平面向量基本定理及坐标表示 (2)

1、。平面向量的基本定理及其坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1和e2是同一个平面上的两个非共线矢量，那么对于该平面上的任何矢量A，都有一对唯一的实数1和2，因此A= 1e1 2e2，其中非共线矢量e1和e2被称为表示该平面上所有矢量的一组基。2.平面向量的坐标运算(1)矢量加法、减法、乘法和矢量模数设a=(x1，y1)和b=(x2，y2)，然后a=b=(x1，x2，y1，y2)，a-b=(x1-x2，y1-y2)， a=( x1，y1)，| a |=。(2)矢量坐标的求解如果向量的起点是坐标的原点，那么结束坐标就是向量的坐标。如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么=(x2-x1，y2-y

2、1)，| |=。3.平面向量共线性的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b0，a和b共线x1y2-x2y1=0。选择题：假设e1和e2是平面中的一组基底，那么()A.如果实数1和2使得 1e1 2e2=0，那么 1= 2=0b空间中的任何向量a都可以表示为a= 1e1 2e2 ( 1，2是实数)C.实数1，2， 1e1， 2e2不一定在平面上D.对于平面上的任意向量A，让A= 1e1 2e2的实数1和2有无数对在下列向量组中，可以用作基数的是()e1=(0，0)，e2=(1，-2)，e1=(-1，2)，e2=(5，7)e1=(3，5)，e2=(6，10)，e1=(2，-3)，

3、e2=分析两个不共线的非零向量以形成一组基，因此选择b .假设平面向量a=(1，1)和b=(1，1)，向量a-b等于()A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(-1，0) D.(-1，2)解析a=(，)，b=(，-)，所以a-b=(-1，2)。假设a=(1，1)，b=(1，1)，c=(-1，2)，c等于()A.-a+b b . a-b . c .-a-b . d .-a+b分析上，假设c= a b， (-1，2)= (1，1) (1，-1)， c=a-b。已知向量A=(1，2)，B=(1，0)，C=(3，4)。如果是实数，(B)C，那么等于()A.B. C.1 D.2解析方程a b=(1

4、，2)，c=(3，4)和(ab)c，=， =众所周知，A=(5，-2)，B=(-4，-3)，如果A-2B 3C=0，那么C等于()A.不列颠哥伦比亚省解析方程称为3c=-a 2b=(-5，2) (-8，6)=(-13，4)， c=。假设向量=(k，12)=(4，5)=(-k，10)，a，b和c共线，k的值为()A.-不列颠哥伦比亚省解析地=-=(4-k，-7)，=-=(-2k，-2)，* a，b，c共线，共线，-2 (4-k)=-7 (-2k)，得到k给定点A(1，3)和b (4，1)，与向量A方向相同的单位向量是()A.不列颠哥伦比亚省解析地说，A=O-O=(4，-1)-(1，3)=(3，-

5、4)，与a方向相同的单位向量为。给定点a (-1，5)和向量a=(2，3)，如果=3a，点b的坐标是()A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4) D.(5，14)解析地说，如果点B的坐标是(x，y)，那么=(x 1，y-5)，用=3a求解假设向量a=(-1，2)，b=(3，m)，mR，那么“m=-6”就是“a (a b)”的()A.必要和充分条件C.必要和不充分的条件分析a b=(2，2 m)从问题的意义和-1 (2 m)=22， m=-6从a(a b)，那么“m=-6”就意味着“a(a b)”众所周知，在ABCD中，=(2，8)，=(-3，4)，然后=()A.(-1，-12) B.(

6、-1，12) C.(1，-12) D.(1，12)解析地说，四边形ABCD是平行四边形，=(-1，12)在ABC中，点D在BC的边上，并且=2，=R S，那么R S等于()A.B. C.-3 D.0解析2，=(-)=-，然后r s=0假设点m是ABC的边BC的中点，点e在边AC上，并且=2，那么向量=()A.+ B.+ C.+ D.+分辨率如图所示，=(-)=在ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点。如果=(4，3)=(1，5)，它等于()A.(-2，7) B.(-6，21) C.(2，-7) D.(6，-21)解析=3=3 (2-)=6-3=(6，30)-(12，9)=(-6，21

7、)。在梯形AB=2CD中，ABCD，ab=2cd，m和n分别是CD和BC的中点。如果= ， 等于()A.不列颠哥伦比亚省解析=()=2=2，=-,+=.填空：假设平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，ab，那么2a 3b=_ _ _ _ _ _ _。解析方程为a=(1，2)，b=(-2，m)，ab，其中1m=2 (-2)，即m=-4。因此，b=(-2，-4)，然后2a 3b=2 (1，2) 3 (-2，-4)=(-4，-8)。给定向量a=(x，1)，b=(2，y)，如果a=(1，-1)，那么x y=_ _ _ _ _ _ _。(x，1) (2，y)=(1，-1)的分辨率，给出 x y=-3

8、。给定向量a=(1，2)，b=(0，1)，让u=a kb，v=2a-b，如果uv，那么实数k的值是()A.-1b-c . d . 1解析方程u=(1，2) k (0，1)=(1，2 k)，v=(2，4)-(0，1)=(2，3)，uv， 13=2 (2假设向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a 2b，v=2a-b，uv，实数x的值是_ _ _ _ _ _ _ _。解析方程a=(1，2)，b=(x，1)，u=a 2b，v=2a-b， u=(1，2) 2 (x，1)=(2x 1，4)，v=2 (2)如果三个点A(1，-5)，B(a，-2)和C (-2，-1)共线，那么实数A的值是_ _ _ _

