函数。,D(s)的最高次幂2 N(s)的最高次幂3,所以F(s)为假分式，化为真分式：,例：求F(s)的原函数f(t)。,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,解：,令,于是可以求出原函数：,11.3 拉氏反变换的部分分式展开法,11.4 三大基本定律的复频域形式,问：t0+后u？,关于uc的微分方程,方程两过取拉氏变换,11.4 三大基本定律的复频域形式,UC(s）是关于s的代数方程,用部分分式展开法，将U（S）化简，再查表得uc(t)=,时域电路（图）微分方程（公式） 变成代数方程（公式） 对应的复频域电路（图）,电路描述的方式：,

7、图和公式,图和公式，这两种方式可相互转换，例如：,因此，就可直接从时域电路到复频域电路，而无须列写微积分方程后再作变换。这样，就方便了电路分析计算。,11.4 三大基本定律的复频域形式,运算电路， 又称复频域电路,11.4 三大基本定律的复频域形式,伏安关系的时域形式,对上式两边取拉普拉斯变换,伏安关系的运算形式,电阻的时域电路,电阻的运算电路,1. 电阻元件,11.4 三大基本定律的复频域形式,2 . 电感元件,电感的时域电路,不用,11.4 三大基本定律的复频域形式,3. 电容元件,电容的时域电路,电容的运算电路,不用,电容的运算阻抗,附加电压源电压,11.4 三大基本定律的复频域形式,例

8、:试画出下图所示电路的等效运算电路。,将电路中的电阻R、电感L、电容C都用相应的运算电路表示；原电路中的电压源u(t)用相应的象函数U(s)表示；原电路中的待求量电流i(t) 用象函数I(s) 表示；按换路后的接线方式联接，就构成了原电路的等效运算电路。,11.4 三大基本定律的复频域形式,上式两边拉氏变换,11.4 三大基本定律的复频域形式,耦合电感的运算电路,11.4 三大基本定律的复频域形式,5. 受控源,运算电路,时域电路,11.4 三大基本定律的复频域形式,由拉氏变换的线性性质得：,11.5 动态电路暂态过程的复频域分析方法,利用拉普拉斯变换分析线性电路的过渡过程的方法，称为复频域分

9、析法，也称为运算法。其主要步骤如下：,（1）根据换路前瞬间（t=0-) 电路的工作状态，计算出电感电流iL(0-) 和电容电压uc(0-) 的值，以便确定电感元件的附加电源LiL(0-) 和电容元件的附加电源uc(0-)/s；,（3）选择适当的方法（支路法、节点法、回路法等）列写运算电路的方程；,（4）求解上述方程，计算出响应的象函数；,（5）运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数。,（2）按照换路后的接线方式画出运算电路，正确标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，各待求量用象函数表示；,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,图中电路，R1=R2=1，C =1F，L=1H，E=10

10、V。求开关K闭合后流过开关的电流ik(t)。,例:,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,（1）计算电感电流iL(0-)和电容电压uc(0-)的值,解:,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,电感元件的附加电源：,电容元件的附加电源：,（2）按照换路后的接线方式画出运算电路，标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，待求量用象函数表示。,（3）选择回路电流法求解运算电路。如图所示，标出两个回路电流I1( s )、I2( s )的绕行方向；,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,回路1、2的电压方程为 ：,(4）求解上述方程，计算出响应的象函数,解上述方程得：,11.5动态电路

11、暂态过程的复频域分析方法,( 5 )运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数,例：,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,解： 电感电流iL(0-)的值：,电感元件的附加电源：,已知R1=R2=200，R3=400，U1=50V，U2=40V，L=2H。求开关K闭合之后电压uab,选择节点电压法求解运算电路。,按照换路后的接线方式画出运算电路，标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示，待求量用象函数表示,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,选择b为参考点，节点电压方程：,代入元件参数，求解上述方程，计算出响应的象函数,运用拉普拉斯反变换，求出响应的原函数:,11.5动态电路暂态过程

12、的复频域分析方法,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,已知U=6V，R=2.5，L=6.5mH，C=0.3F，电感线圈原边与副边的变比为1:70，电路原已处于稳定状态。求开关K断开后a、b处的最高电压。,例：,解: 电感电流iL(0-)的值,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,电感元件的附加电源:,按照换路后的接线方式画出运算电路（电感线圈的副边不必画出来），标出附加电源的大小和方向，独立电源用象函数表示,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,选择回路电流法求解运算电路。,其回路电压方程：,代入元件参数，求解上述方程，计算出I(s)的象函数：,D(s)=0的根:,求得待定系数:

13、,运用拉普拉斯反变换，求出i(t) 的原函数:,电感电压:,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,时，电感电压有极大值。,由此计算出极大值出现的时间:,电感电压的极大值为:,a、b处的最高电压:,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,例：,如图所示电路，开关K原来是闭合的，求打开后电路中的电流及两电感元件上的电压。,解：,t=0-时,打开后的运算电路,所以,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,注意，上式中i(0-)为3.75V实际的i(0-)即 5,所以，上式只适用于t0+,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,而拉氏变换的积分下限，

