高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

1、高校奥林匹克数学竞赛讲座三角常数式和三角不等式知识、方法和技能三角恒等变形服从代数式恒等变形的一般法则和三角特有的法则两者三角常数式有绝对常数式和条件常数式两种。 在证明三角常数式时，首先，观察已知和证明或者证明常数式等号两侧的三角式的复杂性，决定一定变形的方向，然后求证明，或者观察证明的常数式等号两侧的三角式的角、函数名、次数及结构的差和关联，抓住其主要的差，选择适当的公式并将其固定从而逐渐消除差异，统一形式，完成证明，当然也可以利用万能式“弦化切断”，将主题转换为有关代数常数式的证明问题万能式除法除法除法积和差和差积加减为了迅速完成三角常数式的证明，必须选择适当的三角常数式。 因此，同学们

2、必须熟练掌握各公式和各公式的来龙脉和变形形式上图为三角式脉络图，从图中可以看出两角和差的三角函数式是所有三角式的核心和基础此外，三角是代数和几何连接的“桥”，多个都有密切的连接，许多三角问题可以从几何或多个角度得到巧妙的解法。由于三角不等式首先是一个不等式，必须掌握证明不等式的常用方法：配置方法、比较法、缩放法、基本不等式法、数学归纳法等三角形中的相关问题也是数学竞赛和高考的常见问题类型，为了解决这样的问题，必须活用三角形内角和等于180的结论及其变形形式比赛题目例1 :已知【构想分析】因为条件涉及角，结论涉及角，所以可以消除条件和结论之间的角的差异，当然也可以从式中的“a”开始【证明法1】【

3、证明法2】示例2 :证明：【构想分析】等号的左边是角7x、5x、3x、x的右边只与角x相关，将左边的各项目分阶段，的公式，但相对复杂。 右边的次数被观察得很高，可以降低次数。因为是这样的【评论】这个问题看起来像是“简化是繁”，抓住了实质上下降的关键，非常简洁。 另外，这个问题也可以用多个解决。 命令，展开即可。征求证据：【构思分析】方程式左边出现在云同步，联想式【证明】【评论】本问题的方法具有一定的普遍性等等例4 :已知【证明】示例5 :证明：【证明】【评论】这是三倍角正弦的另一个表示。 同样，有用这些个的公式可以解下面的例子征求证据：。合1合2合3合89=【证明】cos6cos42cos66

4、cos78=cos6cos54cos66合1合2合3合8=(音符1、音符59、音符61 )(音符29、音符31、音符89 )音符30、音符60=又也就是说所以例7 :证明：任意自然数n及对于任意实数为任意整数)，有【构想分析】因为本问题的左边是n项之和，右边是2项之差，所以尝试将左边的各项“裂”为2项之差，希望消除其中许多中间项【证明】说同样的话【评论】本问题的裂项技术也可以通过数学归纳法得到“裂项相消”解题具有一定的普遍性，相似性可以证明以下各个问题.示例8 :证明：【证明】所以【评论】本问题也可以得到多个证明类似使用上述公式可以快速证明：对象训练问题证明：合金47合金61合金11合金25=cos 7。2 .证明：3 .已知：单点符号=0，单点符号=0。要求证据： sin2A sin2B sin2C=0，cos2A cos2B cos2C=0。4 .已知5 .已知的最大值6 .已知的、的最大值在ABC中，C=2B的充分条件是8.ABC中，等差数列已知，要求证据：也成为等差数列。9 .可知在9.ABC