9、_ _ _ _ _。解析=(a-1，3)=(-3，4)，根据问题的意思， 4 (a-1)=3 (-3)，即4a=-5，a=-5在ABCD中，交流是对角线，=(2，4)，=(1，3)，那么向量的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _。解析=-=(-1，-1)，=-=-=(-3，-5)。给定ABCD的顶点a (-1，-2)、B(3，-1)、C(5，6)，顶点d的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _。分析上，让D(x，y)从=(4，1)=(5-x，6-y)得到解给定梯形ABCD，其中ABCD，DC=2ab，以及三个顶点A(1，2)，B(2，1)和C(4，2)，点D的坐标是_ _ _ _ _ _ _

10、 _。在梯形ABCD中，abcd，DC=2ab，=2。假设点d的坐标是(x，y)，那么=(4，2)-(x，y)=(4-x，2-y)=(2，1)-(1，2)=(1，-1)。 (4-x，2-y)=2 (1，-1)，即，(4-x，2-y)=(2，-2)，点d的坐标是(2，4)。如图所示，在ABC中，=，p是BN上的一个点，如果=m，实数m的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：让=k，k r。=+=+k=+k(-)=+k(-)=(1-k)+，和=m , 1-k=m，=，解是k=，m=。在ABCD中，=e1，=e2，=，=_ _ _ _ _ _ _(由e1和e2代表)分辨率如图所示，=-=2=

11、-+(-)=-e2+(e2-e1)=-e1+e2如图所示，已知=A，=B，=3，用A和B表示，然后=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解析=(-)=a b如果三个点A(2，2)，B(a，0)和C(0，b)(ab0)共线，那么的值是_ _ _ _ _ _ _ _。解析=(a-2，-2)，=(-2，b-2)，然后(a-2) (b-2)-4=0，即ab-2a-2b=0，=0。设=(-2，4)，=(-a，2)，=(b，0)，a0，b0和O为坐标原点。如果A、B和C共线，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _。根据问题的意思，=(-a 2，-2)，=(b 2，-4)，和,(-a 2，-

12、2)= (b 2，-4)，即2a b=2。=(2a b) ()=(3 ) (3 2)=(当且仅当b=a时，等号成立)。假设A(7，1)，B(1，4)，直线y=ax，线段AB在点c相交，且=2，那么实数a=_ _ _ _ _ _ _。分析上，如果C(x，y)，那么=(x-7，y-1)，=(1-x，4-y)，=2，解是 c (3，3)。c在直线上y=ax， 3=a3， a=2。已知向量=(k+1，-3)=(2，-1)=(k-1，k-2)。如果三个点A、B和C可以形成一个三角形，那么实数K应该满足_ _ _ _ _ _ _ _ _。从分析上来说，如果点A、B和C可以形成一个三角形，那么向量不共线。=

13、-=(2，-1)-(1，-3)=(1，2)，=-=(k 1，k-2)-(1，-3)=(K)。 1 (k 1)-2k 0，解为k1。设0 ，向量a=(sin 2 ，cos)，b=(cos ，1)，如果ab，tan =_ _ _ _ _ _ _。解析方程ab， sin2 1-cos2=0，sincos2-cos2=0，00,2sin=cos,tan=回答问题：A(1，1)，B(3，-1)，C(a，B)是已知的。(1)如果a、b和c共线，找出a和b之间的关系；(2)如果=2，求C点的坐标.从已知=(2，-2)=(a-1，b-1)分析=(a-1)，* a、b和c共线， 2 (B-1) 2 (A-1)=

14、0，即A B=2。(2)=2,(a-1,b-1)=2(2,-2).点的坐标是(5，-3)。已知点o是坐标的原点，A(0，2)，B(4，6)，t1 t2。(1)找到点m在第二或第三象限的充要条件；(2)证明：当t1=1时，无论t2是什么实数，A、B、M三点共线。(1)解=t1 T2=t1 (0，2) T2 (4，4)=(4t2，2t1 4t2)。当m点位于第二或第三象限时，必要和充分条件是T2 0和t1 2t2 0。(2)证明了当t1=1时，由(1)=(4t2，4t2)可知。=-=(4，4)，=-=(4t2，4t2)=t2(4，4)=t2，与公共点a、A、b和m共线。能力提高问题集众所周知，向量

15、A=(2，3)，B=(-1，2)，如果(马铌)(2B)，它等于()A.-2 B.2 C.- DMa nb=(2m-n，3m 2n)，a-2b=(4，-1)，(ma+nb)(a-2b),-(2m-n)-4(3m+2n)=0,=-众所周知，| |=1，| |=，=0，点C在AOB中，它与的夹角为30。如果=m n (m，nR)，则它的值为()a2 b . c . 3d . 4分析：=0， ，建立以OA为x轴、OB为y轴的直角坐标系，=(1，0)、=(0)、=m n=(m，n)。tan30=， m=3n，即=3如图所示，在OAB中，p是线段AB上的一个点，x=y，b=2p，然后是()A.x=，y=B.x=，y=C.x=，y=D.x=，y=分析表明，o=o b，b=2p， o=o b=o (o-o)=o o， x=，y=。给定点a (-1，2)，B(2，8)，=，=-，坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _。点c和d的解析坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)。根据问题的意思，=(x1 1，y1-2)=(3，6