14、是0-。运算电路的方程是开关动作后电路的方程，是一定的。但是方程的积分上下限（t值）可以任选。我们下限选0-,是为了使拉氏变换的积分能够计及时间函数在t=0时刻可能包含的冲激。 但是最后的结果，要限制t的范围即t 0+，或者给出t的全部范围。,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,两电压相加并无冲激函数出现,是彼此的冲激函数部分相抵消,保证满足KVL.,从这个实例还可知:由于拉氏变换的下限取为0-,故自动地把(电压)冲激函数考虑了进去,因此无先求t=0+时的跃变值.,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,从以上的实例可以看出，应用拉氏变换进行线性非时变电路的时域分析时不必确定积分常数,

15、而且可以应用第三、四章所介绍的各种方法和定理来求解电路响应的象函数，因此是一种有效的方法。,11.5动态电路暂态过程的复频域分析方法,11.6 网络函数,对零状态uc(0-)=0、 iL(0-)=0，单一激励，线性非时变的电路，有,E(s)独立电压源或独立电流源 R(s) 任意两点间的电压或任一支路电流,11.6网络函数,E(s),R(s),E(s)与R(s)属于同一对端子,H(s),电流源,电压源,电压,电流,是,驱动点阻抗(函数),电流源,电压源,电压,电压,电流,电流,是,否,否,否,否,驱动点导纳(函数),转移阻抗(函数),转移导纳(函数),电压源,电流源,电压转移函数,电流转移函数,

16、网络函数六种类型,H(s)称u1(t)的网络函数，驱动点阻抗函数,（s）/(s) 转移导纳函数 （s）/(s) 电压转移函数 （s）/(s) 电流转移函数,H(s)称u2(t)的网络函数，转移阻抗函数,H(s)称i1(t)的网络函数，驱动点导纳函数,11.6网络函数,11.6网络函数,网络函数的原函数就是电路的单位冲激响应。,当电路的激励为e(t)=(t)，其象函数E(s)=1，故有： R(s)=H(s),电路的冲激响应：,这也是冲激响应的一种简单求解方法。,这是网络函数除定义式外的另一种求解法。,证明：,例：已知 ，求零状态响应u1 。,解：,作s域电路,11.6网络函数,由节点法，根据网络

17、函数的性质求网络函数：,由网络函数的定义求U1(s) ：,11.6网络函数,零状态响应为,11.6网络函数,这也是电路零状态响应的一种求解法。,在s域中是实数计算，在相量法中是复数计算。所以避免了复数运算，但是代价是反变换（查表）。,此方法优点：,一、网络函数的极点和零点,N(s)=0的根，即z1、z2，称零点，用表示。 D(s)=0的根，即p1、p2，称极点，用表示。,11.6网络函数,11.6网络函数,二、网络函数的极点分布与冲激响应的关系,网络函数H(s)的极点在复频率平面上分布的位置，与电路的单位冲激响应有着密切的关系。极点在复频率平面上的位置不同，电路的单位冲激响应的波形就不同。,1

18、1.6网络函数,当网络函数H(s)的分母具有单根时，其冲激响应为：,其中p1、p2、pn是D(s)=0的根。,现在依据根的不同情况进行分析:,11.6网络函数,（1）网络函数H(s)的极点为负实数分母D(s)=0的根为负实数，其冲激响应是衰减的指数函数，且极点离坐标原点越远，响应衰减越快。这种电路是稳定的。,（2）网络函数H(s)的极点为正实数分母D(s)=0的根为正实数，其冲激响应是随时间增长的指数函数，且极点离坐标原点越远，响应增长越快。这种电路是不稳定的。,11.6网络函数,（3）网络函数H(s)的极点为共轭复数且实部为负数时，其冲激响应是衰减的正弦函数，且极点离虚轴越远，响应衰减越快。

19、这种电路是稳定的。,（4）网络函数H(s)的极点为共轭复数且实部为正数时，其冲激响应是增长的正弦函数，且极点离虚轴越远，响应增长越快。这种电路是不稳定的。,11.6网络函数,（5）网络函数H(s)的极点为共轭复数且实部为零时（极点在虚轴上），其冲激响应是不衰减的正弦函数（称为等幅度振），且极点离实轴越远，响应的振荡频率越高。,根据以上分析，将网络函数H(s)的极点的分布与电路的单位冲激响应的波形，画在图中。,极点位于左半平面，电路是稳定的。所以一个实际的线性电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。,11.6网络函数,三、网络函数H(s)与正弦稳态网络函数H(j)的 关系,t时，暂态响应为零，故

20、稳态响应为,零状态电路，在t=0时接入正弦激励e(t)=sint，有零状态响应象函数：,11.6网络函数,利用部分分式法确定系数,因为H(j)利为有理函数，故有,即,11.6网络函数,结论：对于一个线性时不变的零状态电路，只要它是稳定的，将H(s)与H(j)中s与j互换，即可得到对应的网络函数。,由H(j)只能确定零状态响应中的特解分量，而不能确定其暂态解分量，而由H(s)与却能同时确定零状态响应中的这两个分量。此外，它不仅适用正弦激励情况，也适用于任意输入的情况。,第7章有正弦稳态网络函数,例：求图示电路在t0+时的 uC 。,解：运算电路为,11.6网络函数,网络函数为,电容电压象函数为,t时，暂态响应为零，故稳态响应为,11.6网络函数,电容电压原函数为